圆锥曲线综合题-2024年广东新高考数学真题模拟题分类汇编（解析版）

专题24圆锥曲线综合题

1.(2023•新高考I)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0,；)的距离，记动点P的轨

迹为W.

(1)求W的方程；

(2)已知矩形A8CD有三个顶点在W上，证明：矩形A88的周长大于3班.

【答案】见解析

【详解】(1)设点P点坐标为(x,y),由题意得|y|=卜+(y-g)2，

222

两边平方可得：y=X+y-y+^,

化简得：y^x2+~,符合题意.

4

故W的方程为y=x2+1.

4

(2)解法一：不妨设A,B,C三点在W上，且A8_L8c.

设A(a,a2+；),B(b,b2

C(c,c~+—),

22

则A5=s—〃，/―〃2),BC=(c-b9c-b).

由题意,ABBC=U,即S-〃)(c—。)+(从一/"2一〃)=(),

显然(b_a)(c—匕)w0,于是l+S+a)(c+Z?)=0.

此时，\b+a\.|c+b\=l.于是加〃{|b+a|,|c+/?|}„1.

不妨设|c+h|,,1»则々=一6--!—,

b+c

则|A3|+|5CR/?—a|Jl+(a+份2+|c—/?|Jl+(c+))2

=|匕一〃|Jl+^^+|c—W"l+(c+1)2

..\b-(i\Jl+(c+b)~+1c-61+(c+b)~

..Jc-Q|，1+(C+h)~

=\h+c+—^—\J\+(c+b)2.

b+c

3

设％=16+。1，则/*)=(%+、)\/1+%2，即/(尤)=♦+工)

XX

JI£

(l+/)3.(3*2一12)a+d"<2x2-1)

又ra)=2

显然，x考为最小值点・故巾.娉)=苧

故矩形/1BCD的周长为2(|A81+1BCI)鹿/(x)3G.

另一个是以，哼

注意这里有两个取等条件，一个是|b+c|=l,

这显然是无法同时取到的，所以等号不成立,命题得证.

解法二：不妨设A,B,。在抛物线W上，C不在抛物线W上，欲证命题为|ABI+IA£＞|＞乎.

由图象的平移可知，将抛物线W看作y=V不影响问题的证明.

设A(a,a2)(a..O),平移坐标系使A为坐标原点,

则新抛物线方程为/=x,2+2oV,写为极坐标方程,

即夕sin。=p2cos20+2apcos0,B|Jp=―，心s"

cos0

71Ji

•cc八sin(9+—)-2QCOS(6+—)O/

欲证明的结论为Ism"2：cos®।+|---------2-------------------2_»独，

COS-9COS2(6»+1)2

2asin0..2acos。,3A/3

也即||+|-----+——1>-----•

cos。cos20sin。sin~02

不妨设|二一|…I二一|,将不等式左边看成关于。的函数，根据绝对值函数的性质,

cos。sin®

其最小值当二_.a-包g=o即"时取得，

cos。cos_02cos，

因此欲证不等式为I」一+邛＞延，即I—,

cos。sin-02cos9s加。2

根据均值不等式,有|cosOsin,例

-^=.y/2cos20(l-cos20)(1-cos20)

由题意，等号不成立，故原命题得证.

22

2.（2022•新高考I）已知点A（2,l）在双曲线C:=--J=l（a>l）上，直线/交C于P,。两点，直线”,

a-ar-1

AQ的斜率之和为o.

（1）求/的斜率；

（2）若tanNPAQ=2近,求加%。的面积.

