2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的性质

2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的性质

一.选择题（共14小题）

1.（2020•益阳）如图，在aABC中，AC的垂直平分线交于点£）,C。平分NACB,若

ZA=50°,则的度数为（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

2.（2021•益阳）如图，AB〃C。，ZUCfi■为等边三角形，N£>CE=40°,则NEAB等于（）

A.40°B.30°C.20°D.15°

3.（2021•永州）如图，在△ABC中，AB=AC,分别以点A,B为圆心，大于的长为

2

半径画弧，两弧相交于点例和点N,作直线MN分别交8C、AB于点。和点E,若NB

=50°,则NCAO的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.（2021•张家界）如图，正方形A8CD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中

的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCQ的面积为S,黑

色部分面积为Si,则SI：S的比值为（）

B

5.（2021•岳阳）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a〃b,则N1的大小为（）

6.（2019•娄底）如图，的半径为2,双曲线的解析式分别为尸上和y=-L则阴影部

XX

分的面积是（）

7.（2021•湘潭）如图，BC为。。的直径，弦AOLBC于点E,直线/切于点C,延长

0。交/于点凡若AE=2,ZABC=22.5°,则CF的长度为（）

8.（2021•长沙）如图，AB//CD,石厂分别与AB,CO交于点G,H,ZAGE=]00°,则N

。，产的度数为（）

A.100°B.80°C.50°D.40°

9.（2021•株洲）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段8c的延长线上，若

ZDCE=\32Q，则NA=（）

D.66°

10.（2021•湘西州）如图，面积为18的正方形ABC。内接于则窟的长度为（）

C.D.In

11.（2021•株洲）如图所示，在正六边形A3CDEF内，以A3为边作正五边形A3G”/,则

C.14°D.15°

12.（2019•永州）下列说法正确的是（)

A.有两边和一角分别相等的两个三角形全等

B.有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形

C.如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°

D.点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度

13.（2019•郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个

正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知NA=90°,BD=4,CF=6,则正方形AOOF

的边长是（）

A.A/2B.2C.73D.4

14.（2021•娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当。4与

直线/：只有一个公共点时，点A的坐标为（）

12

A.（-12,0）B.（-13,0）C.（±12,0）D.（±13,0）

填空题（共6小题）

15.（2020•湘西州）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是.

16.（2019•娄底）如图，C、。两点在以AB为直径的圆上，43=2,ZACD=30°,则AO

B

D

17.（2019•邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦

图”.如图，设勾”=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是

18.（2019•湘潭）如图，在四边形ABCD中，若4B=CD,则添加一个条件,能得

到平行四边形ABCZ）.（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）

19.（2020•张家界）如图，NAOB的一边。4为平面镜，N4OB=38°,一束光线（与水平

线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则NOEB的

度数是度.

20.（2020•怀化）如图，在△48C和△AOC中，AB=AD,BC=DC,ZB=130°,则/O

三.解答题（共4小题）

21.（2021•湘潭）如图，矩形ABC。中，E为边BC上一点,将AABE沿AE翻折后，点、B

恰好落在对角线AC的中点F上.

（1）证明：尸丝△CER

（2）若求折痕AE的长度.

D

22.（2020•娄底）如图，DABCD中，BC=2AB,AB±AC,分别在边8C、AD上的点E与

点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE.

（1）试判定四边形4EC尸的形状，并说明理由;

(2)求证：AELDE.

23.（2020•株洲）48是。。的直径，点C是。。上一点，连接AC、BC,直线MN过点C,

满足NBCM=NBAC=a.

（1）如图①，求证：直线MN是0。的切线;

（2）如图②，点£＞在线段3c上，过点。作于点H,直线。H交。。于点E、

F,连接AF并延长交直线MN于点G,连接CE,且CE=§,若。。的半径为1,cosa

3

=3,求AG・E£＞的值.

