12.3角的平分线的性质（第 2课时）教学设计-2023-2024学年人教版八年级数学上册

12.3角的平分线的性质（第2课时）【教材内容分析】（一）单元内容分析中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章以三角形为例研究全等.对全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础.本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程.由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等，所以本章的内容也是后面将学习的等腰三角形、四边形、圆等内容的基础.（二）课时内容分析本节课的教学内容主要是探索并证明角平分线的判定定理，会用角平分线的判定定理解决问题．本节课是在已经学习了证明直角三角形全等和角平分线的性质基础上进行教学的．角平分线的性质和判定为证明线段及角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的运用和延续，又为后面学习圆的内心奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．【学情分析】八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学.学生的知识基础：学生在七年级上册教材中已经学习过了尺规作图.其中包括理解尺规作图的含义，能完成作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角的基本作图，初步掌握了尺规作图.而对于三角形，它是最简单、最基本的几何图形，学生在生活中随处可见.并且在本章的前4节中学生已经对三角形的有关概念及相关结论有了进一步的学习，如认识三角形、全等三角形、探索三角形全等条件.学生已经初步具备了作三角形的基本知识与技能.学生的活动经验：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了观察、猜想、画图、推理、交流等活动，发展了空间观念，积累了一些数学活动经验，具备了一定的动手实践与合作交流能力.要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力.【教学目标】1.掌握角平分线的判定定理，了解角平分线性质及判定在生活、生产中的应用，并能用这些方法解决简单的数学问题.2.经历探究角平分线判定的过程，发展合情推理能力和演绎推理能力，进一步发展推理证明意识和能力.【教学重难点】重点：角的平分线的判定的证明及运用.难点：灵活应用角的平分线的性质和判定解决问题.【资源与工具】多媒体课件，作图工具【设计思想】本节课由实际问题引入，激发学生的学习兴趣.再复习角平分线的性质，请同学找出它的题设与结论，然后把题设和结论交换得到新的命题，让学生自主猜想、验证、得出角平分线的判定定理，然后根据图形写出它的符号语言.在探究过程中，学生结合命题的文字语言画出图形，写出符号语言再证明的过程，培养了学生的逻辑推理能力.同学们在运用这个判定的时候，要注意他的条件和结论，条件是距离相等，结论是这个点在角平分线上，让学生掌握基本图形.接着给出了三个小判断题，让学生更加深刻的理解角平分线判定定理的条件.只有满足距离相等，既有垂直又有相等，才能得出点在角平分线上.为我们判断一个点在角平分线上提供了依据，也为我们证明角相等又提供了一种方法.接着就利用角平分线的判定来完成我们开始提的那个实际问题，有距离相等可知这个点必定在那两条公路和铁路的角平分线上.同学们拿出画图工具进行画图，由图上距离和实际距离的比例尺，可得出在图上距离它们的交点有多远，然后用尺子和圆规量出那个点，把点描出来.在讲解这个题的时候，让同学们审题，然后把实际问题抽象出来，转化为数学的角平分线问题，再利用角平分线判定定理的知识来进行求解.从而体现了角平分线的性质和判定在生活中会经常用到.再出示本节课的例题，它是利用角平分线的性质得出距离相等，接着又提了一个问题：这个点是否在另一个角的平分线上？可以利用角平分线的判定进行求解.例题和想一想，是把角平分线的性质和判定进行综合利用，从而为我们以后证明角相等和线段相等又提供了一种证明方法.在证明过程当中，关键是提醒学生怎样做辅助线.在这里面.我们现阶段的做辅助线的方法，基本上都是为了补全基本图形和基本模型而做的辅助线.比如角平分线的性质和判定里面，它的基本图形里面涵盖的是角平分线、垂直和相等.所以我们往往会出现做垂线的问题，有可能做一条垂线，也有可能做两条垂线.所以同学们在以后的学习当中要注意积累基本图形和基本模型，便于以后能迅速在解题的过程中迅速找到答案.由于例题和想一想是角平分线的性质和判定的综合应用，有个别同学容易混淆.我又总结了角平分的性质与判定的区别和联系.通过文字、图形和符号语言，让学生更能准确的掌握性质和判定他们的条件和结论，便于以后证明过程的书写.再加上达标训练、课堂小结、拓展应用、分层布置作业等环节来强化本节所学知识.在本节课教学中以学生参与为主，便于激发学生学习热情，体验成功的喜悦，通过直观的演示和学生自己动手使学生在获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样更有利于调动学生积极性，激发学生兴趣，使学生变被动学习为积极主动愉快学习，也符合数学教学的直观性和可接受性.在教学中，把重点放在学生如何学这一方面，我认为通过直观演示，得到感性认识，学生在学习中通过实践，观察，交流，运用发现法，开拓自己的创造性思维，并且让学生通过自己动手操作、动脑思考，动口表述，培养学生的观察、猜想、概括、表述、论证的能力.【教学过程设计】一、创设情境引入新课1.实际问题引入思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？【师生活动】教师提出问题，学生思考回答思路.【设计意图】从实际问题出发，通过有趣的问题引入，激发学生的学习积极性.2.复习回顾问题1：角平分线的性质定理是什么？角的平分线上的点到角的两边的距离相等.几何语言：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴PD=PE.题设：一个点在一个角的平分线上．结论：它到角的两边的距离相等．【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答.【设计意图】复习旧知识，为学习新课做准备.二、探究新知1.问题探究问题2：交换角的平分线的性质中的题设和结论，你能得到什么命题，这个新命题成立吗？猜想:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．