北京怀柔庙城中学 高三数学理下学期摸底试题含解析

北京怀柔庙城中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，，，，则等于(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A2.知数列满足:，则

（

）A.210-1

B.211-1

C.212-1

D.213-1参考答案：C3.二项式的展开式中的常数项为A.120

B.

C.160

D.参考答案：D略4.是的（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A本题主要考查一元二次不等式的解法及充要条件的判断．难度较小．解不等式x2－1＞0，得x＜－1或x＞1，因此当x＜－1成立时，x2－1＞0成立，而当x＜－1或x＞1成立时，x＜－1不一定成立，故选A．5.定义域为R的连续函数，对任意x都有，且其导函数满足，则当时，有（

）A．

B．C．

D．参考答案：D略6.双曲线的焦点坐标为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】将双曲线化成标准方程，可得，，即可得焦点坐标．【详解】将双曲线化成标准方程为：，得，，所以，所以，又该双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标为．故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质，将双曲线的方程化为标准形式是关键，属于基础题．7.如图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是(

)A.9≤a<10

B.9<a≤10

C.10<a≤11

D.8<a≤9参考答案：B8.下列说法正确的是（）A．命题“?x0∈R+，x02﹣x0＜0”的否定是“?x∈R﹣，x2﹣x≥0”B．命题“若a≠b，则a2≠b2”的否命题是“若a≠b，则a2=b2”C．x1＞1且x2＞1的充要条件是x1+x2＞2．D．p，q为两个命题，若p∨q为真且p∧q为假，则p，q两个命题中必有一个为真，一个为假．参考答案：D【分析】A．命题“?x0∈R+，x02﹣x0＜0”的否定是“?x∈R，x2﹣x≥0”；B，命题“若a≠b，则a2≠b2”的否命题是“若a=b，则a2=b2”；C，当x1+x2＞2时．不能得到x1＞1且x2＞1；D，根据p∨q、p∧q的真值表可以判断．【解答】解：对于A．命题“?x0∈R+，x02﹣x0＜0”的否定是“?x∈R+，x2﹣x≥0”，故错；对于B，命题“若a≠b，则a2≠b2”的否命题是“若a=b，则a2=b2”，故错；对于C，当x1+x2＞2时．不能得到x1＞1且x2＞1，故错；对于D，根据p∨q、p∧q的真值表可以判断，D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到命题的否定，命题的四种形式、充要条件的基础知识，属于中档题．9.若，则的值为（）

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.设函数的定义域为，其中，那么的定义域为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数，则的定义域是

.

参考答案：12.已知函数，任取，定义集合:，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则

(1)若函数，则=______;（2）若函数，则的最小正周期为______.参考答案：略13.若函数在区间上的最大值为4，则的值为_________.

参考答案：1或–114.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，数列{bn}满足，则数列{an?bn}的前n项和Tn=．参考答案：10+（3n﹣5）2n+1【考点】数列的求和．【分析】利用an=Sn﹣Sn﹣1求出数列{an}的通项公式，然后利用，求出数列{bn}通项公式；利用cn=anbn．求出数列cn的通项公式，写出前n项和Tn的表达式，利用错位相减法，求出前n项和Tn．【解答】解：由已知得，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=3n﹣2，又a1=1=3×1﹣2，符合上式．故数列{an}的通项公式an=3n﹣2．又因为，所以log2bn=（an+2）=n，即bn=2n，令cn=anbn．则cn=（3n﹣2）?2n．所以Tn=1×21+4?22+7?23+…+（3n﹣2）?2n，①2Tn=1×22+4×23+7?24+…+（3n﹣2）?2n+1，②由②﹣①得：﹣Tn=2+3?22+3?23+…+（3n﹣5）?2n+1=3×（2+22+…+2n）﹣（3n﹣2）?2n+1﹣2=﹣（3n﹣5）?2n+1﹣10，所以Tn=10+（3n﹣5）2n+1故答案是：10+（3n﹣5）2n+1．15.定义在上的偶函数，在上单调递增，则不等式的解是__________.参考答案：略16.的展开式中含x3的系数为．（用数字填写答案）参考答案：﹣10【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中含x3的系数．【解答】解：展开式的通项公式为，令5﹣2r=3，解得r=1，所以展开式中含x3的系数为．故答案为：﹣10．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题．17.直线xsinθ+ycosθ﹣c=0的一个法向量（直线的法向量是指和直线的方向向量相垂直的非零向量）为=（2，1），则tanθ=