4

24.（2020•衡阳）如图1,平面直角坐标系X。）：中，等腰△4BC的底边BC在x轴上，BC

=8,顶点A在y的正半轴上，OA=2,一动点E从（3,0）出发，以每秒1个单位的速

度沿CB向左运动，到达08的中点停止.另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB

向左运动，到达点O停止.已知点E、F同时出发，以为边作正方形EFG”，使正方

形EFG”和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为f秒(f20).

(1)当点“落在AC边上时，求「的值；

(2)设正方形EFG”与△ABC重叠面积为5,请问是否存在，值，使得S=91?若存在，

36

求出r值；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,取AC的中点。，连接0£),当点E、尸开始运动时，点M从点0出发，

以每秒2旄个单位的速度沿0。-。(7-。£>-£>0运动，到达点。停止运动.请问在点E

的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内(含边界)吗？如果可能，求出点M

在正方形EFGH内(含边界)的时长；若不可能，请说明理由.

2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的性质

参考答案与试题解析

选择题（共14小题）

1.（2020•益阳）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交A8于点。，C£>平分/AC8,若

ZA=50°,则N8的度数为（）

【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到NA=NACO,再根据角平分线的定义，

即可得出NAC8的度数，根据三角形内角和定理，即可得到NB的度数.

【解答】解：垂直平分4C,

：.AD=CD,

：.ZA=ZACD

又平分NACB,

AZACB=2ZACD=100°,

.,.ZB=180°-ZA-ZACB=180°-50°-100°=30°,

故选：B.

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分

线上任意一点，到线段两端点的距离相等.

2.（2021•益阳）如图，A8〃C£>,ZXACE为等边三角形，/QCE=40°,则/EA8等于（）

A.40°B.30°C.20°D.15°

【考点】等边三角形的性质；平行线的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】根据平行线的性质可得/£>CA+/CAB=180°,即NOCE+NECA+NE4C+/

EA8=180°,由△ACE为等边三角形得/ECA=NE4C=60°,即可得出/E48的度数.

【解答】JW：'：AB//CD,

：.ZDCA+ZCAB=\S0°,BPZDCE+ZECA+ZEAC+ZEAB=\SO°,

•:△ACE为等边三角形，

：.ZECA^ZEAC=60Q,

/.180°-40°-60°-60°=20°.

故选：C.

【点评】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，根据等边三角形的性质得出NECA

=NE4C=60°是解题的关键.

3.（2021•永州）如图，在△48C中，AB=AC,分别以点A,B为圆心，大于的长为

2

半径画弧，两弧相交于点M和点N,作直线MN分别交BC、4B于点。和点E,若NB

=50°,则NC4。的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【考点】作图一基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质.

【专题】作图题；推理能力.

【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB,则D4=£>B,所以ND48=N8=50°,

再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出NBAC,然后计算NB4C-NDAB即可.

【解答】解：由作法得垂直平分48,

：.DA=DB,

：.ZDAB=ZB=50°,

\"AB=AC,

.../C=NB=50°,

AZBAC=1800-ZB-ZC=180°-50°-50°=80°,

：.ZCAD=ZBAC-ZDAB=S00-50°=30°.

故选：A.

【点评】本题考查了作图-基本作图：利用基本作图判断MN垂直平分AB是解决问题的

关键.也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质.

4.（2021•张家界）如图，正方形ABC。内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中

的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCQ的面积为S,黑

D，2

【考点】正方形的性质；扇形面积的计算；中心对称图形.

【专题】与圆有关的计算；推理能力.

【分析】观察题目，不妨设正方形面积S=l,则正方形边长为1,则内切圆半径为』,

2

再利用圆的对称性表示出S1即可找到Si：S的比值.

【解答】解：不妨设正方形面积S=l,则正方形边长为1,

二内切圆直径d=l,r——,

2

'.S园=11/=31,

4

根据圆的对称性得：黑色部分面积51=%圆=%,

28

ASi：S=工兀：1=三，

88

故选:A.

