七年级数学上册复习资料大全

第一章《有理数》

一、知识点模块

（-）正数与负数

（1）正数与负数表示具有相反意义的量。

（2）有理数的概念与分类

概念：整数和分数统称有理数，能写成两个整数之比的数就是有理数。

注意：①有限小数和无限循环小数因都能化成分数，故都是有理数。

17T

②无限不循环小数因为不能化成两个整数之比，固称为无理数，如乃，一等。

2

（-）数轴

（1）数轴三要素：原点、正方向、单位长度（注意：数轴是一条有向直线）

⑵作用：①描点：数形结合；

②比较大小：沿着数轴正方向数在逐渐变大；

③直观反映互为相反数的两个点的位置关系；

④绝对值的几何意义；

⑤有理数都在数轴上，但数轴上的数并非都是有理数。

（3）数轴上点的移动规律：“正加负减”向数轴正方向（或负方向）则对应的数应加（或减）

（三）相反数

（1）定义：若a+b=O,则a与b互为相反数

特例：因为0+0=0,所以。的相反数是0

⑵性质：

①若a与b互为相反数，则a+b=0

②-a不一定表示负数，但一定表示a的相反数（仅仅相差一个负号）

③若a与b互为相反数且都不为零，-=-1

b

④除0以外，互为相反数的两个数总是成双成对的分布在原点两侧且到原点的距离相等。

⑤互为相反数的两个数绝对值相等，平方也相等。即：同=|一《，=（-«）2

（四）绝对值

（1）定义：在数轴上表示数a点到原点的距离，称为a的绝对值。记作M

⑵法则：①正数的绝对值等于它本身；

②0的绝对值是0；

③负数的绝对值是它的相反数。

a(a〉0)，.

,,,、।।a(aNO)a(a>0)

a

即a|=0(«=0)H=1/小\\=\/<nx

-a(a<0-a(a<0)

-a(a<0)V}1V'

(3)一个数的绝对值越小，说明这个数越接近0(离原点越近)。绝对值最小的有理数是0

⑷若a>0,则@=2=1,若a<0,则@===-1

⑸数轴上数。与数6之间的距离AB满足：AB=|a—4

(6)非负数的性质:/+网=o,则a=b=o_

(五)倒数

⑴定义：若ab=l,则a与b互为倒数。

注意：因为0乘以任何数都为0,所以0没有倒数。

(2)若a与b互为倒数，则ab=l。

(3)因两数相乘同号才能得正，故互为倒数的两数必定同号。所以负数的倒数肯定还是负数。

(4)求带分数的倒数要先将其化为假分数，再颠倒分子分母位置

⑸注意：只有当指明时，上才能表示。的倒数！

a

(六)有理数的运算

'与0相加:等于没加

同号相加：取相同的符号，绝对值相加

两数相加〈，

无0参与〈[互为相反数和为0

异号相加〈

L[〔取绝对值较大数的符号,绝对值大减小

「互为相反数优先结合相加

多数相加《分母相同的分数优先结合相加

〔同号的数优先结合相加

"与0相乘：马上得0

两数相乘I［同号得正］

无0参与〈卜绝对值相乘

〔〔异号得负J

’只要有0：马上得0

多数相乘，

〔无0参与：先定符号，奇负偶正；再将绝对值直接相乘作为最终结果的绝对值

除：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数！（两数相除也满足同号得正，异号得负的法则）

定义:〃个义目乘记做作用：10“xl0、

1〃为偶数

〈性质：（一1）"

乘方

-1〃为奇数

区分：（-i）;r,（T）\M，H|

混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；对于同级运算，一般按从左到右的顺序进行；如果有

括号的，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

（七）有理数的大小比较

（1）宏观比较法：正数>0>负数

（2）数轴法:在数轴上右边的数总比左边的大.（沿着数轴正方向数在逐渐变大）

（3）绝对值法:正数绝对值越大，数就越大；负数绝对值越大；数越小。

（4）作差法：与0作比较.若a>b,则a-b>0;若a=b,则a-b=0;若a<b,则a-b<0.

注：这就是：大数减小数等于正数，小数减大数等于负数，相等两数差为0.

（八）科学记数法，近似数，有效数字

把一个绝对值较大的数，表示为ax10"（1<|a|<10,〃为正整数）称为科学记数法。

a与原数只是小数点位置不同，n等于a化为原数时小数点移动的位数

二'重难点例题模块

(一)加减混合运算的技巧

1、相反数相结合或同号结合

(1)(+6)—s|+(―1.25)—^―s|j；

(2)2.3+(—1.7)+6.2+(—2.2)-1.1.

