广东省深圳市坪山中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

2022—2023学年第二学期初二年级期中考试数学注意事项：1．答第一卷前，考生务必将在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人员将答题卡收回．一、选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计30分）1.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．该图是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；B．该图既是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；C．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；D．该图是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；故选：B．2.已知a<b，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质分析判断．【详解】解：A、不等式a＜b的两边同时加上3，不等号的方向不变，即a+3＜b+3，故此选项不符合题意；B、不等式a＜b的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2a＜2b，故此选项不符合题意；C、不等式a＜b的两边同时乘-1，不等号的方向改变，即-a＞-b，故此选项不符合题意；D、不等式a＜b的两边同时减去b，不等号的方向不变，即a-b＜0，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3.使分式有意义的x的取值范围是（）A.x≥1 B.x≤1 C.x≠1 D.x＞1【答案】C【解析】【分析】分式的分母不为零，即x-1≠0．【详解】解：当分母x-1≠0，即x≠1时，分式有意义；

故选C．【点睛】从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．4.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）A.360° B.540° C.720° D.900°【答案】C【解析】【分析】首先确定出多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可．【详解】解：∵从一个顶点可引对角线3条，∴多边形的边数为3+3＝6．多边形的内角和．故选：C．【点睛】本题主要考查的是多边形的对角线和多边形的内角和公式的应用，掌握公式是解题的关键．5.下列多项式中，分解因式不正确的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据提公因式法、平方差公式和完全平方公式逐一判断即可．【详解】解：A．，故本选项正确；B．，故本选项正确；C．，故本选项错误；D．，故本选项正确．故选：C．【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．6.一次环保知识竞赛共有25道题，每一题答对得4分，答错或不答都扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少要答对多少道题？如果设小明答对了x道题，根据题意列式得（）A.4x﹣1×（25﹣x）＞85 B.4x+1×（25﹣x）≤85C.4x﹣1×（25﹣x）≥85 D.4x+1×（25﹣x）＞85【答案】C【解析】【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，

4x-1×（25-x）≥85，

故选C．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．7.如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC=3，则点P到OB的距离为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD，从而得解．【详解】解：如图，过点P作PD⊥OB于D，∵点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA，∴PC=PD=3，即点P到OB的距离等于3．故选：A．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．8.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠ABC=75°，则∠EAF的度数为（）A.60° B.65° C.70° D.75°【答案】D【解析】【分析】先根据平行四边形的性质，求得∠C的度数，再根据四边形内角和，求得∠EAF的度数．【详解】解：∵平行四边形ABCD中，∠ABC=75°，∴∠C=105°，又∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∴四边形AECF中，∠EAF=360°-180°-105°=75°，故选D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的邻角互补，四边形的内角和等于360°．9.如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕O点逆时针方向旋转得平行四边形，则点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及旋转的性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．直接利用旋转的性质B点的对应点到原点距离相同，进而得出坐标．【详解】解：∵将平行四边形绕O点逆时针方向旋转得平行四边形的位置，，∴点的坐标是：．故选：B．10.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠D=120°，延长CB至点M，使得BM=BC，连接AM，则AM的长为（）A.3.5 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作AN⊥BM于N，求出∠BAN=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BN、AN的长，由勾股定理即可得出答案．【详解】作AN⊥BM于N，如图所示：

则∠ANB=∠ANM=90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=6，∠ABC=∠D=120°，

∴∠ABN=60°，

∴∠BAN=30°，

∴BN=AB=2，AN=，∵BM=BC=3，

∴MN=BM-BN=1，

∴AM=，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．二、填空题：（每小题3分，共计15分）11.因式分解：_________．【答案】【解析】【分析】直接提取公因式即可．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．12.如果分式的值为0，那么x的值为______．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解决本题的关键．根据分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．即可解决此题．【详解】解：，，且，，且，，故答案为：2．13.如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，且BC=7，则DE=______．【答案】3.5【解析】【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．【详解】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，且BC=7，∴．故答案为：3.5．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，属于基本题型，熟练掌握该定理是解题关键．14.如图，∠AOP＝∠BOP，PC∥OA，PD⊥OA，若∠AOB＝45°，PC＝6，则PD的长为_____．【答案】3【解析】【分析】过P作PE⊥OB，根据角平分线的定义和平行线的性质易证得△PCE是等腰直角三角形，得出PE=3，根据角平分线的性质即可证得PD=PE=3.【详解】解：过P作PE⊥OB，