【点评】本题考查与圆有关的计算，涉及圆的对称性，圆的面积等知识点，熟练掌握圆

的对称性将黑色部分学会转移为半圆面积是解题的关键.

5.（2021•岳阳）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线则/I的大小为（）

A.45°B.60°C.75°D.105

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线：几何直观；运算能力；推理能力.

【分析】根据平行线的性质可得Nl+/A8C=180°,进而可求出/I.

【解答】解：由题意知，ZABC=45°+60°=105°,

.".Zl+ZAfiC=180°,

二/1=180°-180°-105°=75°,

【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的

关键.

6.（2019•娄底）如图，。。的半径为2,双曲线的解析式分别为＞=工和y=-1，则阴影部

XX

分的面积是（）

A.4nB.3nC.2nD.n

【考点】扇形面积的计算；反比例函数图象的对称性.

【专题】反比例函数及其应用.

【分析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可.

【解答】解：双曲线y=工和y=-1的图象关于X轴对称，

XX

根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的

阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，

并且扇形的圆心角为180°,半径为2,

所以：$加=180-X22=27T.

360

故选：C.

【点评】本题考查的是反比例函数，题目中的两条双曲线关于x轴对称，圆也是一个对

称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为180°,半径为2的扇形的面积，用

扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积.

7.（2021•湘潭）如图，BC为。0的直径，弦8c于点E,直线/切。0于点C,延长

。。交/于点F,若AE=2,N4BC=22.5°,则C尸的长度为（）

B

A.2B.2^2C.273D.4

【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理.

【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力.

【分析】根据垂径定理求得AC=CD，AE=DE=2,即可得到NCOO=2NABC=45°,

则△OED是等腰直角三角形，得出0。=在可3=2证,根据切线的性质得到BC1CF,

得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=2近.

【解答】解：；BC为。0的直径，弦AOLBC于点E,

AC=CD«AE=DE=2,

：.ZCOD^2ZABC=45Q,

...△OE。是等腰直角三角形，

：.OE=ED=2,

0D=个「2+22=2"\/"^,

•.•直线/切。。于点C,

：.BCVCF,

...△OCF是等腰直角三角形，

：.CF=OC,

•：OC=OD=2近,

:.CF=2®

故选:B.

【点评】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股

定理的应用，求得CF=OC=。。是解题的关键.

8.（2021•长沙）如图，AB//CD,EF分别与A3,CD交于点G,H,ZAGE=100°,则/

OHF的度数为（）

A.100°B.80°C.50°D.40°

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观.

【分析】先根据平行线的性质，得出NCHG的度数，再根据对顶角相等，即可得出尸

的度数.

【解答】解：••.AB”。。,

：.ZCHG^ZAGE=iOO°,

:.NDHF=NCHG=TOQ°.

故选：A.

【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时关键是注意：两直线平行，同位

角相等.

9.（2021•株洲）如图所示，四边形ABCC是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若

ZDCE=132°,则N4=（）

A.38°B.48°C.58°D.66°

【考点】平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度

数即可.

【解答】解：•.•NZ>CE=132。，

/.Z£>CB=180°-ZDCE=180°-132°=48°,

•.•四边形ABC。是平行四边形，

.•.N4=NQCB=48°,

故选：B.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及平角的定义，熟记平行四边形的各种性

质是解题关键.

10.（2021•湘西州）如图，面积为18的正方形ABCO内接于。0,则AB的长度为（)

A.9nB.—nC.—nD.—ir

224

【考点】正多边形和圆；弧长的计算；正方形的性质.

【专题】正多边形与圆；运算能力.

【分析】连接OA、OB,则△0A8为等腰直角三角形，由正方形面积为18,可求边长为

30，进而可得半径为3,根据弧长公式可求弧A8的长.

