2024年高考数学复习解答题解题思路训练专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）(典型题型归类训练)含解析

2024年高考数学复习解答题解题思路训练专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：隔项等差数列 2题型二：隔项等比数列 3三、专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练 4一、必备秘籍1、隔项等差数列已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；2、隔项等比数列已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：①构成以为首项的等比数列，公比为；②构成以为首项的等比数列，公比为；二、典型题型题型一：隔项等差数列例题1．（2023春·江苏南京·高二校考期中）已知数列满足，.(1)求数列的前100项和；(2)求数列的通项公式.例题2．（2020·高二单元测试）数列满足，，求.例题3．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知数列，，，，．求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和；题型二：隔项等比数列例题1．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知数列满足．(1)求的通项公式；例题2．（2023春·福建福州·高二校考期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，．(1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列的通项公式．例题3．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）在数列中，，且．(1)证明：，都是等比数列．(2)求的通项公式．三、专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练一、单选题1．（2023春·河南驻马店·高二统考期中）已知数列满足是数列的前项和，则（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2023春·广东韶关·高二统考期末）已知数列满足，，则（

）A． B．是的前项和，则C．当为偶数时 D．的通项公式是三、解答题3．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知为数列的前项和，，．(1)证明：．(2)求的通项公式．4．（2023春·四川德阳·高二统考期末）已知正项等比数列对任意的均满足．(1)求的通项公式；5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，求此数列的通项公式.6．（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，求通项.7．（2023春·湖北武汉·高二统考期末）已知各项均为正数的数列满足：，.(1)求数列的通项公式；8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：.(1)当时，求数列中的第10项；(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.9．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）在数列中，已知，．(1)求证：是等比数列．10．（2022·安徽黄山·统考一模）已知数列满足,且.(1)求数列的通项公式;11．（2022秋·广东·高二校联考期末）已知等比数列对任意的满足.(1)求数列的通项公式；12．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考阶段练习）已知数列，且满足，有.(1)求数列的通项公式：13．（2022秋·江苏盐城·高三统考期中）数列中，．(1)求的通项公式；

专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：隔项等差数列 2题型二：隔项等比数列 3三、专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练 5一、必备秘籍1、隔项等差数列已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；2、隔项等比数列已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：①构成以为首项的等比数列，公比为；②构成以为首项的等比数列，公比为；二、典型题型题型一：隔项等差数列例题1．（2023春·江苏南京·高二校考期中）已知数列满足，.(1)求数列的前100项和；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)10000(2)an＝2n－1【详解】（1）∵a1＝1，an＋1＋an＝4n，∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝4×502＝10000.（2）an＋1＋an＝4n，①an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，②由②－①得，an＋2－an＝4，由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3.当n为奇数时，，当n为偶数时，，综上所述，.例题2．（2020·高二单元测试）数列满足，，求.【答案】为奇数，为偶数【详解】由，得，两式作差得，即又∴数列{an}的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，偶数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列.则当n为奇数时，；当n为偶数时，.∴.为奇数，为偶数例题3．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知数列，，，，．(1)求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和；【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）因为，所以，当时，当时，所以则当为偶数时，累加得：，所以当为奇数时，为偶数，则，则此时，综上可得所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列，其前n项和题型二：隔项等比数列例题1．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知数列满足．(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1），，两式相比得．，．数列是以为首项，4为公比的等比数列；数列是以为首项，4为公比的等比数列．．综上，的通项公式为．例题2．（2023春·福建福州·高二校考期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，．(1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)是等比数列，(2)【详解】（1）因为，所以，所以，又，所以，因为，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以.（2）由（1）知，所以是以为首项，为公比的等比数列；是以为首项，公比为的等比数列，所以.例题3．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）在数列中，，且．(1)证明：，都是等比数列．(2)求的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为，且，所以，．因为，故，所以，，则，都是公比为16的等比数列．（2）由（1）知，都是公比为16的等比数列，所以，，故对任意的三、专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练一、单选题1．（2023春·河南驻马店·高二统考期中）已知数列满足是数列的前项和，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设，且，所以，即，当且时，是首项为1，公比为2的等比数列，则；当且时，是首项为2，公比为2的等比数列，则；.故选：B二、多选题2．（2023春·广东韶关·高二统考期末）已知数列满足，，则（

）A． B．是的前项和，则C．当为偶数时 D．的通项公式是【答案】AD【详解】数列满足，，因为，，所以，，B错；由题意，①，②，由②①得，，由，，所以，当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则，综上所述，对任意的，，C错D对；，A对.故选：AD.三、解答题3．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知为数列的前项和，，．(1)证明：．(2)求的通项公式．【答案】(1)证明见解析；(2)；【详解】（1）当时，，则，而，则，当时，由，得，两式相减得，又，满足上式，所以当时，．（2），因此的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，，的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，，于是，所以的通项公式是．4．（2023春·四川德阳·高二统考期末）已知正项等比数列对任意的均满足．(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）设公比为，由，得当时，，两式相除得，所以，又，则，所以（舍去），所以；5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，求此数列的通项公式.【答案】.【详解】在数列中，由，得，当时，，两式相除得：，因此数列构成以为首项，为公比的等比数列；数列构成以为首项，为公比的等比数列，于是，所以数列的通项公式是.6．（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，求通项.【答案】【详解】因为，所以当时，，当时，，两式相减得：，构成以为首项，2为公差的等差数列；构成以为首项，2为公差的等差数列，，，7．（2023春·湖北武汉·高二统考期末）已知各项均为正数的数列满足：，.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）解：由，当时，，∴，又，，∴。当时，，∴为奇数时，；当时，，∴为偶数时，∴；8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：.(1)当时，求数列中的第10项；(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，，证明见解析【详解】（1）由已知，所以，相除得；又，所以，所以.（2）假设存在正数，使得数列是等比数列，由得，由，得，因为是等比数列，，即，下面证明时数列是等比数列，由（1）知数列和都是公比是的等比数列，所以，；所以为奇数时，，为偶数时，，所以对一切正整数，都有，所以，所以存在正数使得数列是等比数列.9．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）在数列中，已知，．(1)求证：是等比数列．【答案】(1)证明详见解析(2)【详解】（1）由，得，即，所以是首项为，公比为的等比数列.10．（2022·安徽黄山·统考一模）已知数列满足,且.(1)求数列的通项公式;【答案】(1)【详解】（1）解:由题知①,因为,所以,解得,当时,②,①-②可得:,所以当为奇数时,,,,以上式子相加可得:,化简可得,满足上式，所以当为偶数时,,,,以上式子相加可得:,化简可得,满足上式，综上:;11．（2022秋·广东·高二校联考期末）已知等比数列对任意的满足.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）设等比数列公比为q，则有，两式相除化简得，解得，又，可得.∴数列的通项公式.12．（2022秋·湖北襄阳·高二襄