【答案】见解析

【详解】（I）将点A代入双曲线方程得二-」一=1,

a2a2

2

化简得4―4标+4=0,.・./=2,故双曲线方程为上一丫2=],

2

由题显然直线/的斜率存在，设/：丁=代+根，设尸（不，）[）。（工2，%），

则联立双曲线得：（2攵2-1）工2+4切优+2加2+2=0,

,,4km2nr+2

故为+%=一西'%"济？

y—1y-1kx+m-\kx+m-\

kAP+kAQ--------1----2-----=----}-----------1-----2----------=0，

Xj—2x,-2X1-2%2—2

化简得：2kxi4+(m—1—2A)(x+々)—4(6—1)=0,

,,2k(2n^+2),।4km.、八

故；7+(加一1一26(——T—)x-4(/n-1)=0,

乙K1乙K1

即伏+1)(〃/+2左一1)=0，而直线/不过A点，故k=-l；

（2）设直线AP的倾斜角为。，由tan/PAQ=2a,

标/尸4。

22c伉俎.乙PAQ72

-----------Mac=272，得tan---------=——

"322

2

兀一4PAQ

由2a+Z.PAQ=兀、a=

2

二=夜，

得^AP=tana=V2,即

玉一2

联立上二1=夜，及犬=1得百=3速,％=生&0

Xj-2233

10+4及-4>/2-5

同理％=-yf「

2068

故%+%2=—,x.x=—>

329

而|AP|=K|X|-2|,|AQ|=6|X2-2|,由tanNPAQ=2拒，得sinNPAQ=半，

故S”，。=；IAPIIAQISinZPAQ=&|x,x2-2(x,+x2)+4|=竽.

3.(2021•新高考I)在平面直角坐标系xOy中，已知点小-J万，0),F式旧，0),点“满足

|加/"-|河g=2.记例的轨迹为(7.

(1)求。的方程；

(2)设点T在直线x=g上，过7的两条直线分别交。于A,5两点和产，。两点，且|L4|」7B|=|7P|-|TQ|,

求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

【答案】见解析

r22

【详解】⑴由双曲线的定义可知，M的轨迹。是双曲线的右支，设C的方程为v=1(a>0/>0),X..l,

ab

c=V17fa=l

根据题意仁”？，解得〃=4,

c2a2+b2c=yfn

，C的方程为V-匕=l(x..1)；

16

(2)(法一)设T(1,M，直线AB的参数方程为「=万+'cos",

[y=m+tsin0

将其代入C的方程并整理可得，(16COS26»-sin26)产+(16cos6»-2/wsind)t-(ra2+12)=0,

m2+nnr+12

由参数的几何意义可知，|A1|=4，|以|=4，则能=

sitvd-\f)cos20\-\lcos10

设直线PQ的参数方程为x=5+'c°s夕，17Pl=4，|TQ|=4,同理可得，44="八〃,

.c1-17cosB

y=/n+Zsinp-

//FIK+m.-+12m~+12|。八2c

依题息，-------r-=--------z—,贝mi！Jcos-6=cos~/?,

1-17cos20T-T7cos

又。故cos6=—8S#,则COS6+8s£=0,即直线45的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

(法二)设T(g,f),直线AB的方程为y=勺(*一$+，，4(X1,乂)，B(x2»j2)>设

222

将直线A3方程代入C的方程化简并整理可得，(I6-V)X+(V-2^IU-^1+^-Z-16=0.

-婷+婷-r-16

"2一2"f4''

由韦达定理有，%+『卧5=

16

又由A(X],Z|X]—k、+可得|AT|=Jl+(X[——)>

同理可得|BT\=2+一（七-1），

••.IAT||BT|=(1+V)(%,-；)(/-()=-"邕:⑵，

设直线PQ的方程为y=&。-3）+/，玳工3，丁3），。（*4，居），设;〈天<%4，

同理可得IPT||QT|=/手⑵

k2—16

又|AT||8TH4II。丁I，则工，化简可得婷=%，

&J：-“196=«2—16

又k产贝1」勺=-&，即仁+&=0，即直线A5的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

4.（2023•深圳一模）已知双曲线E:——丁=1与直线/：>=丘一3相交于4、3两点，M为线段钻的中点.

4

（1）当女变化时，求点M的轨迹方程；

（2）若/与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、。两点，问：是否存在实数3使得A、8是线段CD的

两个三等分点？若存在，求出女的值；若不存在，说明理由.