【解答】解：如图

连接。A,0B,则0A=。8,

；四边形A8C。是正方形，

AZAOB=90°,

...△0A8是等腰直角三角形,

•.,正方形ABCQ的面积是18,

:-AB=7

：.OA=OB=3>,

二弧AB的长L=n兀r=90・3,兀=3兀

180~180

故选：C.

【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、弧长公式等知识，构造等腰直角三

角形是解题的关键.

11.（2021•株洲）如图所示，在正六边形A8C0EF内，以A8为边作正五边形A8GH/,则

4FAI=()

【考点】多边形内角与外角.

【专题】正多边形与圆；推理能力.

【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论.

【解答】解：在正六边形A8COEF内，正五边形ABGH/中，/硼3=120°108°,

：.ZFAI^ZFAB-ZIAB^\20°-108°=12°,

故选：B.

【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是求出正多边形的内角，属于中考常考题

型.

12.（2019•永州）下列说法正确的是（）

A.有两边和一角分别相等的两个三角形全等

B.有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形

C.如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°

D.点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度

【考点】矩形的判定；点到直线的距离；全等三角形的判定.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形.

【分析】根据去全等三角形的判定方法得出A不正确；由矩形的判定方法得出B不正确;

由补角的定义得出C不正确；由点到直线的距离的定义得出。正确；即可得出结论.

【解答】解：A.有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；

B.有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；

C.如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°；不正确；

D点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；

故选：D.

【点评】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定方法、点到直线的距离以及补角的

定义；熟记各个判定方法和定义是解题的关键.

13.（2019•郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个

正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知NA=90°,B£>=4,CF=6,则正方形AOOF

的边长是（）

A.V2B.2C.A/3D.4

【考点】正方形的性质；数学常识；勾股定理.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形.

【分析】设正方形AOOF的边长为x,在直角三角形AC8中，利用勾股定理可建立关于

x的方程，解方程即可.

【解答】解：设正方形ADO尸的边长为x,

由题意得：BE=BD=4,CE=CF=6,

：.BC=BE+CE=BD+CF=10,

在RtZXABC中，AC1+AB2=BC2,

即（6+x）2+（x+4）2=102,

整理得，?+10x-24=0,

解得：x—2,或*=-12（舍去），

••.x=2,

即正方形ADO尸的边长是2；

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定

理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键.

14.（2021•娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当OA与

直线/：y=-Lx只有一个公共点时，点A的坐标为（）

12

y

x

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

【考点】直线与圆的位置关系；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】一次函数及其应用；运算能力.

【分析】由题意可知：直线/与0A相切，设切点为8,过点8作于点E,利用

直线/的解析式设出点B的坐标，可得线段8E,08的长，由直角三角形的边角关系可

得tan/4OB=_§_；解直角三角形ABO可得08的长，利用勾股定理可求。A的长，点

12

A坐标可得，同理可求当A在x轴的正半轴上的坐标为(13,0).

【解答】解：当OA与直线/：y=_Lx只有一个公共点时，直线/与0A相切，

12

设切点为8,过点8作8EL0A于点E,如图，

；点8在直线>=工上，

12

.•.设B(/n,

12

OE--m,BE--

12

在RtZ\OEB中，tanNAOB=E^hL.

OE12

•.,直线/与OA相切，

：.ABLBO.

在RtaOAB中，tan/AO8=a5_=_L.

OB12

,.,A8=5,

：.0B=\2.

,0A=VAB2-K)B2=V52+122=13-

；.A(-13,0).

同理，在x轴的正半轴上存在点(13,0).

综上所述，点4的坐标为(±13,0).

故选：D.

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，正比例函数图象上

点的坐标的特征，解直角三角形，勾股定理.利用点的坐标表示出相应线段的长度是解

题的关键.

填空题(共6小题)

15.(2020•湘西州)若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是6.

【考点】多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形；运算能力.

【分析】任何多边形的外角和是360°,内角和等于外角和的2倍则内角和是720°.〃

边形的内角和是2)780°,如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的

方程，解方程就可以求出多边形的边数.

