广西壮族自治区桂林市大河中学高一数学理联考试卷含解析

广西壮族自治区桂林市大河中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（）A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a?α，b?β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．根据直线a，b的位置关系和直线所成角的定义进行判断．B．根据线面平行和面面平行的定义和性质进行判断．C．根据面面平行的判定定理进行判断．D．根据线面垂直和面面垂直的定义和性质进行判断．【解答】解：A．等腰三角形所在的平面垂直平面时，等腰三角形的两个直角边和α所成的角相等，但a∥b不成立，∴A错误．B．平行于平面的两条直线不一定平行，∴B错误．C．根据直线和平面的位置关系和直线平行的性质可知，当a?α，b?β，a∥b，则α∥β不成立，∴C错误．D．根据线面垂直的性质和面面垂直的性质可知，若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a?β，又∵b⊥β，∴a⊥b成立，∴D成立．故选：D．【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，要求熟练掌握线面平行和垂直的定义和性质．2.若2（x－2y）＝x＋y，则的值为（）A．4

B．1或

C．1或4

D．参考答案：D3.已知α为第二象限角，且sin2α＝－，则cosα－sinα的值为()A. B.－ C. D.－参考答案：B因为sin2α＝2sinαcosα＝－，即1－2sinαcosα＝，所以(sinα－cosα)2＝，又α为第二象限角，所以cosα<sinα，则cosα－sinα＝－.故选B.4.下列函数中，周期为π，且在[]上为减函数的是（）A．y=sin（x+） B．y=cos（x+） C．y=cos（2x+） D．y=sin（2x+）参考答案：D【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用函数的周期公式，求出A、B、C、D的周期，排除选项后，利用函数的单调性判断出满足题意的选项．【解答】解：对于A，y=cosx，周期为2π，不符合；对于B，y=﹣sinx，周期为2π，不符合；对于C，y=﹣sin2x，周期为π，在[]上为增函数；对于D，y=cos2x，周期为π，在[]上为减函数，故选D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，函数的周期性单调性，考查计算能力．5.在△ABC中，，，则（

）A.或 B. C. D.参考答案：C【分析】由正弦定理计算即可。【详解】由题根据正弦定理可得即，解得，所以为或，又因为，所以为故选C.【点睛】本题考查正弦定理，属于简单题6.函数的定义域为（）A．{x|x≤2} B．{x|x≥0} C．{x|x≤0或x≥2} D．{x|0≤x≤2}参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】计算题．【分析】由两个给是内部的代数式大于等于0联立不等式组求解x的取值范围即可得到答案．【解答】解：由，解得0≤x≤2．∴函数的定义域为{x|0≤x≤2}．故选D．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域，就是使函数解析式有意义的自变量x的取值集合，是基础题．7.已知sin＝且，则的值为A、B、－C、D、－参考答案：B8.当a＞0且a≠1时，指数函数f（x）=ax﹣1+3的图象一定经过（）A．（4，1） B．（1，4） C．（1，3） D．（﹣1，3）参考答案：B【考点】指数函数的图象与性质．【分析】由x﹣1=0求得x值，进一步得到此时的函数值得答案．【解答】解：由x﹣1=0，得x=1，此时f（x）=4，∴指数函数f（x）=ax﹣1+3的图象一定经过（1，4）．故选：B．9.半径为15cm，圆心角为216°的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的高是(

)A.14cm

B.12cm

C.10cm

D.8cm参考答案：B略10.下列各式中正确的个数是（

）

①；②；③④

、1个

、2个

、3个

、4个参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若，则

．参考答案：－1由条件知=，其中是奇函数，故，根据奇函数的性质得到，故-1.

12.命题“若x+y＞0，那么x＞0且y＞0”的逆否命题是

命题．参考答案：假【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断原命题的真假，再根据互为逆否的命题真假性相同，得到答案．【解答】解：命题“若x+y＞0，那么x＞0且y＞0”是假命题；故其逆否命题“若x≤0，或y≤0，那么x+y≤0”也是假命题，故答案为：假13.已知则的取值范围是

