新人教版高中数学必修第二册第六章平面及其应用：本章复习提升

本章复习提升

易混易错练

易错点1对向量的有关概念理解不清致错

1.(*)下列命题中：

①allb0存在唯一的实数入WR,使得b=Aa；

②e为单位向量，且alie,则a=±|a|e；

(3)|a-a-a|=|a|3；

④a与b共线力与c共线，则a与c共线；

⑤若a-b=b-c且bWO,则a=c.

其中正确命题的序号是.

易错点2混淆向量坐标和点的坐标致错

2.(土。已知A,B,C三点在一条直线上，且A(3,-6),B(-5,2),若点C的横坐

标为6,则点C的纵坐标为()

A.-13B.9C.-9D.13

3.(*)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),而二说+人前(入£R),点P在第三象

限，求人的取值范围.

易错点3忽略向量的方向致错

4.(住)已知向量a,b不共线，若向量a+Ab与b+Aa的方向相反，则人的

值为()

A.lB.OC.-lD+1

5.(*7)已知点AQ,3),B(4,-1),则与向量荏同方向的单位向量为()

A(M)B.(〉|)

C,(-消D.(4，|)

6.(*)已知点A(3,-4)与点B(-l,2),点P在直线AB上，且|而|二2|而

则点P的坐标为.易错

易错点4对向量夹角理解不清致错

7.(#?)在边长为1的等边SBC中，设近二a,夕=b,通二c,则

a-b+b-c+c-a=(易错)

A.--B.0C.-D.3

22

8.(*)设a=(l,-2),b=(l，人)，且a与b的夹角为锐角，则A的取值范围是

(易错)

A.(-oo,-2)U(-2,0B.&+8)

《'|"(|'+8)D.(-OO,0

易错点5忽略三角形边角关系的隐含条件致错

9.(4)设2a+l,a,2a-l为钝角三角形的三边长，则a的取值范围

________.易错

10.(娘)在3BC中，三边a,b,c互不相等，且a为最长边，若a2<b2+c2,

则A的取值范围是•易错

11.（*）在SBC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且C为钝

角,c-b=2bcosA.

Q）求证:A=2B;

⑵若b=/求a的取值范围.

易错点6忽略三角形解的个数致错

12.（2019福建厦门高二期末质量检测,*）在SBC

中,B=30°,AB=2g,AC=2,贝SABC的面积是（易错）

A.V3B.2V3

C.B或2百D.2g或4百

思想方法练

一、函数与方程思想在向量的运算及解三角形中的应用

1.(的在SBC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边，若a=3,c=7zC=60°,

贝b=.

2.(2020福建三明高一上期末,")如图，在AOBC中，点A是BC的中点,

点D在线段0B上，且OD=2DB,设二a,南二b.

Q)若|a|二2,|b|=3,且a与b的夹角为*求(2a+b)-(a-b)；

(2)若向量瓦与Ul+k反共线，求实数k的值.

3.(*)在^ABC4q,a2+c2=b2+V2ac.

(1)求B的大小；

(2)求acosA+cosC的最大值.

二、数形结合思想在向量的运算及解三角形中的应用

4.(*)在^ABC^,AB=2,BC=3V3,ZABC=30°,AD为BC边上的高，若

近二人存+|j幅则4=()

A.2B.-C.-D.2V3

23

5.(*)海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮北偏东75°,距离为12V6n

mile;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为8V3nmile;货轮

向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求：

(1)A处到D处的距离；

(2)灯塔C与D处之间的距离.

三、转化与化归思想在向量的运算及解三角形中的应用

6.(*)如图，扇形ABC的半径为1,圆心角NBAC=150°,点P在弧前上

运动，而二m荏+n无，则遮m-n的最大值是()

p

c

R

A.lB.V3C.2D.2V3

7.(2020湖南长沙长郡中学高三上月考,")已知△ABC的外接圆圆心

为O,AB=6,AC==aAB+^)AC(a,PGR),sin2zBAC-^ta+

0T)(t为实数)有最小值,则实数t的取值范围是.

