2021-2022学年高中人教A版数学必修第一册练习：第五章正切函数的性质与图象

5.4.3正切函数的性质与图象

3争分夺秒一刻钟，狠抓基础零失误）/

必备知识•基础练

概念定理乃加跖

1.正切函数是奇函数，最小正周期是2兀.（）

2.函数y=tanx,xe。，牙的图象从左向右呈不断上升趋势，且向

右上方无限逼近直线x=3.（）

3.正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x=f+k7r,k£Z所隔开

的无穷多支形状相同的曲线组成的.（）

4.正切函数在定义域内单调递增，值域是实数集R（）

1.提示：x.最小正周期应该是兀

2.q

3.4

4.提示：x.正切函数在每一个区间（-k兀，*可（k£Z）上都单

调递增，不能说整个定义域上都递增.

基础分组走通关

•题组一求正切型函数的定义域、值域

1.函数y=tan1+幻的定义域是（）

A.|x|x#k7r+彳，k£Zj

B「x|xr-3

C.卜|xWk7t+会,kCZ>

D.|x|x#^,

选C.函数y=tan(x+皆中，令x+£奇+lor人£Z解得x^ls+

kez；所以f(x)的定义域是]x|x#k兀+京，k^z1.

2.函数y=tanx[-*用的值域是()

选C.因为函数y=tanx在(册局上单调递增,

且tan亨=\[3,tan(司=-1,

则所求函数的值域是(-1,小).

•题组二求正切型函数的周期、单调区间

1.关于函数f(x)=|tanx|的性质，下列叙述不正确的是()

7T

A.f(x)的最小正周期为]

B.f(x)是偶函数

c.f(x)的图象关于直线x=^(k£Z)对称

D.f(x)在每一个区间,兀，k?r+野(k£Z)内单调递增

选A.对于函数f(x)=|tanx|的性质，根据该函数的图象知，其最小正

周期为冗,A错误；

又f(-x)=|tan(-x)|=|tanx|=f(x),所以f(x)是定义域上的偶函数,B

正确；

根据函数f(x)的图象知，f(x)的图象关于直线x=y(k£Z)对称，C

正确；

根据f(x)的图象知,f(x)在每一个区间小,k7r+§(k£Z)内单调递增,

D正确.

2.函数y=tan管+g的单调递增区间是()

A.1-Q+2k，w+2k),k£Z

B.f-|+k7Tr|+kn\,k£Z

C.1-q+k，w+kj,k£Z

(九~5加八.、

D.I-g+2k,y+2kl,kGZ

\ti_7T兀7T.兀八r-9x

选A.令-2+k7r<2x+<kn+-(kZ),

解得：-%+2k<x<|+2k(k£Z),故函数的单调递增区间为

-g+2k,w+2k),k£Z.

3.函数f(x)=tan《-x］的单调递减区间为()

f,37r,7fl

A.际-彳，k7t+,k£Z

(.兀,37fl

B.IkK-a，k兀+~^\,k£Z

C.(kir-，k7r+野,k£Z

D.(kn,(k+l)7r),kez

选B.由f(x)=-tan(x-,

可令kn-<x-<kn+,

jr3

解得kjr-a<x<kK+彳7i,k£Z.

•题组三利用单调区间解不等式

1.在(0,兀)内，使tanx>-y/3成立的x的取值范围为()

选B.画出y=tanx(0<x<7T)和直线

y=-小的图象，

由图象可得tanx>-小，在（0,兀）上的解集为（0周U停，J.

2.求使得不等式tanx-小>0成立的x的取值范围

因为tanx-y]3>0,可得：tanx>事,

「兀7T1

所以由正切函数的图象和性质可得：x^g+k兀,i+k/rj（k£Z）.

f-「兀.瓦.、

答案:[j+kjt,2+呵（k£Z）

•题组四利用正切函数性质求参数

1.已知函数y=tancox在（4用内是增函数，则（）

A.0<a）<2B«-2<co<0

C.co>2D,3s-2

选A.根据函数y=tancox在1-。称内是增函数，可得余①《，求

得oo<2,再结合o）>0.