2^同分母或凑整结合

(1)(-6.82)+3.78+(-3.18)-3.78；

⑵1,+卜5?+卜用—1.25.

3、计算结果成规律的数相结合

⑴计算1+2-3-4+5+6-7-8H---F2013+2014-2015-2016

(2)阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当a20时,

|a|=a；当a<0时，|a|=-a.根据以上阅读完成下列问题：

①13.14—冗|=；

111111111

②计算：万一1+3-2+4-3+-+9-8+W-9-

(二)运用分配律解题的技巧

1、正用分配律

⑴(9H)x(-24)；

,、13,、

(2)39^X(-14).

2、逆用分配律

计算：4X^—3yJ—3X^—3yJ—6X3y.

3、除法变乘法，再利用分配律

计算:七一舁|凡得.

(三)绝对值

1.绝对值不大于2的非负整数有..

2.若|a-4|+1b+3I+1c+2|=0,那么a—b+c二

3.如果时=一"，则a的取值范围是

4.绝对值小于5的所有的整数的和

5.若|-a|=5,则a=_

6.若|x|=2,|y|=3,则|x+y|的值为

7.若|a-l1=a-1,则a的取值范围是.

8.|a|=4,b2=4,且|a+b|=a+b,那么a-b的值是.

9.在数轴上点P到原点的距离为5,点P表示的数

(四)实际应用

1.某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程(单

位：km)依先后次序记录如下：

+9,—3,—5,+4,—8,+6,—3,—6,—4,+10.

(D将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？

(2)若每千米的价格为24元，司机一个下午的营业额是多少？

2.检修组乘汽车,沿公路检修线路,约定向东为正，向西为负,某天自A地出发，到收工时,行走记录

为(单位:千米)：+8、-9、+4、+7、-2、-10、+18、-3、+7>+5回答F列问题：

⑴收工时在A地的哪边?距A地多少千米？

(2)若每千米耗油0.3升，问从A地出发到收工时,共耗油多少升？

(五)规律题

1,数列中的规律

1234

(D给定一列按规律排列的数：J,曰正,有，…，则这列数的第6个数是

I0101/

(2)找规律，并按规律填上第5个数：—357，s9，

N4o10

⑶按一定规律排列的一列数：(，1,1,匚|,小口印….请你仔细观察，按照此规律方框内

的数字应为.

2、四则运算中的规律

(1)某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学

依自己顺序数的倒数加1,第1位同学报第2位同学报第3位同学报七+1),这

样得到的前20个数的积为

(2)若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1,2!=2X1=2,3!=3X2X1=6,4!=4X3X2

XI=24,…，则5!=____________________=________，黑二的值为________.

yo；

(3)计算：1-3+5—7+9—11+…+97-99.

(4)观察下列等式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,­­­,试猜想，32016的个

位数字是.

(5)观察下列等式:1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,则1+3+5+7+…+

2015=.

3、图形中与数的计算的有关规律

(1)找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为.

(2)百子回归图是由1,2,3,…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史,

如：中央四位“19991220”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“2350”标示澳门面积，…，

同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列10个数之和，每条对角线10个数之和均相等，

则这个和为.

TT-J-EW8B

4,数轴中的规律

如图，在数轴上点A表示1,现将点A沿x轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达

点A1,第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2,第三次将点A2向左移动9个单位长度到

达点A3,按照这种移动规律，则点A13、A14之间的距离是.

AAAA

llIIiII

l

?.1456.

-?

三'易错点和高频错题模块

①学生即时错误收集

数轴的画法、-1的乘方、已知绝对值求原数、数轴上点的移动、负数加减乘除的负号处理

②章节内易混淆概念典型

易错点1:对正、负数的理解

下列说法正确的有()

A、+(-3)是正数B、-(-4)是负数C、0既不是正数也不是负数D、-a是负数

易错点2：对“0”的认识

1、下列说法不正确的是()

A、不是正数的数一定是负数B、海拔是0米表示海平面的高度

C、0既是自然数也是偶数D、0是正数与负数的分界

2、下列说法错误的是()

A.零是非负数B.零是整数C.零的相反数是零D.零的倒数是零

易错点3：有理数与小数、分数的区分

在把下列各数填入相应的大括号里:

-9,0,2000,+63,20%,-10.7,-2-,n,1.010010001•••

28

整数集合{}分数集合{}

正数集合{}负数集合{}

易错点4：画数轴的规范

92

画出数轴并表示出下列有理数：1.5,—2,2,—2.5,三，——,O.

