安徽省滁州市天长市实验中学教育集团2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

天长市实验中学教育集团九年级课程质量检测数学试卷注意事项：1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1.二次函数的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的顶点为即可得．【详解】解：由二次函数得，顶点坐标为，故选：D．2.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根据正多边形的中心角＝计算即可．【详解】解：设正多边形的边数为n．由题意可得：＝72°，∴n＝5，故选：B．【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．3.如图所示的几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题的关键．根据左视图是从左面看到的图形判定即可．【详解】解：从左面看，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．故选：B．4.线段，是的黄金分割点，且，则的长度为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由黄金分割定义，得比例式PB2=AB•AP设BP=x，则AP=8-x代入得方程解方程求出即可．【详解】解：线段，是的黄金分割点，且，由黄金分割定义得：PB2=AB•AP，设BP=x，则AP=8-x，则，整理得：，解方程得，∴，．故选择：．【点睛】本题考查黄金分割，一元二次方程，方程的解法，掌握黄金分割的定义，会用黄金分割的定义列比例式，利用比例式构造一元二次方程，会解方程是解题关键．5.下列事件中，是随机事件的是（）A.用两条线段组成一个三角形B.在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片C.抛掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7D.经过任意三点画一个圆【答案】D【解析】【分析】本题考查事件的分类，根据随机事件：“一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”，进行判断即可．【详解】解：A、用两条线段组成一个三角形是不可能事件，不符合题意；B、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片是不可能事件，不符合题意；C、抛掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7是必然事件，不符合题意；D、经过任意三点画一个圆是随机事件，符合题意．故选：D．6.在中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理，正切的计算，先用勾股定理求得，再根据正切定义计算即可．【详解】∵，，，∴，∴，故选B．7.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，OD⊥AC，连接DC，若∠COB＝30°，则∠ACD的度数为（）A.30° B.37.5° C.45° D.60°【答案】B【解析】【分析】由，得到，在直角三角形中，求得；根据，得到，即可得到正确答案．【详解】解：如下图：设AC与OD相交于点Ｅ∵∴∵∴∴∵∴故选：B【点睛】本题考查的是圆周角定理，根据定理内容解题是关键．8.若，且关于x的方程的解为，，关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，画出抛物线，直线，根据二次函数与一元二次方程之间的关系，观察图象可得答案．【详解】解：由，知：，所以，，是抛物线与直线交点的横坐标，是抛物线与直线交点的横坐标，如图，由图象知：故选：B．9.如图，在中，，，，点A在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且轴，点B在点C的下方，经过点B的反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．勾股定理求得的长，设，则，进而表示出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．【详解】解：∵在中，，，，∴，∵，∴，设，则，∵直角边平行于轴，，∴，∵反比例函数图象上，∴，解得：，故选：D．10.如图，在中，点D、E在边上，连接并延长交延长线于点G．过D作于F．若，，，，，则的长为（）A. B. C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等知识．设，则，，，则为等腰三角形．由勾股定理得，，设，，由勾股定理得，，即，解得，则，如图，过B作交于Q，证明，则，求得，，由，可得，则，求解作答即可．【详解】解：设，则，∵，∴，∴，∴，∴等腰三角形．由勾股定理得，，设，，由勾股定理得，，即，解得，∴，∵，∴，如图，过B作交于Q，∴，∴，即，解得，，∵，∴，∴，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.面积为的一个三角形，它的底边随着这边上的高的变化而变化．则与之间的关系式为__________．【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式可得答案．【详解】解：由题意可得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，掌握三角形的面积公式是解答本题的关键．12.如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是______．【答案】##度【解析】【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．根据旋转的性质得，再根据三角形内角和定理计算出，然后利用进行计算即可．【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到，∴，∴，∴．故答案为：．13.如图，若圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线长为，且，则该圆锥侧面展开的扇形的圆心角大小是__________．【答案】##216度【解析】【分析】本题考查圆锥侧面积与扇形面积公式，将圆锥侧面积通过两种不同的方式表达出来，再结合即可求解．【详解】解：由题知，整理，可得，，，解得，圆锥侧面展开的扇形的圆心角大小是，故答案为：．14.如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB=6，AC＝8，点D在线段BC上运动（1）当BD＝1时，则CE＝_______；（2）设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是_______．【答案】①.②.4【解析】【分析】（1）证明△BAD∽△CAE，推出＝＝，可得结论；（2）证明∠DCE＝90°，推出CP＝DE，求出DE的最小值，可得结论．【详解】解：（1）∵△ABC∽△ADE，∴＝，∠BAC＝∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，又＝，∴△BAD∽△CAE，＝＝，∵BD＝1．