2.若函数y=tan（2x-2+k,x£（0,"的图象都在x轴上方，则

实数k的取值范围为（)

A.［小,+co）B.（小,+oo）

C.（-小，+s）D.（-小，0）

选A.因为,

所以-<2x-<0,

所以-小<tan"x-2<0,

函数y=tan(2x-§+k,

x£(0周的图象都在x轴上方，

即对任意的x£(0，V,

都有tan(2x-本

+k>0,

即tan（2x->-k,

因为tan12x-3J>~小,

所以-kS-木,即k>木.

易错易混6场遁

易错点一记错正切型函数图象的对称中心坐标

函数f(x)=3tanA+孑的图象的对称中心是__

对于函数f(x)=3tan(2x+外，令2x+g=y,k£Z,求得x二竽

-1，故函数的图象的对称中心是肾J,0),kez.

—(kjr7t八

答案:_6z0J，k£Z

【易错误区】本题易将正切函数的对称中心与正余弦函数的对称中心

混淆引起失误,y=tanx的对称中心为佟，0),而不是(k;r,0).

易错点二忽略正切函数的定义域

函数y=1g(^3-tanx)的定义域为.

由题可知：巾-tanx>0,

所以tanx〈巾.

7171

所以--+k7T<X<W+kit,kGZ,

所以函数的定义域是

[兀1兀11__

'x|--+kTr<x<Q+k7r,kGZ".

答案：，x|--+kn:<x<2+k兀,kGZr

【易错误区】本题易忽略正切函数的定义域为[x|xHkTT+]kez],

从而造成所解的范围中含有不符合条件的解.

◎晚间小练半小时，突破课堂重难点！/

关键能力•综合练

限时30分钟分值50分战报得分

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.现有下列四个命题：

①函数y=tanx在定义域内是增函数；

②函数y=tan(2x+1)的最小正周期是兀；

③函数y=tanx的图象关于点(兀，0)成中心对称；

④函数y=tanx的图象关于点11,0)成中心对称.

其中正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

选C.①函数y=tanx在定义域内不是单调函数，故①错误；

②函数y=tan(2x+1)的最小正周期是方，故②错误；

③函数y=tanx的图象关于点修，0)成中心对称，当k=2时，对称

中心为(兀，0),故③正确；

④函数y=tanx的图象关于点吃,0)成中心对称，当k=-1时，关

于［-］成中心对称.故④正确.

2.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x+l)=f(-x+1),且当

0<x<l时，f(x)=tanx,则下列结论正确的是()

A.{-习<f(3)硝

<f(3)

C.f(3)<(|)<(-m

D,f(3)<(-I)

选D.函数f(x)是定义域为R的奇函数,

1

-tan2；

因为f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1)；

所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),故f(x+4)=f(x),即f(x)关于x=1

对称且周期为4；

而f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(l)=-tan1,

因为f(x)=tanx在0<x<l上单调递增且f(x)>0；

所以f(3)<<-<用.

3.在区间(普，空内，函数y=tanx与函数y=sinx图象交点的

个数为()

A.5B.4C.3D.2

选C.在同一直角坐标系中，分别作出函数y=tanx与函数y=sinx

的图象，如图所示；

观察图象知，在-兀，0,兀处，两个函数的函数值都是0;

即两个函数的图象有3个交点.

4.已知函数f（x）=tan（ox在14局上单调递减,则co的取值范围

是（）

A.0<co<lB.-1<CD<0

C.-2<co<0D.0<3<\

一~2

选B.由f（x）在居周上单调递减知：co<0,且（J局之

/，-第，因此弋言，解得-号30,故选B.

5.（多选）下列关于函数y=tan（-2x+§的说法正确的是（）

A.在区间［-f,-日上单调递增

B.最小正周期是方

C.图象关于点传，0）成中心对称

D.图象关于直线x=成轴对称

选BC.y=tan（-2x+

c叫

=_tan12x-I,

入兀兀兀11r/E371k7r5兀kit

令-5+k兀<2x-T<T+k兀，导-方+—<x<方+7,k

乙J乙Jl乙4JL乙乙

£Z,

所以当k=-1时，-普<x<-,

所以y=tan1-2x+§在(J,-匍上单调递减，A错误.

