2024年初二下册数学期末考试专项复习《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解

2024年初二下册数学期末考试专项复习《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；

（2）；

（3）.要点诠释：（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

（2）被开方数中不含有分母；（3）分母中不含有根号.满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.要点二、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质 1．当________时，二次根式在实数范围内有意义.【答案】≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有时才是二次根式.举一反三【高清课堂：二次根式高清ID号：388065关联的位置名称：填空题5】【变式】①成立的条件是.②成立的条件是.【答案】①≤0；(≤0.)②2≤.(2≤)2．当0≤＜1时，化简的结果是__________.【思路点拨】由范围判断x、x－1的符号，再根据利用二次根式的性质化简二次根式，即=，同时联系绝对值的意义正确解答.【答案】1.【解析】因为≥0，所以=；又因为<1,即-1<0,所以，所以=+1-=1.【总结升华】本题考查绝对值与二次根式的化简．举一反三

【变式】（x＞0，y＞0）【答案】解：原式=﹣=﹣，∵x＞0，y＞0，∴原式=﹣=﹣3xy．3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（）.A.B.C.D.【答案】A.【解析】选项B：=；选项C：有分母；选项D：=，所以选A.【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.类型二、二次根式的运算4．（2016秋•普宁市期末）计算：（2﹣）（2+）+（2﹣）2﹣．【思路点拨】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，计算即可得到结果．【答案与解析】解：原式=4﹣5+4﹣4+2﹣=5﹣．【总结升华】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．举一反三

【变式】计算：.【答案】.

5.化简：.【思路点拨】由于（）与()互为有理化因子，所以利用幂的运算法则使其尽可能地结合在一些进行乘法运算.【答案与解析】解：【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6已知的值.【答案与解析】解：

【总结升华】化简求值时要注意x的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.举一反三【高清课堂:二次根式高清ID号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】【变式】已知=-3,=1,求的值.【答案】解：∵=-3,=1，∴,，.《二次根式》全章复习与巩固（基础）巩固练习一.选择题

1．下列式子一定是二次根式的是().

A．B．C．D．

2.（2016•高青县模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≤3且x≠1 C．1＜x≤3 D．x≥1且x≠33.的同类二次根式是（）.A.B.C.D.4．下列说法正确的是().

A．若，则a＜0B．

C．D．5的平方根是5．的值是().

A．-7B．-5C．3D．7

6．下列各式中，最简二次根式是（）.A.B.C.D.

7．（2015•潜江）下列各式计算正确的是（）A.+=B.4﹣3=1C.2×3=6 D.÷=38．把化成最简二次根式，正确结果是（）.A.B.C.D.二.填空题9.计算=___________.10.（2015•永州模拟）设m=+1，那么的整数部分是．11．比较大小：.

12.已知最简二次根式是同类二次根式，则的值为___________.

13．已知.14．的值等于___________.

15．已知数在数轴上的位置如图所示：则=__________.16．在实数范围内因式分解：(1)=___________________.(2)=___________________.三.解答题17．（2015•新疆模拟）计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．18.已知：，求的值.

19．（2016春•浠水县期末）已知：a=﹣1，求÷﹣的值．20.（2016春•饶平县期末）已知：y=++，求﹣的值．【答案与解析】一.选择题

1．【答案】C.【解析】满足二次根式必须被开方数大于等于0，因为没有取值范围，所以只有中无论取何值≥0，即选C.2．【答案】A.【解析】解：由题意得：，解得：x≥3，故选A．3．【答案】C.【解析】判断是否是同类二次根式，一定要先化为最简二次根式，再判断.因为AB.C.D.而，所以选C.4．【答案】C.5．【答案】D.【解析】则，即.6．【答案】C.【解析】只有选项C满足被开方数是整数或是整式；且被开方数中不含能开方的因式或因数.7．【答案】D.【解析】解：A.，无法计算，故此选项错误，B.4﹣3=，故此选项错误，C.2×3=6×3=18，故此选项错误，D.=，此选项正确，故选D．8.【答案】D.【解析】，因为，所以原式=.二.填空题