．参考答案：2【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；直线与圆．【分析】先根据直线的法向量，求出直线的一个方向向量，由此求出直线的斜率，即可得出结论．【解答】解：∵直线l的一个法向量为=（2，1），∴直线l的一个方向向量为（1，﹣2），∴k=﹣2，∴﹣=﹣2，∴tanθ=2，故答案为：2．【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，直线的法向量和方向向量的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（15分）（2015?浙江模拟）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，该椭圆的离心率为，A是椭圆上一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过F2的直线l交椭圆于A、B两点，且满足△AOB的面积为，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（Ⅰ）首先，可以设F（c，0）（c＞0），根据e=，得a=，然后根据AF2⊥F1F2，得到A（c，±），从而得到直线AF1的方程为y=±，，再结合O到直线AF1的距离为，得到，从而解得a=，b=c=1，从而得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先，假设存在，然后，设直线的方程，建立面积关系式，然后，求解即可．解：（Ⅰ）设F（c，0）（c＞0），根据e=，得a=，∴b=c，∵AF2⊥F1F2，∴A（c，±），直线AF1的方程为y=±，∴，∵O到直线AF1的距离为，故，∴a=，b=c=1，∴椭圆的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l不垂直x轴时，设直线的方程为：y=k（x﹣1），代入椭圆方程得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0x1+x2=，x1?x2=，∴|AB|=点O多直线l的距离为d=，，∴解得k2=1，k=±1，∴直线l的方程为：x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0，当直线l垂直于x轴时，不合题意，∴直线l的方程为：x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0．【点评】：本题重点考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．19.（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

甲组

乙组

6X

8

7

4

1

9

0

0

3

（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X及甲组同学数学成绩的方差；（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：方差其中）参考答案：解：（I）乙组同学的平均成绩为，甲组同学的平均成绩为90，

所以…………………2分

甲组同学数学成绩的方差为……………

6分(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为则所有的事件构成的基本事件空间为：

共16个基本事件.设事件“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件包含的基本事件的空间为{共7个基本事件，………….13分20.已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若存在x0∈[，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．（2）由已知得a≤2lnx+x+，x∈[，e]，设h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]，则，x∈[，e]，由此利用导数性质能求出实数a的取值【解答】解：（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，当x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（），f′（x）＞0，f（x）单调递增，∵t＞0，∴t+2＞①当0＜t＜＜t+2，即0＜t＜时，f（x）min=f（）=﹣；②当，即t时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt．∴．（2）∵不等式2f（x0）≥g（x0）成立，即2x0lnx0≥﹣，∴a≤2lnx+x+，x∈[，e]，设h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]，则，x∈[，e]，①x∈[，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，②x∈（1，e]时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）max=h（）=﹣2+，对一切x0∈[，e]使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，∴a≤h（x）max=﹣2++3e．【点评】本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．21.若正项数列{an}满足：=an+1﹣an（n∈N*）．则称此数列为“比差等数列”．（1）试写出一个“比差等数列”的前3项；（2）设数列{an}是一个“比差等数列”，问a2是否存在最小值，如存在，求出最小值：如不存在．请说明理由；（3）已知数列{an}是一个“比差等数列”，Sn为其前n项的和，试证明：Sn＞．参考答案：（1）根据比差等数列的定义写出一个比差等数列的前3项分别为2，4，；（2）∵=an+1﹣an（n∈N*），∴，∵an＞0，∴＞0，∴a1＞1，∴a2===（a1﹣1）++2=4，当且仅当即a1=2时取等号，此时a2=4，（3）由an＞0，可得=an+1﹣an＞0，∴an+1＞an＞0，∴＞1，∴a2≥4，a3﹣a2＞1，a4﹣a3＞1…an﹣an﹣1＞1以上n﹣1个式子相加可得，an﹣a2＞n﹣2∴an＞n﹣2+4=n+2（n≥2）sn=a1+a2+…+an＞1+4+（3+2）+…+（n+2）=（1+2）+（2+2）+（3+2）