∴CE＝，故答案为：；（2）∵△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠DCE＝90°，∵DP＝PE，∴CP＝DE，∵△ABC∽△ADE，∴AD的值最小时，DE的值最小，此时的值最小，∵AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝＝10，根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，此时AD＝＝＝，∴＝AD＝8，∴CP的最小值为×8＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知，且，求的值．【答案】5【解析】【分析】设a=2k，b=3k，c=4k，代入a+3b-2c=15，即可求出k的值，进而得出a、b、c的值，再把它们的值代入所求式子计算即可．【详解】解：由题意设a=2k，b=3k，c=4k，∵a+3b-2c=15，∴2k+9k-8k=15，∴k=5，∴a=10，b=15，c=20，∴a+b-c=10+15-20=5．【点睛】本题考查了比例的性质的应用，利用“设k法”求解更简便．16.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？【答案】售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润【解析】【分析】设销售单价为x元，月销售利润为y元，根据月销售利润＝单件利润×月销量，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：设销售单价为x元，销售利润为y元，依题意得，单件利润为元，月销量为件，月销售利润，整理得，配方得，所以时，y取得最大值4500．故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是能够根据题意构建二次函数解决最值问题．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别是，，，．（1）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出四边形的位似图形四边形，使它与四边形的相似比是，并写出点的坐标；（2）若四边形内部一点M的坐标为．则点M在四边形，中的对应点的坐标是______．【答案】（1）图见解析，点的坐标为（2）【解析】【分析】此题主要考查了位似图形的性质，根据题意得出对应点位置是解题关键．（1）利用位似比结合A，B，C点的位置进而得出点、、的位置；利用所画图形即可得出的坐标；（2）依据对称的性质与位似图形的性质即可得解．【小问1详解】解：如图，四边形即为所求，点的坐标为；【小问2详解】解：依据对称的性质和位似图形的性质得点的坐标为，故答案为：．18.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点与点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点是第一象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，且过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，若的面积为3，求点的坐标．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，正确解得反比例函数的表达式是解题的关键．（1）首先求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求解；（2）设点的坐标为，利用三角形面积公式进行求解即可．【小问1详解】解：将点代入一次函数，可得，解得，∴，将点代入反比例函数，可得，解得，∴该反比例函数的表达式为；【小问2详解】如下图，设点的坐标为，则，∴，点到直线的距离为，∵可解得或或或，∵点在第一象限，∴，∴，∴点的坐标为．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【答案】菜园与果园之间的距离为630米【解析】【分析】过点作，交于点，则，四边形是矩形，在中，求得，CF=240，进而求得AE=210，在中，利用正切进行求解即可．【详解】解：如图，过点作，交于点，则，∵∠B=90°，四边形是矩形，，BC=EF，在中，，∴BE=240，∴AE=AB-BE=210，在中，，，米．∴BC=EF=DF+DE=180+450=630答：菜园与果园之间的距离630米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．20.通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）．（1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是多少？（2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（）直接根据概率公式求解即可；（）画树状图得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可；本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键．【小问1详解】小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是；【小问2详解】画树状图，共有种可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色，共种结果，∴两瓶溶液恰好都变红色的概率．六、（本题满分12分）21.如图，为的直径，为上一点，的平分线交于，过点作交的延长线于．直线与射线交于．（1）求证：为切线；（2）若，，求直径的长．【答案】（1）见解析（2）直径的长为【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、切线的判定定理、直径所对的圆周角为直角、勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．（1）连接，结合角平分线的定义和等腰三角形的性质证明，进而可得，即可证明结论；（2）连接，结合为的直径，易得，再中，利用勾股定理解得，再利用三角函数可得，然后结合，易得，即可获得答案．【小问1详解】证明：如图，连接，，，平分．，，，，，，是的半径，为的切线；【小问2详解】如图，连接，为的直径，，，，，，，，，，直径的长为．七、（本题满分12分）22.如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为．（1）求证：；（2）若，，求的长；（3）连接，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．【解析】【分析】（）由四边形是矩形，得到，，从而有，根据得，即可求证；（）设，在中，，即，则，由，得出，求出的值即可求解；（）延长，交于点，证明，得，则．【小问1详解】证明：∵四边形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；【小问2详解】设，在中，，∴，∴，∵，点为的中点，∴，∵，∴，∴，∵，且，∴，解得，∴；【小问3详解】证明：如图，延长，交于点，∵，∴，，在和中，，∴，∴，∵，点是的中点，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