9.【答案】.10.【答案】3.【解析】解：∵m=+1，∴==，∴=+1+=∵2＜＜2.5∴10＜5＜12.5∴13＜5+3＜15.5∴3＜＜＜15.5÷4＜4∴的整数部分为3．故答案为：3．11．【答案】.12．【答案】2.【解析】因为是同类二次根式，所以,解方程组得.13．【答案】.【解析】因为，又因为，所以原式=.14．【答案】0.【解析】因为≥0，即≤0，即，所以原式=0.15．【答案】0.【解析】由图像知：,所以原式===0.16．【答案】(1);(2)三.解答题

17.【解析】解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．18.【解析】解：

∴原式.19.【解析】解：∵a=﹣1，∴a＜2，∴÷﹣======．20.【解析】解：∵+有意义，∴，解得x=8，∴y=++=++=0+0+=∴﹣=﹣=﹣=﹣=﹣=《二次根式》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；

（2）；

（3）.要点诠释：（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

（2）被开方数中不含有分母；（3）分母中不含有根号.满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.知识点二、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质 1．x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)；(2)；【答案】（1）;（2）.【解析】(1)要使在实数范围内有意义，则必有.

∴当时，在实数范围内有意义.

(2)要使在实数范围内有意义，则必有.

∴当时，在实数范围内有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有时才是二次根式.举一反三：【变式】已知，求的值.

【答案】解：根据二次根式的意义有.

将代入已知等式得2.把根号外的因式移到根号内，得().

A．B．C．D．

【思路点拨】首先分析出x的取值范围x＜0，然后再向根号里移，到根号里面要变成.【答案】C.【解析】由二次根式的意义知x＜0，则.

.【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数.举一反三：【变式】（2015春•绥中县期中）若（3x﹣y+5）2+=0，求x+y的立方根．【答案】解：由题意得（3x﹣y+5）2=0，即3x﹣y+5=0，=0，即2x﹣y+3=0，∴解得∴x+y=﹣3，∴x+y的立方根=．3.（2016秋•商水县校级月考）已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简：+．【思路点拨】根据数轴得到a＜b＜0＜c，据此来化简二次根式，去绝对值．【答案与解析】解：如图所示：a＜b＜0＜c，则+=|a|+a+b+|c﹣a+b|+c+b+b=﹣a+a+b+c﹣a+b+c+b+b=4b+2c﹣a．【总结升华】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴．根据数轴求得a、b、c的取值范围是解题的关键．【高清课堂：二次根式高清ID号：388065关联的位置名称：填空题5】举一反三：

【变式】ABC的三边长为a、b、c，则=.【答案】.类型二、二次根式的运算4．（2015•昆山市一模）计算：（1）；（2）．【答案与解析】解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3﹣﹣2=﹣﹣3．

【总结升华】此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．举一反三：【变式】计算：【答案】

5.已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：

【答案与解析】解：∵a、b、c为△ABC的三边长，

∴原式

【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和进行化简.

6.若，化简.【答案】【解析】

【总结升华】把分子分母分别分解因式，然后约分，可以简化化简步骤.举一反三：

【变式】当.【答案】解：将代入，原式=3.《二次根式》全章复习与巩固（提高）巩固练习一.选择题1．是怎样的实数时，在实数范围内有意义（）.A.B.C.D.2．若，则().

A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3

3．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（）.A．4B.5C.6D.74．若x＜0，则的结果是().

A．0B．-2C．0或-2D．2

5．的值是().

A．-7B．-5C．3D．7

6．（2016春•东莞市校级期中）已知，则=（）A． B．﹣ C． D．7．小明的作业本上有以下四题：

①；②；③；④.

做错的题是().A．①B．②C．③D．④

8．相比较，下面四个选项中正确的是（）.A.B.C.D.

二.填空题9.计算＝___________.10.若的整数部分是a，小数部分是b，则___________.11．比较大小①______；②___.（用>或<填空）

12.已知最简根式是同类根式，则的值为___________.

13．若m＜0，则＝___________.

14.已知实数满足，则＝____________.15．已知数在数轴上的位置如图所示：则＝__________.16．（2015•黔西南州）已知x=，则x2+x+1=．三.解答题17．计算：(1)(2)

18.（2016春•巢湖市校级月考）已知x=，y=，求代数式2x2﹣4xy+2y2的值．19已知：

20.（2015•蓬溪县校级模拟）如图，面积为48cm2的正方形四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到0.1）

【答案与解析】一、选择题

1．【答案】D.【解析】要使有意义，就要满足即.2．【答案】D.【解