8.(城)如图所示，在SBC中,已知点D在边BC上，且

zDAC=90°zcoszDAB=^,AB=6.

⑴若sinC4,求线段BC的长；

(2)若点E是BC的中点,AE=g,求线段AC的长.

BDEC

答案全解全析

易混易错练

1.答案②③

解析若a为零向量，则①不成立.当b为零向量时，④不成立.根据向量数量积的概

念可知⑤错误.易知②③正确,故正确命题的序号为②③.

2.C设C点坐标为(6,y),则前二(3,y+6).

•.•A,B,C三点共线，亘二(-8,8),

•3=y+6•Q

*e-8-8

3.解析由题意得荏=(3,1),尼二(5,7).

设P(x,y),则标=(x-2,y-3).

因为方=南+沅=(3,1)+人(5,7)=(3+5入1+7人)，

所以(x-2,y-3)=(3+5\l+7人)，

唯二::穿得忧22

因为点P在第三象限所以x=5+5入＜0且y=4+7入＜0,解得A＜-1.

所以人的取值范围是闪入＜-1}.

4.C•.响量a+入b与b+入a的方向相反，

，(a+入b)ll(b+入a).由共线向量定理可知，存在一个实数m,使得a+Ab=m(b+Aa),

即(1-m入)a=(m-入)bj.'a与b不共线,l-mX=m-入=0,可得m=A,/.l-X2=0,A=±l.

当A=1时，向量a+b与b+a是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去....入=-1.

5.AVA(1,3),B(4,-1),

/.AB=(3,-4),|AB|=5,

与而同方向的单位向量为瑞j=(|,-以.故选A.

6.答案&0)或(-5,8)

解析设P(x,y),由|萍|二2|而得而二2而或9=-2而.

若刀=2而，则(x-3,y+4)=2(-l-x,2-y).

所以拼工242取解叱二,

故p(M

5,

若丽=-2而，则同理可得［8

故P(-5,8).

综上，点P的坐标为弓,0)或(-5,8).

易错警示

在将模的关系转换为向量之间的关系时，需要从方向的角度加以分析,若不能确定,

则需分类讨论.

7.A如图所示，由题意可得a、b、c这三个向量两两夹角都是等且模都等于1,

A

故有a*b=b，c=c・a=lxlxcosg=-；,...a・b+b・c+c・a=-|,故选A.

易错警示

在求向量夹角时，一定要先将向量平移到同一起点再进行计算,本题易误认为a、b、

c这三个向量两两夹角都是右从而导致解题错误.

8.A•••a=(L-2),b=Q,入)，且a与b的夹角为锐角,

.,.a・b=l-2入>0,即入与

又当入=-2时,a与b的夹角为0°,

故实数X的取值范围是(-8,-2)U(-2，).故选A.

易错警示

本题易忽略a与b同向的情况，即a与b的夹角为0°.解此类题要注意:当两向量的

夹角为锐角时，要排除它们同向的情况;当两向量的夹角为钝角时,要排除它们反

向的情况.

9答案(2,8)

解析由2a+La,2a-l为三角形的三边长，可得2a-l>0,即a*,...最大边长为

2a+1,.,.2a-l+a>2a+L解得a>2.

•.•三角形为钝角三角形，

.,.a2+(2a-l)2<(2a+l)2

解得0<a<8.

综上,2<a<8.

易错警示

本题隐含的条件为①三角形的三边长均为正数;②三角形中两边之和大于第三边.

10.答案{A|600<A<90°}

解析•••a2<b2+c2,

.•.b2+c2-a2>0,则cosA=4^>0,

2bc

：.A<90。.又Va为最长边,...A>60°.

故A的取值范围是{A|60°<A<90°}.

易错警示

本题易忽略a为最长边,从而得出错解0°<A<90°.

11.解析⑴证明:由c-b=2bcosA,得sinC-sinB=2sinBcosA.

在AABC中，因为C=n-(A+B),

所以sinC=sin(A+B).