【答案】见解析

【详解】（1）设4玉，y）,B（X2,y2）,"（为，％）,

（i）当《=0时，易M（0,-3）,

（商）当ArwO时，与二0,

由1%：-4）'0=4,两式相减，整理得为+x,=4（%+%）•旦二&,

12--4必=4%一9

而％+工2=2/，乂+%=2%,——左=I=%,

西一工2天）

%=4%.+3,即x：=4y；+12%,

综上，点M的轨迹方程为丁=4:/+12》（为-3或y>g）；

⑵双曲线E的渐近线方程为千-y2=0,设C（w，为），8（“必），

y=kx-3

联立直线/与双曲线E的渐近线方程，得

x2-4y2=0，

消去y,得（1一4公次2+24点-36=0,

由韦达定理，得线段CD的中点横坐标为殳3=二^£=不

2l-4k2"

线段A3的中点"也是CD的中点，

.1A,8为线段8的两个三等分点，：.|CD|=3|4例，

"(244)2+4x36x(1-而^^公4+4x40x(1-4公)

1|1-4公|-—+|1-4/|

3

解得k=±—»

2

.•.存在左=±3,使得A、8是线段CZ）的两个三等分点.

2

5.（2023•广州模拟）己知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点尸到准线的距离为2,圆〃与y轴相切，且圆心

拉与抛物线C的焦点重合.

（1）求抛物线C和圆M的方程；

（2）设P（x0,%）（毛尸2）为圆M外一点，过点尸作圆M的两条切线,分别交抛物线。于两个不同的点A（xt,

y）,B（X2,%）和点。（玉，y3）,R（z,y4）.且）1、2%%=16,证明：点P在一条定曲线上.

【答案】见解析

【详解】（1）由题设得p=2,

所以抛物线C的方程为V=4x,

因此，抛物线的焦点为尸（1,0）,即圆M的圆心为M（l,0）,

由圆M与y轴相切，所以圆M半径为1,

所以圆M的方程为(x-l>+y2=i；

(2)证明：由于P(x0,%)(%=2),每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则与工0,

故设过点P且与圆M相切的切线方程为y-%=k(x-x(>),即fcr-y+%-依1=0,

依题意得人+%一"。1=1,整理得不5-2)二一2%(七一1次+%2_1=o①，

设直线24,PQ的斜率分别为尢，k&,&,则&是方程①的两个实根，

故左+&=2%(%-1),2=一」:1.@,

'%(%-2)-与(%-2)

由得/2-4y+4(%-脑))=0③,

因为点A(X1,yj,B(x2,%)，。(£，%)，R(x4,以)，

则3%=%%一&%)④,%)%=4(%也)⑤,

k\k?

由②，④，⑤三式得：

⑹y22yo(一-Dx]

?

X)W=16(%—/。)=16[y；—(」+&).7%+A•秋人】=1&姬一化+]6片=/秋％-2).…+]。*=16

2

k&环2k&'y0-1

M/-2)

2

即为飞(飞一2)-2yo(%-1)%%=(1-x；)(y0-1),

则%2%--2%2片+2%%2=%、-片城-1+>,即片+%2=1,

所以点P在圆/+丁=1.

6.(2023•广州二模)已知点F(l,0),P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.

(1)求C的方程；

(2)过点F的直线/与C交于A,B两点,过点A且垂直于/的直线交x轴于点M,过点B且垂直于的直

线交x轴于点N.当四边形M4NB的面积最小时，求/的方程.

【答案】见解析

【详解】(1)设点尸(x,y)，以所为直径的圆的圆心为M，例的半径为r,

设：M与y轴相切于点N,过点P作PQLy轴，垂足为Q,

则㈤也1=四,

22

\PF\=2r=x+\,

・••点尸到点F的距离等于点尸到直线X=-1的距离,

，点P的轨迹为以点F为焦点，直线x=-l为准线的抛物线,

.•.。的方程为丁=4%.

(2)由题意直线/的斜率存在，设直线/的方程为：y=Z(x-l),A(x,.yj,8(%,%),

联立0,=""一1),化为二彳2-2(«2+2口+々2=o,

[y=4x

2(公+2)

贝IJ玉+毛=————，XjXj=1,

设直线/的倾斜角为夕，则|AM|=|AF||tan例，|3N|=|8Htan『|,

：lAM\+\BN\=\AF||tan0|+|BF||tan^HAB\\tan例=2|4B|,

Ale+4

又|A5|=|AF|+|BF|=x,+l+x2+l=—.

