浙江省金华市绣湖中学高三数学理下学期摸底试题含解析

浙江省金华市绣湖中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A=，则A.

B.

C.

D.参考答案：A，故选A.2.已知,则值为（A）

（B）

（C）

（D）5参考答案：D3.“”是“过坐标原点”（

）（A）充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件（C）充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

参考答案：A4.下列各式中值为的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（）A． B． C．1 D．2参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为S==根据抛物线的定义可知S=根据两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得S的最小值．【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）抛物线准线y=﹣1，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：S==由抛物线定义=﹣1（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号）≥﹣1=2故选D．6.如图，平面⊥平面，，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线，分别是线段的中点．下列判断正确的是A．当时，两点不可能重合B．两点可能重合，但此时直线与不可能相交C．当与相交，直线平行于时，直线可以与相交D．当是异面直线时，直线可能与平行参考答案：B略7.在极坐标系中，曲线关于()．A．点中心对称 B．极点中心对称C．直线对称

D．直线对称参考答案：D略8.一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A9.设，满足约束条件，则的最小值是（

）A．0

B．-1

C．-2

D．-3参考答案：C10.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为（）A．1﹣（）a B．（）a﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2=﹣6，﹣log2（1﹣x3）=﹣a，x4+x5=6，即可得出关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和．【解答】解：由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x≥1，f（x）=，对称轴为x=3，根据对称性，x≤﹣1时，函数的对称轴为x=﹣3，∴x1+x2=﹣6，x4+x5=6，∵0＜x＜1，f（x）=log2（x+1），∴﹣1＜x＜0时，0＜﹣x＜1，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1），∴﹣log2（1﹣x3）=﹣a，∴x3=1﹣2a，∴x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+1﹣2a+6=1﹣2a，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若变量x，y满足约束条件则（x+3）2+（y﹣）2的最小值为

．参考答案：4【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：则（x+3）2+（y﹣）2的几何意义是可行域内的点与（﹣3，）距离的平方，由可行域可知A与（﹣3，）距离取得最小值，由．解得A（﹣1，），则（x+3）2+（y﹣）2的最小值为：（﹣1+3）2+（﹣）2=4．故答案为：4．【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合思想的应用．12.当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[﹣6，﹣2]【考点】函数恒成立问题．

【专题】导数的综合应用．【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）=﹣++=﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤﹣﹣，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故答案为：[﹣6，﹣2]．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．13.如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3过C作圆的切线l，则点A直线l的距离AD=_____________________参考答案：略14.在△ABC中，若，则此三角形的形状是

.参考答案：15.复数z满足等式（2一i）?z=i，则复数z在复平面内对应的点的坐标为______________．参考答案：略16.已知复数，，且是实数，则实数=

.参考答案：17.已知，则

.参考答案：因为，所以，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数。（1）若曲线与直线相切，求实数的值；（2）若函数有两个零点，证明。参考答案：（1）由，得，设切点横坐标为，依题意得，解得，即实数的值为1。（2）不妨设，由，得，即，所以，令，则，设，则，即函数在上递减，所以，从而，即。19.若数列{an}中的项都满足a2n﹣1=a2n＜a2n+1（n∈N*），则称{an}为“阶梯数列”．（1）设数列{bn}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），求b2016；（2）设数列{cn}是“阶梯数列”，其前n项和为Sn，求证：{Sn}中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；（3）设数列{dn}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），记数列{}的前n项和为Tn，问是否存在实数t，使得（t﹣Tn）（t+）＜0对任意的n∈N*恒成立？若存在，请求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【分析】（1）设数列{bn}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），b2016=b2015，再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由数列{cn}是“阶梯数列”，可得c2n﹣1=c2n．即可得出S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1，即可证明{Sn}中存在连续三项成等差数列．假设{Sn}中存在连续四项成等差数．Sn+1﹣Sn=Sn+2﹣Sn+1=Sn+3﹣Sn+2，可得an+1=an+2=an+3，得出矛盾．（3）设数列{dn}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），利用等差数列的通项公式可得：d2n﹣1=2n﹣1=d2n．==．n=2k（k∈N*）时，Tn=T2k=++…+=2，利用“裂项求和”及其数列的单调性可得Tn∈，由（t﹣Tn）（t+）＜0，可得＜t＜Tn．n=2k﹣1（k∈N*）时，Tn=T2k﹣=T2k﹣，同理可得．【解答】（1）解：设数列{bn}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），∴数列{b2n﹣1}是等比数列，首项为1，公比为9．∴b2016=b2015=b2×1008﹣1=1×91008﹣1=91007=32014．（2）证明：∵数列{cn}是“阶梯数列”，∴c2n﹣1=c2n．∴S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1，因此{Sn}中存在连续三项成等差数列．假设{Sn}中存在连续四项成等差数．∴Sn+1﹣Sn=Sn+2﹣Sn+1=Sn+3﹣Sn+2，∴an+1=an+2=an+3，n=2k﹣1时，a2k=a2k+1=a2k+2，与数列{cn}是“阶梯数列”矛盾；同理n=2k时，也得出矛盾．（3）解：设数列{dn}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），∴数列{d2n﹣1}是等差数列，公差为2，首项为1．∴d2n﹣1=1+2（n﹣1）=2n﹣1=d2n．===．n=2k（k∈N*）时，Tn=T2k=++…+=2=2××=1﹣=1﹣=．∴Tn∈，∈．∴（t﹣Tn）（t+）＜0，∴＜t＜Tn，解得﹣1≤t．①n=2k﹣1（k∈N*）时，Tn=T2k﹣=T2k﹣=1﹣﹣（12k﹣1﹣12k+1）=1﹣∈，∴∈[﹣3，﹣1）．∴（t﹣Tn）（t+）＜0，∴＜t＜Tn，∴﹣1≤t．②．由①②可得：实数t的取值范围是﹣1≤t．20.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．参考答案：【考点】余弦定理的应用．【分析】利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．21.如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O1为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径；（1）计算球O的表面积和体积；（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO1和OO1的中点，求异面直线AC与MN所成的角；（结果用反三角表示）参考答案：【考点】球的体积和表面积．【分析】（1）求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为3cm，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角），连接OC，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．【解答】解：（1）连接OA，由题意得，截面小圆半径为4，在Rt△OAO1中，O1A=4，OO1=3，由勾股定理知，AO=5，∴球O的表面积为：4π?25=100π（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角）．在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，则AC=4，连接OC，在△OAC中，OA=OC=5，由余弦定理知：cos∠OAC===，∴∠OAC=，∴异面直线AC与MN所成的角为．22.已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：+1（n∈N*），求数列{bn}的前n项和．参考答案：考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则依题设d＞0．运用已知条件列方程组可求a1，d，从而可得an；（Ⅱ）设cn=，则c1+c2+…+cn=an+1，易求cn，进而可得bn，由等比数列的求和公式可求得结果；解答： 解：（Ⅰ）设等差数