23

易错点5：数轴上的数形转换

1、数轴上与表示1的点距离是3个单位长度的点可以表示的数是

2、数轴上表示-3的点A沿着数轴移动5个单位长度后到达点B,则点B表示的数为

易错点6：审题不过关，绝对值求错

已知|a|=2,|b|=3,且b<a,试求a+b的值。

易错点7：思维定势

①两个数的和一定大于其中的一个加数；②一个数减去另一个非零的数的差，一定比原来的数小;

③一个数放大2倍后一定比原来的数大；④数轴上一个点距离原点越远，说明这个点表示的数字就

越大。

下列说法错误的有

易错点8：有理数混合运算

7511

计算：①[30-(-+-----)x36]+(-5)；②

9612

③0*一寸_-(-)④

-14+心一星司x24+5

易错点9：科学计数法概念理解

1.2003年5月19日，国家邮政局特别发行万众一心，抗击“非典”邮票，其邮票发行为12050000

枚，用科学记数法表示正确的是

A1.205xl07B1.20x1仆C1.21xl07D1.205xl04

2、用科学计数法表示13040000,应记作

四、题组训练套卷

①知识点小练题组

知识点1:正数、负数的概念

例1:指出下列各数哪些是正数，哪些是负数。

15

-3,4,-0.5,0.86,0.8,8.7,0,-7,-冗

36

知识点2：相反意义的量

例2：下列不是具有相反意义的量是()

A.前进5米和后退5米B.节约3吨和消费10吨

C.身高增加2厘米和体重减少2千克1).超过5克和不足2克

知识点3：有理数的概念和分类

例3：把下列各数填入相应的大括号内:

一7,0.125,,-3,3,0,50%,一0.3,JT,+0.101001・•・

⑴整数集合｛);

(2)分数集合｛｝；

(3)负分数集合｛｝；

(4)非负数集合｛｝；

(5)有理数集合｛｝。

知识点4：数轴及画法

例4：画一条数轴，把下列数表示在数轴上，并用好连接起来:

+2,-3,0.5,0,一4.5,4,3

知识点5：相反数

例5：若a与a-2互为相反数，则a的相反数是.

知识点6：多重符号的化简

例6：化简下列各数：

(1)-(~9),(2)-(+9)；(3)+【-(-9)】；(4)-{-1-(+9)]}

知识点7：绝对值的定义与性质

例7：若凶=2,|乂=3,则的值为()

A.5B.-5C.5或1D.以上都不对

知识点8：有理数的大小比较

例8：若a=-2X32,b=(-2X3)2,c=-(2X4))则下列大小关系中正确的是()

A.a>b>0B.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

知识点9：倒数

例9：求下列各数的倒数

29

(1)-3；(2)--；(3)-2-；(4)0.5；

33

知识点10：黑的运算2

例10：计算(1)(-3)2；(2)-22；(3)(-1)刈‘；(4)

知识点11：有理数的混合运算5

例11：计算(1)(--)X(-4)2-0,25X(-5)X(-4)3；

8

(2)-14-(O.5-|)X[-2-(-3)3]

7

(3)0.25x(-2)3-4+(一一)2+1+(—1)5

L3J

知识点12：科学记数法

例12：用科学记数法表示2009000=。

知识点13：近似数与精确度

例13：用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是()

A.0.1(精确到0.1)B.0.05(精确到百分位)

C.0.05(精确到千分位)D.0.0502(精确到0.0001)

②章节题组套卷

有理数章节练习

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列说法正确的是（）

A.所有的整数都是正数B.不是正数的数一定是负数

C.0不是最小的有理数D.正有理数包括整数和分数

2.工的相反数的绝对值是（）

■----•~~•——•----〜

2b01a

A.-lB.2C.-2

24

3.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（）

A.a>bB.a<bC.ab>0D-r°

4.下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（）

A.收入200元与支出20元B.上升10米和下降7米

C.超过0.05mm与不足0.03mD.增大2岁与减少2升

5.如果一个数的平方等于它的倒数,那么这个数一定是（）

A.0B.1C.-lD.±1

6.4604608取近似值,保留三个有效数字,结果是（）

A.4.60X106B.4600000C.4.61X106D.4.605X106

7.(-0.125)2006X(-8)2°°7的值为()