梯形3B的面积5=(.出刎*明="「|&|=8(&二1)2=8宵+2:")

22的

令fgjt|w(0,+oo),则S(f)=8(f+,+,),

。小oz.23、8”石)”+•(产+1)

S⑺=8(1-7一产)=---------p----------，

.」e(0,6)时，S，(f)<0,此时函数5(f)单调递减；te忠,+8)时，S")>0,此时函数S⑺单调递增.

.」=|k|=G时，即左=土石时，四边形M4NB的面积S取得极小值即最小值，

此时直线/的方程为：y=±G(x-l),即J§x±y-百=0.

7.(2023•广州一模)已知椭圆C:1+£=l(a>8>0)的离心率为正，以C的短轴为直径的圆与直线

a'b'2

y=奴+6相切.

(1)求C的方程；

(2)直线/:y=Z(x-l)(Z..O)与C相交于A,B两点,过C上的点P作x轴的平行线交线段43于点Q,直

线OP的斜率为1(0为坐标原点)，AAPQ的面积为5.A8PQ的面积为S2,若|AP|§=|BPf,判断HZ'是

否为定值？并说明理由.

【答案】见解析

【详解】(1)由椭圆的离心率为亚，得心4=1,即有/=2〃，

2a22

由以C的短轴为直径的圆与直线y=or+6相切得：-^L==b,联立解得标=8,k=4,

22

.•.C的方程为t+二=1；

84

(2)h/为定值，且人人'=工，

2

IApIs31ApiIPQIsinNAPQ|APIsinN4P0

,」API邑=|BPI$,则2---------------------------=⑷1smz,

|BP|sinZBP

|BP|S2-\BP\\PQ\smABPQ2

因此sinZ4PQ=sinNBPQ,而ZAPQ+ZBPQ=ZABPe(0,7)，有ZAPQ=NBPQ,

于是可得产。平分N4P5,.•.直线AP,BP的斜率互为相反数，即砥「+怎p=0,

设A(x，R),B(X2,y2),P(x0,%),

2

%y2_

由■玉+彳口,消去y得：(1+2/—+2/-8=0.

y=k(x-V)

2

4k2^-8而原p+原「=江&+之二及=0,

大一％七一%

■,■(Ji-%)(W-X。)+(必一%)(%一为)=0，

即次(％T)-%]*2-％)+伙。2-1)-%](%—题)=2kxlx2-(y0+kx0+k)(xt+%)+2x。(%+A)=0,

c,2公-8,,,、4k2c,，、八

•'-2、x+厂为+5+左*2公+]+2%(%+&)=0,

22

2k(2k-8)-4k(y0+kx0+k)+2Ao(%+k)(l+2/)=0.

化简得2%(4-1)1+(x0-8)Z+”o=0.

22

又-P(x0,%)在椭圆上，.•・今+工=1,x：+2y：=8,

84

•二2yo(%—1)K+(—2^o—*+AQ)Z+x0,y0=0,

・•・(2%4-x0)[(xo-lU-^o]=O,

又尸(再，%)不在直线/:>=攵(％-1),则有2yo攵一/=0,即女乂红=攵.〃=!，

%2

.•"•太为定值，且

2

8.(2023•深圳二模)已知双曲线：x2-y2=\,点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右

顶点，直线4W与)，轴交于点D,点。在x轴正半轴上，点E在y轴上.

(1)若点M(2,石)，0(2,0),过点。作8用的垂线/交该双曲线C于S,T两点，求AQST的面积；

(2)若点"不与3重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

®OD=DE；②BM_LEQ；③|OQ|=2.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】见解析

【详解】(1)由已知双曲线方程：/-丁=1,可得左右顶点A(-1,0),3(1,0),

因为点M(2,由)，直线BM的斜率为kMB=叵旭=百,

2—I

所以直线3M的垂线/的方程为y-0=-〒(工-2),

V3

整理可得，x=—gy+2,设点S(玉，y),T(X2,%)，

联立直线/与双曲线的方程卜「弋+2可得，2产-4伤+3=0,

x-y=1

,+必=2右

则『16)2-4x2x3=24,且13，

所以，|ST|=Jl+(-^)2j(y+%)2-4x%=21(2同-4x|=2^.

