南京市重点中学2024年高考临考冲刺数学试卷含解析

南京市重点中学2024年高考临考冲刺数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．2．若实数满足不等式组则的最小值等于（）A． B． C． D．3．设集合，集合，则=（）A． B． C． D．R4．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则其中正确的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④5．已知集合，则的值域为（）A． B． C． D．6．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，，则输出的（）A．3 B．4 C．5 D．67．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）A． B． C． D．8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则9．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（）.A． B．9 C．5 D．10．某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，现将这盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A． B． C． D．11．复数的虚部为（）A． B． C．2 D．12．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则=____，=___.14．已知，则_____.15．如图所示梯子结构的点数依次构成数列，则________.16．已知i为虚数单位，复数，则＝_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆外有一点，过点作直线．(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长．18．（12分）设函数.（1）求的值；（2）若，求函数的单调递减区间.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，其中.（1）求的值；（2）若，且，求的值.20．（12分）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.21．（12分）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若，求直线l的斜率k.22．（10分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1．（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

点的坐标为，，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，因为，，所以，当且仅当，即当时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，点的坐标为，代入可得，．所以双曲线的方程为．故选：【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.2、A【解析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．【详解】解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）由得，由得，平移，易知过点时直线在上截距最小，所以．故选：A．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．3、D【解析】试题分析：由题，，，选D考点：集合的运算4、D【解析】

根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④.【详解】对于①，若，，，，两平面相交，但不一定垂直，故①错误；对于②，若，，则，故②正确；对于③，若，，，当，则与不平行，故③错误；对于④，若，，，则，故④正确；故选：D【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.5、A【解析】

先求出集合，化简=，令，得由二次函数的性质即可得值域.【详解】由，得，，令，，，所以得，在上递增，在上递减，，所以，即的值域为故选A【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题6、B【解析】分析：根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为；根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为，根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.详解：记执行第次循环时，的值记为有，则有；记执行第次循环时，的值记为有，则有.令，则有，故，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前和、前项积等）.7、B【解析】

基本事件总数为个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个，由此求出概率.【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共个，所以，所求的概率.故选：B.【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．8、C【解析】

根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.【详解】对于，当为内与垂直的直线时，不满足，错误；对于，设，则当为内与平行的直线时，，但，错误；对于，由，知：，又，，正确；对于，设，则当为内与平行的直线时，，错误.故选：.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.9、A【解析】

根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.【详解】定点为,，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故选：A【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.10、B【解析】

间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有，扣除郁金香在两边有，即可求出结论.【详解】使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有种，然后将盆锦紫苏放入到4个位置中有种，根据分步乘法计数原理有，扣除郁金香在两边，排盆虞美人、盆郁金香有种，再将盆锦紫苏放入到3个位置中有，根据分步计数原理有，所以共有种.故选:B.【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.11、D【解析】

根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部.【详解】解：=，故虚部为-2.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.12、C【解析】

将圆锥的体积用两种方式表达，即，解出即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则，又，故，所以，.故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、12821【解析】

令，求得的值.利用展开式的通项公式，求得的值.【详解】令，得.展开式的通项公式为，当时，为，即.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题.14、【解析】

对原方程两边求导，然后令求得表达式的值.【详解】对等式两边求导，得，令，则.【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.15、【解析】

根据图像归纳，根据等差数列求和公式得到答案.【详解】根据图像：，，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.16、【解析】

先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.【详解】．故答案为：.【点睛】本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）．【解析】

(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;(2)先求出直线方程，然后求得圆心与直线的距离,由弦长公式即可得出答案.【详解】解:(1)由题意可得,直线与圆相切当斜率不存在时，直线的方程为,满足题意当斜率存在时，设直线的方程为,即∴,解得∴直线的方程为∴直线的方程为或(2)当直线的倾斜角为时，直线的方程为圆心到直线的距离为∴弦长为【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.18、（1）（2）的递减区间为和【解析】

（1）化简函数，代入，计算即可；（2）先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合即可求出.【详解】（1），从而.（2）令.解得.即函数的所有减区间为，考虑到，取，可得，，故的递减区间为和.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的图象与性质，属于中档题.19、（1）（2）.【解析】

（1）根据，由向量，的坐标直接计算即得；（2）先求出，再根据向量平行的坐标关系解得.【详解】（1）由题，向量，，则.（2），.，，整理得，化简得，即，，，，即.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型.20、另一个特征值为，对应的一个特征向量【解析】

根据特征多项式的一个零点为3，可得，再回代到方程即可解出另一个特征值为，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量.【详解】矩阵的特征多项式为：，是方程的一个根，，解得，即方程即，，可得另一个特征值为：，设对应的一个特征向量为：则由，得得，令，则，所以矩阵另一个特征值为，对应的一个特征向量【点睛】本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.21、（1）（2）直线l的斜率为或【解析】

(1)根据已知列出方程组即可解得椭圆方程;(2)设直线方程,与椭圆方程联立,转化为,借助向量的数量积的坐标表示,及韦达定理即可求得结果.【详解】（1）由题意得解得故椭圆C的方程为.（2）直线l的方程为，设，，则由方程组消去y得，，所以，，由，得，所以，又所以，即所以，因此，直线l的斜率为或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查学生的计算求解能力,难度一般.22、（1）；（2）2.【解析】

（1）利用的最小值为1，可得，，即可求椭圆的方程；（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得到关于的一元二次方程，由直线与椭圆仅有一个公共点知，即可得到，的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到，．当时，设直线的倾斜角为，则，即可得到四边形面积的表达式，利用基本不等式的性质，结合当时，四边形是矩形，即可得出的最大值．【详解】（