所以sin(A+B)-sinB=sinAcosB+sinBcosA-sinB=2sinBcosA,

整理，得sin(A-B)=sinB.

因为C为钝角，所以0<BqT<A-B《所以A-B=B，故A=2B.

⑵由正弦定理及⑴，得熹=5广a

2sinB，cosB

因为b=g,所以a=cosB.

因为C为钝角，

所以0<A+B=2B+B<£即0<B<7，

所以苧<cosB<1,所以a的取值范围为停,1).

12.C由AB=2b,AC=2,B=30°及正弦定理，得sin

由角C为三角形的内角可知C=60°或120°,因此A=90°或30°.

当A=90。时,SAABC=；AGAB-sinA=2V3;

当A=30°时,SAABc=；AGABsinA=V3.

易错警示

本题中AB-sinB<AC<AB,且B为锐角，因此角C应该有两解.

思想方法练

1.答案8

解析由余弦定理得32+b2-72=2x3bxcos60°,即b2-3b-40=0,

解得b=8或b=-5(舍去).故答案为8.

2.解析(1)因为|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为也所以融二哥|叱(^=3丹所以

(2a+b)-(a-b)=2a2-a-b-b2=-l-3V3.

(2)由题图

^^OC=OB+BC=OB+2BA=20A-0B^DC=DO+OC=~OB+20A-0B=2ol-|OB,

因为a=a,而=b,所以左=2a-b,反=2a-|b,

所以OA+kOC=a+k(2a-|b)=(2k+l)aqkb.

若泥与瓦5+k反共线，则存在实数入，使得泥=入01+1<反)，

即2a-b=、[(2k+l)a-|kfoj,

所以(2-2入匕入)a=(l-|kA)b,

f2-2A/c-A=0,

因为a与b不共线，所以15..

口-次=0n，

解《_4

一孑所以实数k的值为.

_24

_4,

3.解析(1)由余弦定理及已知得cosB=史萨二要=号.

因为0<B<TT,所以B4

(2)由⑴知A+C哼,，C岑-A.

V2cosA+cosC=V2cosA+cos传-A)

=V2cosA-yCOSA+ysinA

=[cosA+釐sinA=cos(/-；).

22\4/

设y=cos(W),0<A哼

由余弦函数的性质可知，

当A=用寸,y=cos(4；)取得最大值L故V^cosA+cosC的最大值为1.

4.A由题意得BD=AB-COSZABD=2X^=V3,.-.BD=|BC.

.•.诟=存+而=万+萍=而+*宓砌=1荏+押.

XAD=AA6+p^4C,

•••九=|，启

.•.4=2.故选A.

5.解析由题意，画出示意图，如图所示.

⑴在AABD中，由已知得NADB=60°,则NB=45°.由正弦定理，得人口=竺嚅=24,

sm6U

即A处到D处的距离为24nmile.

(2)在AADC中，由余弦定理，得

CD2=AD2+AC2-2ADACcos30°

=242+(8V3)2-2X24X8V3X^=(8V3)2,

.••CD=8b，即灯塔C与D处之间的距离为8V3nmile.

6.C以A为原点,AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系,如图.

设P(cose,sine),0°<e<150°,

则A(0,0),B(L0),C(-f),

VAP=mAB+n^C,

(cos9,sin0)=m(l,O)+n(-y,|)=(m-yn,^),

/.cos0=m--yn,sin0=^,

m=cos0+V3sin0,n=2sin0,

/.V3m-n=V3cos0+3sin0-2sin0=V3cos0+sin0=2sin(0+6O°),

,.,0°<0<150°,

.,.60°<e+60o<210°,

...当6+60°=90°,

即0=30°时，

V3m-n取得最大值，且最大值为2,故选C.

7•答案（-瑞）

解析如图所示，取AB的中点D,连接OD,

由于。是三角形ABC外接圆的圆心，故OD_LAB,所以

而♦荏二|荏H而卜COSNOAB=|四向四|臼乐F=18,同理可得

|ZC|-|^4O|-COSZOAC=|ZC|-1|