由上知：最小正周期为T/,B正确.

当x二工时，有2X-£=?/

所以y=tan[-2x+斗的图象关于点悟，0)成中心对称，C正确.

由正切函数的性质知：正切函数无对称轴，D错误.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.函数y=tan信+§的单调递增区间为.

人兀兀

令6x+3e

/兀1兀1•

[-g+k兀,]+k7iJ,keZ,

DC冗.兀兀71..r

BP-2+k7t<x+3<2+k7t,kGZ,

可解得：6k-5<x<6k+1,k^Z,

所以函数丫=tan底+?的单调递增区间是(6k-5,6k+1),keZ.

答案：(6k-5,6k+1),k£Z

1g(sinx)

7.函数y=i的定义域为________.

7tanx-1

1g(sinx)

要使y=―/,则有sinx>0且tanx>l,

弋tanx-1

由sinx>0得x£(2kn,2kn+九)，k£Z,

由tanx>l得x£1k兀+：,k7t+舒,

keZ,

因为(2k7t,2kn+兀)+，kn+

=12k7t+w,2k7t+,kGZ,

所以原函数的定义域为12k兀+12k兀+1,kez.

答案：12k7r+4,2k兀+2I,k£Z

8.已知函数f(x)=2tanJaTrx+胃(a>0)的最小正周期是3.则a=

f(x)的对称中心为.

函数f(x)

=2tan(airx+1(a〉0)的最小正周期是3,则3=亲，得a=；,

所以函数f(x)=2tan,

,1K1,,~

田q兀x+d=/k兀，k£Z,

31

得x=3k-],k£Z,

故对称中心为快-1,o],keZ.

答案:3快4，7keZ

三、解答题

9.(10分)设函数f(x)=tana-2.

⑴求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；

(2)求不等式-lSf(x)S小的解集.

⑴由/-#兀+方(keZ),得到函数的定义域

'x|x#苧+2k兀，k£z);

周期T=2TT；增区间(-1+2k7r,y+2kjrj(k^Z),无减区间；对称

中心售+k?r,0)(keZ).

(2)由题意,kn-<|-1<k;r+|(keZ)，可得不等式-l<f(x)<y/3

jl47c

的解集为|xW+2k7T<x<y+2k7T,k£Z,.

自我挑战区

已知函数f(x)=x2+2xtan0-1,其中。盛+k兀,k£Z.

(1)当6=,x£［-1,小］时，求函数f(x)的最大值与最小值；

f(x)

⑵函数g(x)=--为奇函数,求9的值；

X

⑶求0的取值范围，使y=f(x)在区间［-1,^3］上是单调的.

⑴当e=V时，

“、2"J回24

f(x)=x2-3x-1=［x-2-w,

因为xg-l/,所以当X邛时，

4

f(X)min="^，当X=-l时，

f(X)max=.

(2)g(x)=x-J+2tan0,

A

因为g(x)为奇函数，

所以0=g(-x)+g(x)=-x+1+

A.

2tan0+x--+2tan0=4tan0,所以tan0=0,所以0=kn:,k£Z.

X

⑶函数f(x)的对称轴为x=-tan0,因为f(x)在区间［-1,巾］上是

单调的，

所以-tang-1或-tan，即tang-小或tan。三1,则-5+

k?r<9<-+k?r,k£Z或会+k7t<0<+JOT,k£Z.

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考点综合•提升练11

限时60分钟分值100分战报得分

一、选择题(每小题5分，共30分，在每小题给出的选项中，只有一

个正确选项)

1.已知角a的终边过点(小,-2)，则tan(a-3兀)=()

A2「空〃近-2

A--3B--5C--2D3

选B.角a的终边过点(小,-2)，则tana=-哀=-,所以

tan(a-3兀)=tana=-.