原点O到直线/的距离为d=l,所以，AOST的面积为1*|5T|xd=Lx2#xl=".

22

(2)

证明：①②为条件，③为结论.

设£>(0,%),M(xu,%)(%>1),且x；-年=1,

因为A,D,M三点共线，所以

%+1

又OD=OE,所以点E的坐标为E(0.2L),

%+I

所以直线BM的斜率为心”=」」,

又BM工EQ,所以⑥2=--1-=匕包，

k/iM%

设点。(％，0),

2%

因为直线EQ的斜率kEQ=上当=上，

为』

2年_2y；

所以q=广『2

所以I。。1=2；

①③为条件，②为结论.

设D(O,yD)>M(x0,%)(x(>>1),且x；—No?=1,

因为A,D,M三点共线，所以

%+1

又OD=DE,所以点E的坐标为E(0,当-),

*>+1

又100=2,点。在x轴正半轴上，所以。(2,0),

2%

所以原。=±1=上也，

乂kpM='

%-1

所以原=-己=一转=-1

玉)-1x()+1x()-1x(>-1

所以，BM±EQ,

②③为条件，①为结论.

设。(0,%),M(x0,%)(%>1)，且x；-%2=],不妨设为>0,

因为A,D,M三点共线，

2211

所以V=%>0日《=%=/T='0T

"X0+l°5+1)2(%+1)2%+1

因为|。。|=2,点。在x轴正半轴上，所以。(2,。)，

因为所以原0=--二=匕区,

又*=经於，

2(n2

所以，yc=^~>0,且皿=二0二也5=4(x0-1),所以，a=2%,即OO=OE.

%%/7%+1

22

9.(2023•佛山一模)已知椭圆「:，+斗=1(4>8>0)的左焦点为F(-l,0),左、右顶点及上顶点分别记为

a~b~

A、B、C,且CFCB=1.

(i)求椭圆r的方程；

(2)设过/的直线PQ交椭圆「于P、。两点，若直线R4、QA与直线/:x+4=0分别交于M、N两点，

/与x轴的交点为K,贝是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.

【答案】见解析

【详解】(1)由题意可得A(-a,0),B(a,0),C(0,b),F(-l,0),

所以CF=(-1,V),CB=(a,-b),

所以CF-CB=-a+〃，

由题意可得-。+从=1,①

又。2-从=/=1,②

由①②可得a=2,从=3,

22

所以椭圆的方程为：—+^=1;

43

(2)由(1)可得A(-2,0),

当直线尸。的斜率不为0时，设直线尸。的方程为：工=〃9一1,设尸(％,y),Q(X2,y2),

联立,整理可得：(4+3苏)V-6四一9=0,

[3%+4/=12

-ST-ZS6m9

可倚乂+必=y，X%=一.

4+3-m24+3々m2'

由题意K(-4,0),

设直线出的方程为：y=^^(x+2),令x=-4,可得产二即M(-4,0L),

Xj+2%+2X1+2

同理可得N(-4,二^工)，

X)+2

2y4

所以IA/KHNK|=|-'|J"及.|=---1.>!>>।-------=------41.5%I---------=---------14十----=更=9为定值；

2

4+2x2+2\(my\+l)(/n>\+1)||，"、%+皿%+%)+”,9/f>m4

H4TW+^ZW+11

即|MK||KV|为定值9.

当直线P。的斜率为0时，则由题意可得直线PQ为x轴，则P,。中有一个点与Aft合，所以直线P。的

斜率不为0,

综上所述：为定值9.

22

10.(2023•广东一模)已知点A,点8和点C为楠圆C：I+g=l(a>b>0)上不同的三个点.当点A,点

8和点。为椭圆的顶点时，AA8C恰好是边长为2的等边三角形.

(1)求椭圆C标准方程;

(2)若O为原点，且满足O4+OB+OC=0,求AABC的面积.

