新教材人教版高中数学必修第一册简单的三角恒等变换(二)

简单的三角恒等变换(二)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.设函数f(x)=2cos2x+d5sin2x+a(a为实常数)在区间0,上的最小值为-4,那么a的值为()

A.4B.16C.一4D.13

c什作八c、

2-右tan(厂。)=3,则rh[c不os2同0=z()

33

A.3B.—3C.D.-4

3.设函数f(x)=sin(2x+1)+cos(2x+$，贝！|()

A.y=f(x)在(0,到上单调递增，其图象关于直线x=p寸称

B.y=f(x)在(0,3上单调递增，其图象关于直线x专对称

C.y=f(x)在(0,野上单调递减，其图象关于直线x="寸称

D.y=f(x)在(0,习上单调递减，其图象关于直线x专对称

577

4.已知函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=-,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是

()

2^22^342^6

ZAx•3_o•3.3u•3

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.若:+：ana则+2a=

1—tanacos2a------------

6.北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图由四个全等直

角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为

25,直角三角形中较小的锐角为贝!Jcos20=________.

三、解答题(每小题10分，共20分)

71

cos0cos2

anai2ailai2

7.形如的符号叫二阶行列式，现规定a“a22—a21al2，如果f(0)=

H21a22a21a22.7兀

sin0sinT

_3，0<0<71,求0的值.

1

~2

8.已知函数f(x)=4coscox-sin(3x+J®>0)的最小正周期为

71.

(1)求3的值;

jr

⑵讨论f(x)在区间0,2上的单调性.

能力过关

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.已知不等式3色sin/cos/+#cos.一坐一mWO对于任意的xG一知，g恒成立，则实数m的取

值范围是()

A.[^3,+oo)B.(-00,4)

C.(-00,一小]D.[-V3,4]

2.(多选题)已知cos住+0)-cos住一0)=?，蚱传，则()

A.sin20=^B.sin20=一

C.sinO+cosO=一坐D.sin9+cos

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.如图所示，有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板

EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x=来截.

4.已知A+B=牛，那么cos2A+cos2B的最大值是,最小值

是_______

三、解答题(每小题10分，共20分)

5.如图，某工匠要将一块圆心角为120。，半径为20cm的扇形铁片裁成一块面积最大的矩形，现有两种

裁法：①让矩形一边在扇形的一半径OA上(如图①),②让矩形一边与弦AB平行(如图②)，请问该工匠

应采用哪种裁法？并求出这个面积的最大值.

6.己知fguZcos21,g(x)=(sin,+COS,)2.

⑴求证：f=g(x)；

(2)求函数h(x)=f(x)—g(x)(xG［0,兀］)的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值.

、选择题(每小题5分，共20分)

1.设函数f(x)=2cos2x+gsin2x+a(a为实常数)在区间［。，会上的最小值为一4,那么a的值为()

A.4B.16C.—4D.—3

分析选C.f(x)=2COS2X+A/3sin2x+a

=1+cos2x+小sin2x+a

=2sin(2x+%)+a+l,

,「八兀1,71「兀7兀

当xe[0,51时，2x+%e[不yj,

所以f(x)min=2(—y+a+l=-4,

所以a=—4.

2-右tan1—01=3,则)

33

A.3B.—3C.aD.—a

分x析.,选A.因小为，tan/|7ji-0jA=巾1-ta彘n0=3,

所以tan0=-3-

cos26_________cos?。一side

k1+sin20sin20+2sin0cos0+cos20

1

1-

±-4

1—tan2G

1

2-T+

tan0+2tan0+l4

3.设函数f(x)=sin(2x+£+cos(2x+*贝U()

A.y=f(x)在(0,上单调递增，其图象关于直线x=今对称

B.y=f(x)在(0,3上单调递增，其图象关于直线*=胃对称

C.y=f(x)在(0,3上单调递减，其图象关于直线x=£对称

D.y=f(x)在(0,方上单调递减，其图象关于直线x专对称

分析选D.f(x)=psin(2X+£+；)

=也sin(2x+^)=^/2cos2x,

所以y=f(x)在(0,5上单调递减，

又f(3=也COSTI=-也，是最小值，

jr

所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.

4.已知函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=^~,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是

()

A至R2^342^6

r\•3D•3•3\-J•3

5IT

分析选B.由于函数f(x)的图象关于x=g■对称，

则f(0)=f段5,所以a=一坐-1,

y[3

所以a=一手，

V3

所以g(x)=—sinx+cosx

=^sin(x+用，

所以g(X)max=3.