A、-4B、4C、8D、-8

8.若0〈m〈l,m、m?、—的大小关系是（）

m

A.m<m2<—;B.m2<m<—;C.—<m<m2;D.—<m2<m

mmmm

9.已知\x\=2,|y|=3,且孙＜0,则尤+y的值等于（）

A、5B、1C、±5D、±1

10.观察下列算式：3'=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,•・・，通过观察，

用你所发现的规律确定32007的个位数字是（）

A、3B、9C、7D、1

二、填空题（每小题4分，共24分）

11.某地气温不稳定,开始是6℃,一会儿升高4℃,再过一会儿又下降这时气温是

12.一个数的相反数的倒数是-1-,这个数是.

3

13.数轴上到原点的距离是3个单位长度的点表示的数是.

14.平方等于的数是________,立方等于的数是_____________

6464

15.绝对值小于5的所有的整数的和.

16.若|x-1|+(y+2)2=0,贝x-y=.

三、解答题：(共18分)

17.计算题

(2)jx(-4)2-0.25x(-5)x(-4)3

18.已知a、b为相反数，c、d互为倒数，数轴上表示m的点到原点距离为8,求生a+〃一加的

四、解答题：(共21分)

19.在数轴上表示数：一2,22,-』,0,1」,一1.5.按从小到大的顺序用"<"连接起来.

22

20.把下列各数分别填入相应的集合里.

97

—,-3.14,2006-(+5),+1.88

(1)正数集合：｛...)；

(2)负数集合：｛...)；

(3)整数集合：｛...)；

(4)分数集合：｛...)

21.检修组乘汽车，沿公路检修线路,约定向东为正，向西为负,某天自A地出发，到收工时，行走记录为

(单位汗米):

+8、-9、+4、+7、-2、-10、+18、一3、+7、+5

回答下列问题：

(1)收工时在A地的哪边?距A地多少千米？

(2)若每千米耗油0.3升，问从A地出发到收工时，共耗油多少升?

五、解答题：(共27分)

22.某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等,

实际每日生产量与计划量相比情况如下表(增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数)

、-

星期一二三四五八B

增减-5+7-3+4+10-9-25

(1)本周三生产了多少辆摩托车？

(2)本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？

(3)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？

23.同学们都知道，|5一(-2)|表示5与一2之差的绝对值,实际上也可理解为5与一2两数在数轴上

所对的两点之间的距离。试探索：(1)求15—(-2)|=。

(2)找出所有符合条件的整数x,使得|x+51+1x-2|=7这样的整数是。

(3)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x-3|+|x—6|是否有最小值？如果有写出最小值如果没

有说明理由。

24.观察下列等式」一=1一L」一=，-!，」—=」—』，将以上三个等式两边分别相加得:

1x222x3233x434

(1)猜想并写出：-------

〃(77+1)

(2)直接写出下列各式的计算结果:

1111

①---------1------------1------------H+------

1x22x33x42006x2007

1111

1x22x33x4+

(3)探究并计算:

1

----------1------------1----------4-

2x44x66x82008x2010

五、可拓展和探究学习模块

①章节内特有专题

专题一：新定义型题

例1：用“☆”定义新运算：对于任意实数a、6,都有a☆房4+1.例如1翁4=42+1=17,那

么1^3=；当/"为任意有理数时，*(*2)=.

例2：定义一种新运算※，规定aXb=a+b-ab,则一2派3=

专题二：探究型题

例3：请观察下列算式，找出规律并填空

1_111111_11

T71一一屋273"2"3'3^4-34'4^5-45

(1)则第10个算式是-，

(2)第n个算式为=。

(3)根据以上规律解答下题：若有理数a.b满足+-3卜0,试求

—+-------------+-------------+...+--------------------的值。

ub(a+2)(/?+2)(a+4)(/?+4)(a+200&(b+2008

例4：观察下列各式，再回答问题:

13,124,13

一x—,1----=一x-,1-----=一

2232334244

(1)根据上述规律填空:

=.I---------=

1002------------------—’20082

(2)用你的发现计算:

专题三：规律型题

例5：用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律拼成若干个图案.

(1)第4个图案中有白色地面砖块；(2)第n个图案中有白色地面砖块.