【答案】见解析

【详解】(1)当点A,点3和点C为椭圆的顶点时，AABC恰好构成边长为2的等边三角形,

①当点A，点B和点C中有两个点为上顶点和下顶点,一个点为左顶点或右顶点时,

不妨设点A,点3为上顶点和下顶点，点C为右顶点，此时，a=6,b=l,

②当点A,点5和点C中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，

不妨设点A,点3为左顶点和右顶点，点C为上顶点，此时，a=\,b=yl3(舍去),

，椭圆的标准方程为+/小

(2)设A(p,g),B(x,yj,C(x2,y2),

OA+OB+OC=Of

：.p+x]+x2=o+%=o，

①当直线3。斜率不存在时，

即Xy=x29yi=-y29则A(-2xl,0),

,点A在椭圆上，所以则有

IBC|=G,点A到BC的距离为13天|=—,

止匕时SMSC

②当直线斜率存在时，设直线BC方程为y=日+机,

y=kx+m,

联立得/，得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,

—+y2=\,

3-

222

△=(,6km)-12(1+3/)(W-1)=12(3/+l-wl)>0,

-6km_3(毋-1)

由韦达定理得再+々=

\+3k2，X'X2-1+3公

2m

y+%=R(X+&)+2m=

1+3公

/、6km.、2m

・”=飞+七)=由应=十+必)=一,

2

又点A(p,4)在椭圆g-+y2=1上，

/.4M=1+3-，

2

••.IBC\=V17F.|X,-X2|=再F-J(-=^-)-4.

j1।3K1।3K

=荷纯倭五g2G•"/一病

1+3公

371+k2

2|/n|

6km.2m.

―7k+-------7+"Z［々I

1+3公l+p%2户，”|

.•.点A到直线BC的距离d=1昨竺””

Jl+公Jl+%2

c_113X/T7F\3m\9

Q

综上所述，AABC的面枳为-.

4

2：2

11.(2023•佛山二模)双曲线C:0-与=1(〃>0,6>0)的左顶点为A,焦距为4,过右焦点尸作垂直于实

ab~

轴的直线交C于8、。两点，且4曲是直角三角形.

(1)求双曲线C的方程；

(2)M、N是C右支上的两动点，设直线A"、AN的斜率分别为勺、A?，若%他=-2,求点A到直线/WN

的距离d的取值范围.

【答案】见解析

【详解】（I）根据题意可得N&M>=90。，半焦距c=2,

由AF=BF,可得a+c=一,

222

a+2a=2—a9解得a

.-.b2=c2-a2=4-1=3,

2

双曲线C的方程的方程为d-2L=i；

3

（2）显然直线MN不可能与坐标轴平行,

设直线MN的方程为x=2y+〃,

22

联立"〃，可得(3"/-l)y+6/nny+3(n-1)=0,

3x--y=3

设M（Xi，y）,N（X2,%），则根据题意可得:

3W2-1^06mn3(»-1)

>且％+必=一--o一~'y必=―2—r①,

>03m-13m-1

由=-2，可得y%+2(西+l)(Xj+1)=0.

BPy}y2+2(myl+〃+1)(v7y2+〃+D=。，

整理得(2m24-l)y%+2"?(〃+D(y+%)+2(〃+D?=0②,

将①代入②中可得3（/?-1）（2m2+1）-12m2n（n+l）+2（n+l）2（W-l）=0,

化简可消去所有的含m的项，从而解得“=5或”=-1（舍去），

二.直线MN的方程为彳_冲_5=0,d=——.

又MN都在双曲线的右支上，.O-lvO,.1Q,疗<1,

3

1„yJnr+}<-^=,:.d=-.re（3>/3,6],

V3ylm2+l

.•.点A到直线MN的距离d的取值范围为（36，6].

22

12.（2023•广东模拟）已知椭圆「+斗=1（4>〃>0）,A、5两点分别为椭圆的左顶点、下顶点，尸是椭

a6

圆的右焦点，Z.FAB=—,直线/与椭圆相切与P（尸在第一象限），与y轴相交于Q（Q异于尸），记O为坐标

6

原点，若AOP。是等边三角形，且AOP。的面积为日.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）C、。两点均在直线〃7：x=〃，且C在第一象限，设直线4）、3c分别交椭圆于点S,点T,若S、

T关于原点对称，求|8|的最小值.