【解答】解：设该多边形的边数为〃，

根据题意，得，(n-2)*180°=720°,

解得：“=6.

故这个多边形的边数为6.

故答案为：6

【点评】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可

以转化为方程的问题来解决，难度适中.

16.(2019•娄底)如图，C、。两点在以为直径的圆上，AB=2,ZACD=30°,则A。

B

C

A

【考点】圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质.

【分析】利用圆周角定理得到N4DB=90°,NB=NACO=30°,然后根据含30度的

直角三角形三边的关系求求AD的长.

【解答】解：为直径，

AZADB=90a,

VZB=ZACD=30°,

.*.AO=Xw=」X2=l.

22

故答案为1.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的

圆周角所对的弦是直径.

17.（2019•邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦

图”.如图，设勾。=6,弦c=10,则小正方形A8CZ）的面积是4.

【考点】勾股定理的证明；数学常识.

【专题】解直角三角形及其应用.

【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解.

【解答】解：；勾a=6,弦c=10,

.,.股={102_62=8,

二小正方形的边长=8-6=2,

...小正方形的面积=2?=4

故答案是：4

【点评】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想.

18.（2019•湘潭）如图，在四边形A8C。中，若AB=CD,则添加一个条件AC=8C,

能得到平行四边形A8CD.（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）

【考点】平行四边形的判定.

【专题】多边形与平行四边形.

【分析】可再添加一个条件AD=BC,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

四边形ABCD是平行四边形.

【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD=BC.

故答案为：AD=BC（答案不唯一）.

【点评】此题主要考查平行四边形的判定.是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理

是解题的关键.

19.（2020•张家界）如图，/AOB的一边OA为平面镜，乙408=38°,一束光线（与水平

线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则/。E8的

度数是76度.

【考点】平行线的性质.

【专题】推理填空题；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力.

【分析】根据平行线的性质可得/AOC的度数，由光线的反射定理可得/ODE的度数,

再根据三角形外角性质即可求解.

【解答】W：'：DC//OB,

.•.NAZ)C=NAOB=38°,

由光线的反射定理易得，ZODE=ZADC=38a,

NDEB=NODE+NAOB=38°+38°=76°,

故答案为：76。.

【点评】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反

射角是解题的关键.

20.(2020•怀化)如图，在aABC和△4£>(7中，AB=AD,BC=DC,ZB=130°,则NO

-130°.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；推理能力.

【分析】根据全等三角形的判定定理得出△ABC丝△AQC,根据全等三角形的性质得出

ND=NB,代入求出即可.

【解答】解：在△AOC和△48C中，

，AD=AB

<AC=AC-

CD=CB

/.△ABC^AADC(SSS),

:.ND=NB,

VZB=130°,

：.ZD=130°,

故答案为：130.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解此题的

关键.

三.解答题(共4小题)

21.(2021•湘潭)如图，矩形ABC。中，E为边BC上一点,将AABE沿AE翻折后，点8

恰好落在对角线AC的中点F上.

(1)证明：尸丝△CER

(2)若A8=J§,求折痕AE的长度.

D

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】（1）由折叠性质得到，NAFE=NB=90°,由点8恰好落在对角线4c的中点

尸上可得根据邻补角的定义得到/CFE=90°,即可根据SAS判定△AEfg4

CEF；

（2）由（1）得由折叠性质得到NBAE=NE4F,根据直角三角形的两

锐角互余求出NBAE=30°,再解直角三角形求解即可.

【解答】（1）证明：•.•四边形ABC。是矩形，

AZB=90°,

,/将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上，

；./AFE=/B=90°,AF^CF,

VZAFE+ZCF£=180°,

AZCFE=180°-ZAFE=90°,

在△AEF和△（?£'/中，

'AF=CF

<ZAFE=ZCFE>

EF=EF

.,.△AEF^ACEF（SAS）.