第1个第2个第3个

例6：.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

(2)试用含有〃的式子表示这一规律；

(3)根据上面算式的规律，请计算：1+3+5+…+99。

专题四:

例7：阅读聿列但段镭户解答问题;⑤；

观察下面一列数：1,2,4,8,….我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的

比都等于2.一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列

数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.

(1)等比数列5,-15,45,…的第四项是.

(2)如果一列数a”a2,a3,a”…是等比数列，且公比为q,那么根据上述的规定，有：

凡a.见

==%-二%=二q.

“a24

所以a2二aq

2

a3=a2q=(a«)q=aiq,

ai=a3q=(aiq2)q=aiq3***

an=_______;(用&与q的代数式表示)

(3)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.

专题五：应用型题

例8：一只蚂蚁某点在一直线上来回爬行，若规定向右爬行的路程为正，爬行的各段路程(单位:

厘米)依次为：

+4,—3,+10,—9,—8,+12,—10

(1)计算说明蚂蚁最后能否回到出发点？

(2)蚂蚁离出发点最远是多少？(直接回答)

(3)在爬行过程中，如果每爬一厘米奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少芝麻粒？

(4)如果蚂蚁爬行的速度为每秒0.5厘米，蚂蚁共爬行了多长时间？

例9：英国股民吉姆上星期买进某公司月股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股的涨跌

情况(星期六、日股市休市)(单位：元)

星期一二三四五

每股涨跌+4+4.5-1-2.5-6

(1)星期三收盘时，每股是多少元？

(2)本周内每股最高价多少元？最低价是多少元？

(3)已知吉姆买进股票时付了1.5%的手续费，卖出时还需付成交额1.5%的手续费和的1%。交易税，

如果吉姆在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？

专题六：数形结合型题

例10：如图，己知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是-24,-10,10.

(1)填空：AB=,BC=；

(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和7

个单位长度的速度向右运动.试探索：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由.

(3)现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到

B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达C点时，点Q

就停止移动.设点P移动的时间为t秒，试用含t的代数式表示P、Q两点间的距离.

例］1：如图所示，已知数轴上点A表神勺数为6,3是数轴色一点，?AB=10,动昌P从点。出发,

以每秒6个单位长度的速度沿着数轴或i匀速运磊，设运机间为:t>0)秒J

(1)写出数轴上点B表示的数:当t=3时，OP=

(2)动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，点P,R同时出发，

问点R运动多少秒时追上点P.

(3)动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿着数轴向右迅速运动，若点P,R同时出发，

问点R运动多少秒时RP相距2个单位长度。

(4)若M为AP的中点，N为PB的中点.点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变

化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长.

BOA

—■--------•----------------------------------■-------

专题七：程序型题

例12：根据如图所示的程序计算，

若输入x的值为1,则输出y的值为

/输出F/

ab

例13：如果规定符号的意义是=求2*(-3)*4的值

a+b

5、小力在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入。，加*键，再输入得到运算

代b=d-6-&T—+(&/.

(1)求(一2)*,的值；

2

(2)小华在运用此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作"，你猜小华在输入数据时，可能

是出现了什么情况？为什么？

第二章《整式的加减》

一、知识点模块及对应小练

①基本知识结构体系

(一)、整式

1、单项式

定义：数或字母的乘积叫做做单项式。

注意：单独一个字母或数字也是单项式。

考点：单项式的系数(包括数字前面的性质符号)、次数。

有关单项式：1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或一1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或一1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

【例】在；，x+1,—2,—0.72xy,13x—1

中单项式的个数有（)