2.已知tan。=2,则sin,+0)cos0-sin0cos岸+0)=()

4「3_3「4

AA,_5B•_5C,5D,5

选B.由题意,tan0=2,

则sin住+0jcos0-sin0cos俘+0)

,,cos20-sin2。1-tan203

=cos20-sin20=----;-----------=----------=-7

sin20+cos201+tan20。

【变式备选】

在直角坐标系中，若角a与B的终边关于y轴对称，则下列恒等式

中成立的是（）

A.sinl^a+KJ=sin0B.sin(a-句=sinp

C.sin(2兀-a)=-sinPD.sin(-a)=sin0

选C.在角a的终边上任取一点P（xo,yo），则点P关于y轴对称的点

p(-xo,yo)在角p的终边上，根据三角函数的定义可知，sina=sin

p=~I—.根据诱导公式可得sin(a+兀)=-sina^sinp,sin

,+yo

(a-7t)=-sinaRsin0,sin(2冗-a)="sina=-sinP,sin(-a)=

-sina^sinp.K

3.下列函数中，周期为兀，且在(0,野上单调递增的是()

A.y=tan|x|B.y=|tanx|

C.y=sin|x|D.y=|cosx|

选B.函数y=tan|x|不是周期函数，函数y=|tanx|周期为兀，且在

(o,号上单调递增.

TT___JT

4.“（P=-4"是“函数f（x）=cos（3x-（P）的图象关于直线X=4对称”

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

选A.当（p=：时，

f（x）=cos（3x+V,

若X?时，制=COS胃+皆=COS7T=-1，故直线x=1是对

称轴，排除B,D.

..jr371

函数f(x)=cos(3x-(P)对称轴若是x=4，则4-(p=k兀(k£Z),则(P

37r

-kTT(kez),故排除C,所以选A.

蜀【变式备选】

设好R,则“f(x)=cos(x+<p)(x£R)为偶函数”是“(p=兀”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C,充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

选B.由于函数f(x)=cos(x+(p)(x£R)为偶函数，则f(0)=cos(p=

±1,得(P=k7i(keZ),因此,tcf(x)=cos(x+(p)(x£R)为偶函数”

是“(p=兀”的必要不充分条件.

、，、，r兀兀

5.已知函数f(x)=cos(cox+(p)(co>0,0<(p<兀)是奇函数，且珥-g,4

上单调递减.则(D的最大值是()

123

A.2B.C.2D.2

选C.因为f(x)是奇函数，

所以f(0)=COS(P=0,且O<(P<7T,

所以q)U,

所以f(x)=cos(cox+软,

令：2k7t<cox+2<2kn+兀,(k£Z),

2k7T712k兀71八_一、

解得：-----丁<x<-----+丁，v(k£Z),

R十bco2(oco2o)''

由于函数在［-14］上单调递减，

2knn7i

-------------------<--

co2(o-3'

故：<9V

兀2k兀71

席京+而，

当k=0时,

JcD<|,

整理得：\2

l0<2,

故CO<3|,可得(0的最大值为］3.

6.已知函数f(x)=2cos(x-看，若函数h(x)=f(x)+1的两个不同零

点分别为XI,X2,则|x】-X21的最小值为()

2兀-兀-4兀一

A,行B-2C・WD.7i

选A.因为f(x)=2cos|x-|j

所以h(x)=2cos(x-+1,

1

当h(x)=0时，cosx-V=2-

得xV=中+2k兀，k£Z或x-聿+2k兀，k£Z,

解彳导：x=不+2kn,k£Z或X=E+2kn,k£Z,

相邻的零点XI,X2中，|XLX21的最小值是:-y=y.

