2024年初二上册数学期末考试专项复习19勾股定理（提高）知识讲解

2024年初二上册数学期末考试专项复习勾股定理（提高）【学习目标】1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．【要点梳理】【高清课堂勾股定理知识要点】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，，．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．要点三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．【典型例题】类型一、与勾股定理有关的证明 1、在△ABC中，AB=AC，D是BC延长线上的点，求证：

【答案与解析】证明：作等腰三角形底边上的高AE

∵AB=AC，AE⊥BC∴BE=EC,∠AEB=∠AEC=90°∴【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题．类型二、与勾股定理有关的线段长2、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．【答案与解析】解：连接BD，∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，∴∠C=45°，∴∠ABD=∠C，又∵DE丄DF，∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，∴∠FDC=∠EDB，在△EDB与△FDC中，∵，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴BE=FC=3，∴AB=7，则BC=7，∴BF=4，在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，∴EF=5．【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长．举一反三：【变式】（2015春•天津校级期中）如图，∠C=30°，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，PA=2，PB=11，求OP的长．【答案】解：∵PA⊥OA，∠C=30°，∴PC=2PA=4，∴BC=BP+PC=11+4=15，∵PB⊥OB，∠C=30°，设OB=x，则OC=2x，在Rt△BOC中，由勾股定理得：x+15=（2x），解得，x=5，即OB=5，∴OP===14．类型三、与勾股定理有关的面积计算3、（2015•丰台区二模）问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积．小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．（1）请你直接写出△ABC的面积；思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积．【思路点拨】（1）根据图形得出S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根据面积公式求出即可；（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可．【答案与解析】解：（1）△ABC的面积是4.5，理由是：S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC=4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3=4.5，故答案为：4.5；（2）如图2的△MNP，S△MNP=S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP=5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1=7，即△MNP的面积是7．【总结升华】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大．举一反三：【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是（）A．17B．36C．77D．94【答案】C类型四、利用勾股定理解决实际问题4、（2016•贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【思路点拨】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．【答案与解析】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA′=20米，BC′==15（米），则：CC′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：，在Rt△AA′B中，根据勾股定理得：则AB＝15．所以需要爬行的最短路程是15．勾股定理的逆定理（提高）【学习目标】1.理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2.能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3.理解勾股数的含义；4.通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.【要点梳理】【高清课堂勾股定理逆定理知识要点】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、（2016春•咸丰县月考）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为多少cm2.【思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．【答案与解析】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．【总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．2、如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判断△DEC的形状，并说明理由；（2）求∠ADB的度数．【思路点拨】把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°，注意旋转只是三角形的位置变了，三角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度60°，因此出现等边△BDE，从而才能更有利的判断三角形的形状和求∠ADB的度数．【答案与解析】解：（1）根据图形的旋转不变性，AD=EC，BD=BE，又∵∠DBE=∠ABC=60°，∴△ABC和△DBE均为等边三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2；故△DEC为直角三角形．（2）∵△DEC为直角三角形，∴∠DEC=90°，又∵△BDE为等边三角形，∴∠BED=60°，∴∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°．【总结升华】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题．解答（2）时要注意运用（1）的结论．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．【答案】解：连接BD．∵CD⊥CP，且CD＝CP＝2，∴△CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．∵∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD．∵CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)，∴DB＝PA＝3．在Rt△CPD中，．又∵PB＝1，则．∵，∴，∴△DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，∴∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．类型二、勾股定理逆定理的应用3、已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．【答案与解析】解：令=k．∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3．∴a=5，b=3，c=4．∴△ABC是直角三角形．【总结升华】此题借用设比例系数k的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．举一反三：【变式】（2015春•渝中区校级月考）△ABC的三边a、b、c满足|a+b﹣50|++（c﹣40）2=0．试判断△ABC的形状是．【答案】直角三角形．解：∵|a+b﹣50|++（c﹣40）2=0，∴，解得，∵92+402=412，∴△ABC是直角三角形．故答案为直角三角形．4、如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【答案与解析】解：∵，∴△ABC为直角三角形．∴∠ABC＝90°．又BD⊥AC，可设CD＝，∴①－②得，解得．∴≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．勾股定理的逆定理（基础）【学习目标】1.理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2.能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3.理解勾股数的含义；4.通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.【要点梳理】【高清课堂勾股定理逆定理知识要点】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理 1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【答案与解析】解：（1）∵，，∴．∴由线段组成的三角形是直角三角形．（2）∵，，，∴．∴由线段组成的三角形不是直角三角形．（3）∵，∴，．∵，，∴．∴由线段组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证与是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．举一反三：【变式】（2015春•安陆市期中）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组【答案】C.解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；④72+242=252，∴能组成直角三角形．故选C．2、（2016春•丰城市期末）如图，已知四边形ABCD中，∠B＝∠90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．【思路点拨】由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，应想到连接AC，则在Rt△ABC中即可求出△ABC的面积，也可求出线段AC的长．所以在△ACD中，已知AC，AD，CD三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．【答案与解析】解：连接AC，在△ABC中，因为∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，所以，所以AC＝5，在△ACD中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，所以，即．所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．所以．【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，本题是勾股定理及逆定理的综合考察．类型二、勾股定理逆定理的应用3、已知：为的三边且满足，试判断的形状.【答案与解析】解：∵∴∴，∴△ABC是直角三角形.【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等.举一反三：【变式】请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，第一步∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），第二步∴c2=a2+b2，第三步∴△ABC为直角三角形．第四步问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：_________；（2）错误的原因是：_________；（3）本题正确的结论是：_________．【答案】解：（1）第三步；（2）方程