A.2个B.3C.4个D.5个

一当，0.72xy,故选择C

解析：由单项式的定义出发,符合几个数字或字母的乘积的有：一2,

【例】下列说法错误的是（）

A.一万六了的系数是一5B.数字0也是单项式

22

C.宗xy的系数是5D.一TTX是一次单项式

JO

解析：一的系数是一宗次数是3,故A正确

单独一个数字或字母也是单项式，故B正确

会rxy的系数是呈T,次数是2,故C错误

一TTX的系数是一1T,次数是1,故D正确

2、多项式

定义：几个单项式的和叫做多项式。

注意：多项式的项数、次数、最高次项、常数项

关于多项式：1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

【例】多项式1+2不一3犷的次数及最高次项的系数分别是（）

A.3,—3B.2,—3C.5,-3D.2,3

解析：判别一个多项式的次数，就看它的所以项中，次数最高的那一项，这个项的次数是多少，则

这个多项式的次数就是多少。题中多项式1+2灯一3xy的最高次项是一3方，故其次数为3,系数

为一3。

3、整式

定义：单项式和多项式统称整式。

关于整式：1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

（-）同类项

1、定义：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.几个常数（常数项）也是同类项。

2、条件：

(1)所含字母相同。

(2)相同字母的指数也相同。

如：2x?y3与2x3y2虽然字母相同，但相同字母的指数不相同，因此不是同类项。

3、分类(同类项包括三种情况)：

(1)只有系数不同的项

(2)完全相同的项

(3)所有常数项

【例】判断下列说法是否正确，正确的在括号内打“，错误的打“X”.

(l)3x与3RX是同类项()；

(2)2a6与一5a6是同类项()；

(3)3/了与一/<?是同类项()；

(4)5a^:与一2aNc是同类项()；

(5)与3,是同类项().

解析：(1)不是字母部分不同

(2)是同类项满足同类项的条件

(3)是同类项满足同类项的条件，只要运用乘法交换律即可

(4)不是字母部分不同

(5)是同类项常数项属于同类项

【例】指出下列多项式中的同类项：

(1)3%-2y+1+3y-2x-5；

1Q

(2)3%y-2xy+-xy--yx.

解：(l)3x与一2x,—2y与3%1与一5是同类项.

⑵y与一IT/,—2x/与是同类项.

【例】如果与-4系产是同类项，那么/=,n=

解析：是同类项那么字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以加=4,2〃=6,所以〃=3.

(三)、合并同类项

1、概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

2、法则：字母和字母的指数不变，系数相加减。

3、步骤：

(1)找同类项

(2)根据加法的交换律把同类项移到一起

(3)根据法则合并同类项.

4、注意事项：

(1)多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并

(2)若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零

如：Tab'+Bab』(―3+3)ab2=0Xab2=0;

(3)多项式中没有同类项的单独的一项，要记住照抄下来；

(4)最后的计算结果一般是按照某个字母的指数从大到小(降赛)或者从小到大(升赛)的顺序排列.

【例】标出多项式3fy—4x/—3+5*/+24+5中的同类项，并合并同类项.

解：原式=3x3—3+5x》+2x_/+5

=3xy+5xy-4H+2xy2+5—3

=(3+5)x'y+(―4+2)xy+(5—3)

=8xy-2xy+2.

(四)、去括号

1、依据：乘法分配律.

2、法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

3、注意事项：

(1)因数是+1或一1:+(x—3)与一(x—3)可以分别看作1与一1分别乘(x-3);

(2)去括号时括号里每一项的符号都要考虑，做到要变都变；要不变，则都不变；

(3)括号内原有几项去掉括号后仍有几项.

(4)易错点：

变前不变后，如：一(2x-1)=-2x—1

乘前不乘后，如：-2(3y—1)=-6y+1

法则：括号前面是正号，去掉括号不变号；括号前面是负号，去掉括号要变号。

(1)直接去括号

1、计算：—(2%2y—孙2)+3少,2

(2)合并后去括号

2、计算：-(1-2x+x~)+(1-2x+X?—3/)

(3)利用分配律去括号3、计算：一3(。2+1)-4(2/+4)+，(4一5)

_63

(4)从外向内去括号4、计算：一卜a/??—0。—2a%+3a/?2)]

【例】化简下列各式：

(l)8a+2b+(5a-b)；

(2)(5a—3b)—3(a2-2b).

解：(1)原式=8a+2b+5a-b

=8a+5a+2b—b

13a+b；

⑵原式=5a-3b-3a?+6b

———3a2+5a—3b+6b

=-3a2+5a+3b.

(五)、整式的加减

1、法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

2、步滕：先去括号(如果有括号)，再合并同类项.

去括号和合并同类项是整式的加减的基础.

3、注意事项：

当减去一个多项式时，一定要加括号，因为减去的是多项式这个整体.

例如：求多项式2x^—3x与X2~3X的差，是(2，-3x)—(f—3x)=x?而不是3x—3x=x?—6x.

【例】计算：⑴(x+y)—(2%—3y)；

⑵2（一一2为—3（2才+//）.

解：⑴原式=x+y—2x+3y

=x-2x+y+3y

=­x+4y；

（2）原式=2，-4。"一6才一34

=24一6才一46,一3万

=-4a2—7Z?2.