二、选择题(每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的

得3分)

7.若函数f(x)=sin(cox+®>0)在［o,TC］上有且仅有3个零点和

2个最小值点，则3的取值可以为()

107

A.3B.C.5D.4

选BC.如图作出简图，

由题意知，兀£[X4,X5）,设函数f（x）的最小正周期为T,因为Xo=-

兀mi7-72K10Kc2兀

7~，贝[]X4=x（）+，T=x（）+1•一=—,xs=xo+2T=x（）+2--=

6co744co3（ozco

23兀4+入r\-t-IOTT_237r际，曰F1023)

商,结合兀目X4,X5)有破而且兀<而,解得3$［9,yj

又3J阴用，所以选BC.

8.若函数f(x)=1+4sinx-t在区间管，2力上有2个零点，贝h的值

不可能是()

A.-3B.0C.3D.4

选AC.令f（x）=O,可得sinx二飞一,可知两个函数在区间用，2兀］

上的图象有两个交点，

作出函数y=sinx与y=《一在区间七，2冗］上的图象，如图所示：

1t-1t-1

则I（丁<1或-1<丁<0，解得3«<5或-3<t<l.

三、填空题（每小题5分，共20分）

9.已知函数f（x）=-2^2cos3x（3>0）的图象关于点洋,0）对称,

且f（x）在区间（0,y）上单调，则co的值为.

函数f（x）=-2啦coscox的图象关于点胃，0）对称，

所以-2媳cos律co）=0,

即寸co=kn+,kGZ,

42

得至I」（o=gk+q,kez,

又因为f（x）在区间（0,y）上单调,

所以T,即1泮,

所以27r管47涔r，_而3>0,所以退3，

.2

所以k=0时，a)=^.

2

分口室•--3

10.若0<X<2K,则不等式sinx>|的解集为

因为sinx>^,

所以季+2k7i<x<-^+2kn,k^Z,

又因为0<X<2K,所以k=0时，聿<x<^.

兀

答案：L5

~6

E刎0

蜀【变式备选】

函数y=sinx-cosx的定义域为

要使函数有意义，必须使sinx-cosx>0.

利用图象，在同一坐标系中画出［0,2兀］上y=sinx和y=cosx的图

象，如图所示.

在［0,2兀］内,满足sinx=cosx的x为彳,竽

再结合正弦、余弦函数的周期是27r,所以定义域为

,+2k7t<x<^+2k7r,k£z).

答案：'x£+2kK<x<y+2k7r,kezj

11.已知函数f(x)=2sin[cox-+l(xeR)的图象的一条对称轴为

x=兀，其中co为常数，且co《l,2),则函数f(x)的最小正周期为

由函数f(x)=2sin|o)x圉+l(xeR)的图象的一条对称轴为x=7i.

可得3兀=k7t+^,k£Z,所以(o=k+|，又(o£(l,2)，所以

5

w=3,

因此，函数y=f(x)的最小正周期为T潦=y.

3

生索.—

口木•5

12.已知函数f(x)=sin[+聿]，其中x£-,a.若f(x)的值域是

4,1],则实数a的最小值为最大值为.

、“「兀]兀「九71

3xC$a时，x+石金-4,a+x,

因为f(x)的值域是[-，1],

所%<a+1,所烤<a<7t,

所以实数a的最小值为W,最大值为兀

答案：,兀

四、解答题(每小题10分，共40分)

yio

13.已知a是第三象限的角，且cosa=io-

⑴求tana的值；

cos(兀-a

(2)化简并求值——-

兀

2sin(-a)+sin]+a

⑴由题意得，a是第三象限的角，

3/

所以sina=1-cos2a

10

所以tana="^=3.

cosa

-cosacosa11

⑵原式=

-2sina+cosa2sina-cosa2tana-15

14.设x£R,函数f(x)=cos(cox+(p)(co>0,-$<(p<0)的最小正周期

为兀，且

(1)求3和§的值；

⑵在给定坐标系中作出函数f(x)在，兀］上的图象;

1

语-

3)f(x)>2，求X的取值范围.

⑴因为f(x)的最小正周期是7T,所以T=—=7T=>C0=2,

0=cos(2x：+(p)=

即sin(p=-坐,因为-«p<0,

所以q)=V.

(2)由⑴可知f(x)=cos(2x-1

列表

7U57r27r11兀

X071

612T12

c