∵∠AOP=∠BOP，∠AOB=45°，

∴∠AOP=∠BOP=22.5°，

∵PC∥OA，

∴∠OPC=∠AOP=22.5°，

∴∠PCE=45°，

∴△PCE是等腰直角三角形，，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE=.【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，求得∠PCE=45°是解题的关键．15.如图，△ABC的周长为26，点D、

E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC=10，则PQ的长是_________．【答案】3【解析】【分析】首先根据角平分线的性质得出△BAE和△CAD是等腰三角形，再根据中位线的性质即可得出PQ．【详解】∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形．同理△CAD是等腰三角形．∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线．∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定和性质以及角平分线和中位线的性质，熟练掌握，即可解题．三、解答题：（本大题有7题，其中16题9分，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题8分，22题10分，共计55分）16.解不等式（组）（1）（2）【答案】16.17.【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式组的解法是解题关键．（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：由不等式①得：；由不等式②得：；不等式组的解集为：．17化简：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的加减和分式的乘法法则是解题的关键．根据分式的运算法则，先将除法转化为乘法，将分母因式分解，先计算乘法，在计算同分母减法即可．【详解】解：原式．18.△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1，（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2，（3）在x轴上求作一点P，使PA1＋PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（，0）【解析】【分析】（1）直接利用关于点对称图形的性质得出答案；（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）结合待定系数法求一次函数解析式得出答案．【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）如图所示：点P即为所求，作关于轴对称的点，可得A（2，－1），，设直线y＝kx＋b，则，解得：，故直线A1C2的解析式为：y＝x－4；当y＝0时，解得：x＝，故P（，0）．

【点睛】本题主要考查了旋转变换以及平移变换、利用轴对称求最短路线，解题的关键是正确得出对应点位置．19.已知：如图所示，在平行四边形ABCD中DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）证明、互相平分，只要证四边形是平行四边形；利用两组对边分别平行来证明；（2）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，得到，过点作于点，根据直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，．又，分别是，的平分线，．，，，，，，四边形是平行四边形；（2）解：，AB//CD，，∵DE是∠ADC的角平分线，，为等边三角形，，，，过点作于点，，，在中，，，，在中，，，，，平行四边形的面积．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，证得是等边三角形是解题的关键．20.为更好推进生活垃圾分类，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．（1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？（2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号的垃圾箱有哪些方案？【答案】（1）每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元（2）方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找准数量关系，正确列出二元一次方程组与不等式组．（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱个，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”列出不等式组，求出m的范围，可得出答案．【小问1详解】解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元．依题意，得：，解得：．答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元；小问2详解】解：设购买m个B型垃圾箱，则购买个A型垃圾箱．依题意，得：，解得：．又m为整数，m可以为5，6，7，∴有3种购买方案：方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱．21.已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．（1）求证：BD＝2CD；（2）若CD＝2，求△ABD的面积．【答案】（1）见解析；（2）6【解析】【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE=CD，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论；

（2）依据AD=BD=2CD=4，即可得到Rt△ACD中，，再根据△ABD的面积=进行计算即可．【详解】解：（1）如图，过D作DE⊥AB于E，

∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，

∴DE=CD，

又∵∠B=30°，

∴Rt△BDE中，DE=BD，

∴BD=2DE=2CD；（2）∵∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠B=30°，

∴AD=BD=2CD=4，

∴Rt△ACD中，AC=，∴△ABD的面积为.【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质以及勾股定理的运用，利用角平分线的的性质是解决问题的关键．22.如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从点O出发，沿射线OM方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE，连接DE、BE，设点D运动了ts．（1）点D的运动过程中，线段AD与BE的数量关系是______，请以图1情形为例（当点D在线段OA上时，点D与点A不重合），说明理由．（2）当6<t<10时，如图2，△BDE周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由．（3）当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、B、E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出此时t的值______．【答案】（1）AD＝BE，理由见解析；（2）2+4，理由见解析；（3）2或14．【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE＝60°，DC＝EC，进而证得△ACD≌△BCE，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE＝AD，于是得到C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，根据等边三角形的性质得到DE＝CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，求得∠BED＝90°，根据等边三角形的性质得到∠DEC＝60°，求得∠CEB＝30°，求得OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，于是得到t＝2÷1＝2s；③当6＜t＜10时，不存在直角三角形．④当t＞10时，可得到t＝14．小问1详解】解：AD＝BE，理由如下：∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°＝∠DCE，AC＝BC，∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故答案为：AD＝B