（2）解：由（1）知，/\AEF^/\CEF,

:"EAF=2ECF,

由折叠性质得，NBAE=NEAF,

：.ZBAE=ZEAF=NECF,

VZB=90°,

.\ZBAC+ZBCA=90°,

：.3ZBAE=90°,

：.ZBAE=30°,

在Rt/XABE中，AB=gZB=90°,

，AE=__=卓=2.

cos30°73

2

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质，根据矩形的性质及折叠的

性质求出XAEFmXCEF是解题的关键.

22.(2020•娄底)如图，oABCD中，BC=2AB,ABLAC,分别在边8C、上的点E与

点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE.

(1)试判定四边形AECF的形状，并说明理由；

【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；平移、

旋转与对称：推理能力.

【分析】(1)由轴对称的性质得出AE=AF,CE=CF,OE=OF,证AAO尸名△COE(A4S),

得出AF=CE,则AE=AF=CE=C凡即可得出四边形AEC尸是菱形；

(2)证NAC8=30°,ZkABE是等边三角形，则AE=AB=BE,ZAEB=60°,ZAEC

=120°,证出CE=8E=」BC=A8=C£>,则/CEO=/CZ)E=30°,进而得出结论.

2

【解答】(1)解：四边形AECF是菱形，理由如下：

V四边形ABCD是平行四边形，

.'.AD//BC,

：.ZOAF=ZOCE,

•.•点E与点F关于AC对称，

：.AE=AF,CE=CF,OE=OF,

，Z0AF=Z0CE

在△AO/和△<%>£；中，.ZAOF=ZCOE>

OF=OE

.♦.△AOF丝△COE(AAS),

：.AF=CE,

:.AE=AF=CE=CF,

・・.四边形AECF是菱形；

(2)证明：・・・BC=2AB,AB±ACf

：.ZACB=30°,

/.ZB=60°,

U

：AE=CE9

：.ZEAC=ZACB=30°,

AZBAE=90°-30°=60°=ZB,

**./\ABE是等边三角形，

：.AE=AB=BE,ZAEB=60°,

AZAEC=120°,

•・・四边形ABCD是平行四边形，

:.AB//CD,AB=CDf

：.ZDCE=1SO°-ZB=120°,

XVCE=AE,

:.CE=BE=LBC=AB=CD,

2

：.ZCED^ZCDE=30°,

：.ZAED=\20°-30°=90°,

【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、轴对称的性质、全等三角形的判

定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定,

证明三角形全等是解题的关键.

23.（2020•株洲）AB是。。的直径，点C是。。上一点，连接AC、BC,直线MN过点C,

满足NBCAf=N3AC=a.

E

图①图②

(1)如图①，求证：直线是的切线;

(2)如图②，点。在线段8c上，过点。作。于点从直线。〃交。。于点E、

F,连接A尸并延长交直线MN于点G,连接CE,且CE=$,若。。的半径为1,cosa

3

=旦，求的值.

4

【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其

应用；推理能力.

【分析】(1)由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得NA+NB=90°,由OC=OB

可得/B=/OC8,推出NOCB+/BCM=90°,从而可得结论；

(2)由已知条件易求出4C的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得NG"/=/ACE,

根据余角的性质可得NECO=NAGC,进而可得△EDCS^ACG,根据相似三角形的性

质变形可得4G•DE=AUCE,即可求出结果.

【解答】(1)证明：连接OC,如图①，

「AB是。。的直径,

AZACB=90°,

AZA+ZB=90°,

：OC=OB,

：./B=NOCB,

"：ZBCM=ZA,

：.ZOCB+ZBCM=90°,HP0C1MN,

.♦.MN是。。的切线；

(2)解：如图②，：AB是。0的直径，。0的半径为1,

：.AB=2,

"."cosZBAC—cosa即空■萼,

C0SAB424

•3

,,AC为

,/ZAFE=NACE,ZGFH=NAFE,

：.ZGFH=ZACE,

,:DHLMN,

...NGFH+/4GC=90°,

VZACE+Z£CD=90°,

NECD=ZAGC,

又：NDEC=NCAG,

:AEDCSAACG,

•EDEC

**AC=AG"

图②

图①

【点评】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理

的推论以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握切线的判定和相

似三角形的判定与性质是解题的关键.