【例】一个多项式加上一53一4入一3等于一步一3必求这个多项式.

解：设这个多项式为A,

由题意得：

A=（-x—3x）一（—5x-4x-3）

=-J—3x+5f+4X+3

=4/+x+3.

答:这个多项式为4/+X+3.

（六）、多项式的升幕和降嘉排列

把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幕

排列（或降露排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升赛（或降森）排列.

【例】把多项式3^+5—21—4x按的降塞排列后，它的第三项为（）

A.-4B.4xC.-4xD.-2一

②数学思想方法

（一）、求整式的值中的整体思想的运用

1、“整体思想”就是将问题看成一个完整的整体，在解题的过程中，从整体上考虑，注重问题的整

体结构，突出问题的整体性的分析和变形，在整式的加减运算中，运用整体思想对某些问题进行整

体处理，常常能化繁为简，解决一些目前无法解决的问题.

2、方法：在整式的加减运算中，把一个式子看成一个数或字母，整体代入进行运算，如：x2-2x

=3,那么2（x2—2x）=2X3=6.在这个过程中把x2-2x当作一个整体，一个数，进行运算变形，

从而不必求x的值，就可求出2x2—4x的值.

【例】已知加一3〃=2,求式子3R—9c-'5的值.

解：3nl一9〃-5=3（勿一3/7）—5

当/»-3/2=2时

3777—9n—5

=3X2—5=1.

【例】己知式子Y—4x+l的值是3,求式子3f—12x—1的值.

解：：X2—4X+1=3

.,.x—4x=2

原式=3x?―12x—1=3（V—4x）—1

=3X2-1=5.

二、重难点例题

（一）、教材例题和课后练习题

1、60页的5,8,9；2、70页的9；3、71页的12；4、76页的12

(二)、章节内的典型例题

1、几个重要的代数式：(m、n表示整数)

(1)a与b的平方差是：a；~b；;a与b差的平方是：(a-b)”;

(2)若a、b、c是正整数，则两位整数是：10a+b，则三位整数是：lOOa+IOb+c;

(3)若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n;偶数是：2n,奇数是：2n+1;三个

连续整数是：n-1、n、n+1:

2、求多项式的值

a、方法步骤：

(1)化简：根据去括号、合并同类项法则进行整式加减运算，把整式化为最简(一般最后结果不含

括号、没有同类项).

(2)求值：代入运算，求出代数式的值.

b、注意事项:

(1)对于大多数式子一定要先化简再求值，这样可以简化计算过程.

(2)对于有些要用整体求法的，则要灵活运用.

【例】化简求值：^Ix,—xyz)—2^x—y+xyz)+(,xyz-2y'),其中x=l,y—2,z=-3.

解：原式=2*3—xyz—+2y—2xyz+xyz—2y=-2xyz.

当x=l,y—2,z=—3时，

原式=-2XlX2X(-3)=12.

3、整式加减题型归类

整式加减的实质虽然是去括号和合并同类项的综合应用，但有关的题型却丰富多彩，解法也不尽相

同，常见的题型有：

(一)求几个单项式的和

将几个单项式用加号连接，写成和的形式；然后去括号，再合并同类项.

(二)求几个多项式的和或差

求几个多项式的和或差，首先用小括号把每一个多项式括起来，并用加号或减号连接，然后按照去

括号、合并同类项的法则进行计算.必须注意：求两个多项式的差，后面的多项式是减式，一定要

加括号.

(三)求用字母表示的整式加减

求用字母表示的整式加减，有需要化简首先将其化简，然后再将字母表示的多项式整体代换列式，

再去括号、合并同类项.

(四)普通型：利用分配律的整式加减

在整式加减中，如果括号前面有乘数，那么首先利用分配律去括号，然后再合并同类项.必须注意：

(1)不能漏乘

(2)如果乘数前面是负号，去括号后原来的各项要全变号.

(五)含有多重括号的整式加减

整式加减算式中含有多重括号，一般是先去小括号，这时如果有同类项，那么应合并同类项，这样

可简化计算；然后再去中括号，最后去大括号.

【例】求单项式5步入2x",-2xy,-6x*的和.

解：原式=5fy+2x_/+(―2fy)+(―6犷)

=5/y+2xy—2xy■—6%y

=3/y—4XJA

【例】求4x2+3xy+2y2与5A>'+2)?的差.