二、填空题(每小题5分，共10分)

廿1+tana=2021，则士+tan2a=

5.

右"1i—Itana

11+sin2a

分析+tan2a=

cos2acos2a

sin2a+cos2(x+2sinacosa

cos2a—sin2a

tan2a+1+2tana(tana+1)21+tana

=iI2=i72-7=2021.

1—tana1-tana1—tana

答案：2021

6.北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图由四个全等直

角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）.如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为

25,直角三角形中较小的锐角为仇贝ljcos20=

分析由题意5cos0—5sin。=1,J,

所以cos0—sin,

又(cos0+sin0)2+(cos0—sin0)2=2,

7

所以cos0+sin,

cC7

所以cos20=cos20—sin20=(cos0+sin0)(cos。-sin。)=芯.

、7

答案：25

三、解答题（每小题10分，共20分）

兀

cos0COS2

anai2anai2

7.形如的符号叫二阶行列式，现规定a“a22—a21al2,如果f(0)=

H21322a2ia22.7兀

sin0sin三

y[2—2y[2

3,O<0<7i,求。的值.

1-2

—2y[2

分析因为_3

1~23

所以f(9)=

jr

所以9=—.

8.已知函数f(x)=4coscox-sin(3x+J(3>0)的最小正周期为兀

⑴求3的值；

(2)讨论f(x)在区间[0,或7T上的单调性.

分析(l)f(x)=4coscox-sin(3乂+习

=2"\[2sincox-coscox+2^/2COS2(DX=^/2(sin2cox+cos2(ox)+^/2

=2sin(23*+号+y[2.

因为f(x)的最小正周期为71,且3>0,

2兀

从而有二=兀，故3=1.

⑵由⑴知,f(x)=2sin(2X+3+也,

若gx§,则22x+；爵,

当:<2x+1.,即0女蜷时,f(x)单调递增；

当叁v2x+会,，即1〈X场时，f(x)单调递减.

综上可知，f(x)在区间0,0上单调递增，在区间《，2上单调递减.

能力过关

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.已知不等式36si吟cos点+#cos2^—坐一mWO对于任意的xG一普，g恒成立，则实数m的取

值范围是()

A.电,+oo)B.(-00,小)

C.(—8,一5]D.[-A/3，^3]

2

分析选A.f(x)=3陋sin/cos今+加cos^一坐-m=^sin|+^cos|-m

二#sin—m<0,

所以m>^6sin(^+工)-

“，71x,7171

所以一Wa+Z?

所以一审<\[6sin0+习S小，

所以m>^/3.

2.(多选题)已知cos仔+0)-cos仔一0)=?，吐序兀)，则()

A.sin20=3B.sin29=一；

C.sin0+cos0=D.sin0+cos

分析选BC.cos。+。).cos信一

=sin仔-e)cos仔-e)=2sin2。)

=3cos20=坐,

所以cos2。=坐.

因为律，兀)，所以2。£(芋，2兀)，

所以sin20=一；,且sin0+cos0<O.

所以(sin0+cos0)2=l+sin20=1—g=g.

历

所以sin0+cose=­g.

二、填空题（每小题5分，共10分）

3.如图所示，有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板

EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x=来截.

分析设正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则条=,，£=爰，

又a=GC+CF=bsinx+bcosx,

所以sinx+cosx=^,

所以sin(x+习=坐.

因为OVxV],所以HVx+^V乎,

、，।JC兀2兀JCw5兀

所以x+w=§■或W，X=~V2,

答案.—

口汆・12以4—12

4.已知A+B=,，那么COS2A+COS2B的最大值是,最小值

是.

2兀

分析因为A+B=­,

所以COS2A+COS2B=2(1+cos2A+1+cos2B)=l+g(cos2A+cos2B)=1+

2兀1

cos(A+B)cos(A—B)=1+COS-^-COS(A—B)=l—2COS(A—B),所以当

31

cos(A—B)=-1时，原式取得最大值,；当cos(A—B)=l时，原式取得最小值].

,31

答'案•——

口木•22

三、解答题(每小题10分，共20分)

5.如图，某工匠要将一块圆心角为120。，半径为20cm的扇形铁片裁成一块面积最大的矩形，现有两种

裁法：①让矩形一边在扇形的一半径OA上(如图①)，②让矩形一边与弦AB平行(如图②)，请问该工匠

应采用哪种裁法？并求出这个面积的最大值.

分析在题图①中，MN=20sin9,ON=20cos9,

所以Si=ONNM=400sinOcos0=200sin20,

2

所以当sin20