【答案】见解析

【详解】(1)ZMB=-,则。=屉，

6

AOP0是等边三角形，；.SMPQ=等=曰O产，则OP=0,

NQOP=生，APOF=-,则»=立，xp=—,

3622

、6，

将尸修,陷代入］+2=1,4+A=1-

22a2h-a2b2

a=\/3b

61,解得［"=石,

•±+2=1也=1

la2b2

(2)因为B(O,-1),设7(Gcosasine),O<0<~,

2

则直线5T:y=半吧x-1,所以C(6,sin-+l_l),

J3cos。cos。

因为4-K,0),5(-^cos(9,-sin0),则直线AS:y=厂sm©(》+百),

6cosg—G

2sin®

所以。（G），

'cos0-1

.00.20oo人.

.八ic•zi2osin—cos—+sin"—+cos'—4sm—ecos—o

所以|C0=|吟->*^=122—%―222

一1|，

COS”COS0-1八八UU-2s加g

cos2--si.n22

222

nii

设tan?=«O<f<l),贝l]|CO|=|2(——+-)-2|,

21-rt

-+,当且仅当“=6时取等，=4,

aba+b1-t+tl-t+t

当且仅当f=」，等号成立，所以IC0..6,即|C0的最小值为6.

2

13.(2023•汕头一模)如图，已知£(%〃)为抛物线x2=2py(p>0)内一定点，过E作斜率分别为女「网的

两条直线，与抛物线交于A,B,C,D,且N分别是线段43,C£)的中点.

(1)若〃2=0且=-1时，求A£MV面积的最小值；

【详解】(1)当m=0时，E(0,九)为y轴上一点，

因为%#2=7，所以A6-LCD，

设的方程为y=K4+〃，，yj,B(x2,y2),

由p+〃，可得工2一2〃匕]一2〃〃=0,

"=2py

由于£(0,〃)为抛物线f=2py(p>0)内一点，7i>0,故一=4p2Z：+8p〃〉0,

贝ljX[+/=2pk\,Xj%2=-2pn♦

故43中点为M(三尹■，当&),即M(p《，m：：+〃)，

同理可得N(p%,p/,2+〃)，即M-K，4+〃)，

K8

因为A3_LC£>,则£M_L£2V,

二；IP21|Jl+21IyI.Jl+gJk；+=；.p?,

NK|yfijurCj

当且仅当好=，，即4=±1时取等号，

所以AEMN的面积的最小值为p2；

证明：（2）由题意知所在直线的方程为y=K（X-〃7）+〃，代入x?=2py（p>0）中，

2

Wx-Ipk^x+2pk^m-2pn=0,设A（%,y）,B（x2,y2）,

则有斗+W=2pky,从而y+y2=匕（玉+/-2m）+2n=ki（2pki-2m）+2n,则M（pk、,kx（pk}-tn）+/?）；

C£）所在直线的方程为y=k2（x-m）+n,同理可得N（pk?,k2（pk2-m）+n）,

3I、I7〃（七2一婷）一根（匕一%）m

所以心,v=-=—；；一~~匚=（勺+&）一一,

K

P（K2-\）P

所以直线A/N的方程为y_K（p&]_/%）_〃=[（&]+&）---]（x-pk{）,

一P

m

即4+&---）x-pkR=y-n,

P

X—+—=2（2w0）,故"）=',

k、k?122

+2

代入（/+攵2--）x-pkxk2=y-n,得（仁+k2-—）x-p-^=y-n,

PP

即（K+&）（工-马=y+'1-〃，

-2p

当x-K=0时，y+—x-n=0,即，"，

2pm

ry-n---

I4

所以直线MN恒过定点（介-辛.

14.（2023•广州二模）已知直线/与抛物线C:：/=4x交于A,5两点，且与x轴交于点M（〃，0）（67>0）,

过点A,3分别作直线4：x=-〃的垂线，垂足依次为A，B,,动点N在4上.

（1）当4=1,且N为线段44的中点时，证明：ANLBN；

（2）记直线N4,NB,NM的斜率分别为匕，右，右，是否存在实数义，使得4