参考答案：（-4,2）14. 函数的定义域是

▲

．参考答案：略15.函数的值域为

参考答案：16.记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}，则max{min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}}=．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】在同一坐标系中作出三个函数y=x+1，y=x2﹣x+1与y=﹣x+6的图象，依题意，即可求得max{min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}}．【解答】解：在同一坐标系中作出三个函数y=x+1，y=x2﹣x+1与y=﹣x+6的图象如图：由图可知，min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}为射线AM，抛物线ANB，线段BC，与射线CT的组合体，显然，在C点时，y=min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}取得最大值．解方程组得，C（，），∴max{min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}}=．故答案为：.【点评】题考查函数的最值及其几何意义，在同一坐标系中作出三个函数y=x+1，y=x2﹣x+1与y=﹣x+6的图象是关键，也是难点，属于中档题．17.设向量,,若，则

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【分析】（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，由F（x）=0，即可求得F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，等号两端构造两个函数，当a＞0时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的a的取值范围的一部分；同理可得当a＜0时的情况，最后取并即可求得a的取值范围．（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立?h（x1）max﹣h（x2）min≤6，分a≤﹣1、﹣1＜a＜1、a≥1三类讨论，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，①若a=，则由F（x）=x﹣|x|﹣=0得：|x|=x﹣，当x≥0时，解得：x=1；当x＜0时，解得：x=（舍去）；综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，当a＞0时，作图如下：由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点，即函数y=F（x）存在零点；同理可得，当﹣1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；综上所述，a的取值范围为（﹣1，1）．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，∴当﹣2≤x＜0时，h（x）=（1﹣a）x﹣a；当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x﹣a；又对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，则h（x1）max﹣h（x2）min≤6，①当a≤﹣1时，1﹣a＞0，1+a≤0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增；h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递减（当a=﹣1时，h（x）=﹣a）；∴h（x）max=h（0）=﹣a，又h（﹣2）=a﹣2，h（2）=2+a，∴h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，∴﹣a﹣（a﹣2）=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，综上，﹣2≤a≤﹣1；②当﹣1＜a＜1时，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增，且h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上也单调递增，∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，由a+2﹣（a﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1适合题意；③当a≥1时，1﹣a≤0，1+a＞0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递减（当a=1时，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递增；∴h（x）min=h（0）=﹣a；又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），∴h（x）max=h（2）=2+a，∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；综上所述，﹣2≤a≤2．19.已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值；（3）是否存在m，使对于任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】指、对数不等式的解法；函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）在给出的等式中取x=y=0，求得f（0）=0，再取y=﹣x可证明f（x）是奇函数；（2）利用函数单调性的定义，借助于已知等式证明函数f（x）为增函数，从而求出函数在给定区间上的最值；（3）由奇偶性把给出的不等式变形，然后利用单调性去掉“f”，换元后利用分离变量法求m的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），∴f（0）=0．令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x），∴f（x）=f（﹣x），即f（x）为奇函数；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵当x＞0时，f（x）＞0，且x1＜x2，∴f（x2﹣x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数，∴当x=﹣2时，函数有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．当x=6时，函数有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3；（3）∵函数f（x）为奇函数，∴不等式可化为，又∵f（x）为增函数，∴，令t=log2x，则0≤t≤1，问题就转化为2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恒成立，即4m＞﹣2t2+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，令y=﹣2t2+2t+4，只需4m＞ymax，而（0≤t≤1），∴当时，，则．∴m的取值范围就为．【点评】本题考查了抽象函数及其应用，考查了函数奇偶性及单调性的判断，该类问题常采用取特值的办法，关键在于灵活变化，训练了分离变量法及配方法求变量的范围，是中档题．20.已知函数f（x）=

（b＜0＝的值域是［1，3］，

（1）求b、c的值；

（2）判断函数F（x）=，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；参考答案：解析：（1）设y=，则（y－2）x2－bx+y－c=0

①∵x∈R，∴①的判别式Δ≥0，即b2－4（y－2）（y－c）≥0，即4y2－4（2+c）y+8c+b2≤0

②由条件知，不等式②的解集是［1，3］∴1，3是方程4y2－4（2+c）y+8c+b2=0的两根∴c=2，b=－2，b=2（舍）

（2）任取x1，x2∈［－1，1］，且x2＞x1，则x2－x1＞0，且（x2－x1）（1－x1x2）＞0，∴f（x2）－f（x1）=－<0，∴f（x2）<f（x1），lgf（x2）<lgf（x1），即F（x2）<F（x1）∴F（x）为减函数．21.某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（x元）试销l天，得到如表单价x（元）与销量y（册）数据：单价x（元）1819202122销量y（册）6156504845

（l）根据表中数据，请建立y关于x的回归直线方程：（2）预计今后的销售中，销量