为什么会有“角的内部”这个前提？问题3：请试着证明这个命题．提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明．已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE．求证：点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）分析：“证全等得角等”证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OPPD=PE∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠POD＝∠POE，即OP平分∠AOB.【师生活动】学生根据自学要求独立操作，然后互相交流各自的结论．教师可以抽一小组进行展讲，其他各小组认真倾听，积极补充、质疑提问，对展示小组进行评价．【设计意图】经历角平分线的判定定理的探索过程，让学生感受知识的产生可以来自于数学自身．结合推理证明，进一步感受数学知识的系统性和逻辑性.2.判定定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）.应用所具备的条件：位置关系：点在角的内部；数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.【师生活动】教师归纳总结并板书：角平分线判定定理，学生掌握判定定理的几何语言及其应用条件.【设计意图】结合几何语言，体会应用判定定理的条件及其作用.3.判断题（1）如图，若QM=QN，则OQ平分∠AOB.（）（2）如图，若QM⊥OA于M，QN⊥OB于N，则OQ是∠AOB的平分线.（）ꢀ（3）已知Q到OA的距离等于2cm，且Q到OB距离等于2cm，则Q在∠AOB的平分线上．（ꢀ）4.练习如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点．【师生活动】学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由学生完成解答．【设计意图】通过训练，巩固新知加深对角平分线的判定的运用和理解.三、典例精讲例已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.辅助线方法：作垂直构造基本图形想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在∠A的平分线上.结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.【师生活动】出示例题，引导学生独立思考，再小组交流讨论得出辅助线的做法，利用角平分线的性质证出例题，再利用角平分线的判定定理得出“想一想”的答案.【设计意图】通过例题的训练，巩固新知加深对角平分线的性质及其判定定理的运用和理解.四、归纳总结角的平分线的性质定理与判定定理的关系【师生活动】总结角平分线的性质与角平分线的判定定理的关系.【设计意图】通过对比得出角平分线的性质与角平分线的判ABC定定理的题设和结论是相反的.五、达标训练1.如图，△ABC的两个外角的平分线BD与CE相交于点P.（1）求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.（2）求证：AP平分∠BAC.2.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？【师生活动】学生练习，教师巡视指导.【设计意图】针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的六、课堂小结【师生活动】教师引导学生反思本节课的学习过程，完善知识结构图，梳理学习思路，归纳学习方法、思想；学生展示，师生评价，共同完善，形成完善知识、思想、方法结构体系.【设计意图】通过学生自主梳理、完善，旨在考察不同层次的学生对本节内容的掌握程度，通过教师点拨，师生合作完善，便于学生将数学知识体系化，感受数学的结构美.同时从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受，培养学生善于反思，乐于归纳的好习惯，培养他们善于积累，勤于总结的数学精神.七、拓展应用已知△ABC，求作一个点O，使其到三角形三边都相等.【师生活动】学生练习，教师巡视指导.【设计意图】设计拓展性作业，及时巩固所学知识,并且通过学生板演让学生自己发现问题，尝试解决问题，通过练习，巩固所学知识.八、课后作业必做题：教材第50页练习，选做题：教材第52页习题12.3第7题.在这里要提醒学生直接利用角的平分线的性质，无需再证三角形全等.【设计意图】分层次布置作业，使每位同学都能学习到有用的知识.九、板书设计12.3角的平分线的性质（2）——角的平分线的判定1、判定定理：2、研究思路角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.例题几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）.【教学效果预测】本节课设计的主要内容是角的平分线的判定定理及其运用，整个教学过程始终坚持以学生的发展为本的思想，注重学生个性潜能的发展和自我价值的实现，使学生的情感、态度与价值取向随着对知识的认识、理解和掌握相生相长。1.以学生活动为中心，通过“观察—猜想—验证—运用”这一流程贯穿整个教学过程，使学生对角的平分线的判定的认识螺旋上升，不断深化，学生的知识不断的得到重组与内化，从而使学生形成了完整的知识体系和良好的认知结构，也优化了课堂教学结构。2.把学习的权利还给学生，使学生体验“做数学”的乐趣。在角的平分线的判定的学习过程中，把观察的时间给学生，把想象的空间给学生，把发现的过程给学生，把抽象概括的机会给学生，把总结的机会给学生，使学生说思路、讲过程、探方法、找规律，学生的参与度被无形的大手拉起来，增强了实效性。3.练习的配备由浅入深，根据教学内容逐层深化，在基础训练的基础上对学生进行综合训练，培养学生灵活运用知识的能力。4.及时归纳总结，形成知识体系。教学中设计的内容有点多，拓展提升的内容没做完，我放到课下作业，通过学生自己思考或同学合作交流去完成。课后反思本节课设计的主要内容是角的平分线的判定定理及其运用，整个教学过程始终坚持以学生的发展为本的思想，注重学生个性潜能的发展和自我价值的实现，使学生的情感、态度与价值取向随着对知识的认识、理解和掌握相生相长。1.以学生活动为中心，通过“观察—猜想—验证—运用”这一流程贯穿整个教学过程，使学生对角的平分线的判定的认识螺旋上升，不断深化，学生的知识不断的得到重组与内化