24.（2020•衡阳）如图1,平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC

=8,顶点A在），的正半轴上，OA=2,一动点E从（3,0）出发，以每秒1个单位的速

度沿C8向左运动，到达08的中点停止.另一动点尸从点C出发，以相同的速度沿C8

向左运动，到达点。停止.己知点E、尸同时出发，以EF为边作正方形EFGH,使正方

形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为，秒G20）.

（1）当点“落在AC边上时，求I的值；

（2）设正方形EFG”与△A8C重叠面积为S,请问是否存在"直，使得S=91?若存在，

36

求出t值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2,取AC的中点。，连接OD,当点E、尸开始运动时，点例从点O出发，

以每秒2泥个单位的速度沿0。-。0。£>-00运动，到达点。停止运动.请问在点E

的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M

在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由.

【考点】四边形综合题.

【专题】几何综合题；动点型；应用意识.

【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

（2）由题意，在E,尸的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1,因为正方形EFG”

与AABC重叠面积为S,S=9L推出此时点F与。重合，已经停止运动，如图1-2

36

中，重叠部分是五边形OEKJG.构建方程求解即可.

（3）分别求出点M第一次和第二次落在正方形内部（包括边界）的时长即可解决问题.

【解答】解：（1）如图1-1中，

由题意，0A=2,O2=OC=4,EF=EH=FG=HG=l,

当点〃落在AC上时，-：EH//OA,

ACE=EH；

"coOA'

ACE=2,

~2

：.CE=2,

.•.点E的运动路程为1,

.丁=1时，点H落在AC上.

(2)由题意，在E,尸的运动过程中，开始正方形EFG"的边长为1,

:正方形EFG4与△A8C重叠面积为S,S=里，

36

此时点尸与。重合，已经停止运动，如图1-2中，重叠部分是五边形OEKJG.

由题意：(r-3)2-・(3-13)=毁,

2236

整理得45?-486r+1288=0,

解得/=」&或丝(舍弃)，

315

满足条件的t的值为

3

5

•••点M第一次落在正方形内部（包括边界）的时长=乌-3=工（S）,

555

当点M第二次落在FG上时，4z-r=4,r=A（s）,

3

当点M第二次落在E”上时，4r-（Z+1）=4,f=5（s）,

3

点M第二次落在正方形内部（包括边界）的时长=2-9=工（s）,

333

当3Wf<5时，E点运动，M在。点不动，M在正方形EFG”的边界，

...点M落在正方形内部（包括边界）的总时长=工+1+2=段（s）.

5315

【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，平行线分线段

成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用

分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

考点卡片

1.数学常识

数学常识

此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解.比如给出一个物体的高度

要会选择它合适的单位长度等等.

平时要注意多观察，留意身边的小知识.

2.正比例函数的性质

正比例函数的性质.

3.一次函数图象上点的坐标特征

一次函数丫=区+乩（％wo,且上人为常数）的图象是一条直线.它与X轴的交点坐标是（-

电，0）；与y轴的交点坐标是（0,b）.

k

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y^kx+b.

4.反比例函数图象的对称性

反比例函数图象的对称性：

反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分

线丫=-为②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点.

5.点到直线的距离

（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段.它

只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形.

6.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理h两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角

相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同旁

内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角

相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

7.三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且

每个内角均大于0°且小于180°.

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在

转化中借助平行线.

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,

用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

8.全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.

（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.

（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.

（4）判定定理4：A4S--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

（5）判定定理5：4L--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若

已知两边对应相等，则找它们的夹