专题04 平方根与立方根（解析版）

人教版七年级数学下册《第六章实数》复习专题训练专题训练四：平方根与立方根知识回顾★★算术平方根的知识回顾★★算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．★★平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．★★立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a类型一：算术平方根的定义及性质类型一：算术平方根的定义及性质◎【典例一】◎下列有关说法正确的是（）A．0.16的算术平方根是±0.4; B．（﹣6）2的算术平方根是﹣6; C．81的算术平方根是±9;D．4916的算术平方根是7【答案】D．【分析】根据算术平方根的定义求出每个数的算术平方根，再判断即可．【解答】解：A、0.16的算术平方根是0.4，故本选项错误；B、（﹣6）2的算术平方根是6，故本选项错误；C、81=9即81的算术平方根是3，故本选项错误；D、4916的算术平方根是7故选：D．■【变式1】一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（）A．a+1 B．a2+1 C．﹣a+1 D．【答案】B．【分析】根据乘方运算，可得被开方数，再根据开方运算，可得答案．【解答】解：一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是a2故选：B．■【变式2】已知|a|＝5，b2=7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12【答案】D．【分析】首先分别根据绝对值的和算术平方根的定义可求出a，b的值，然后把a，b的值代入|a+b|＝a+b中，最终确定a，b的值，然后求解．【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，∵b2=∴b＝±7，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：D．●●方法归纳●1.非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．2求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．类型二：平方根的定义及性质类型二：平方根的定义及性质◎【典例二】◎（2021秋•海口期末）（﹣6）2的平方根是（）A．﹣6 B．36 C．±6 D．±6【答案】C．【分析】首先根据平方的定义求出（﹣6）2的结果，然后利用平方根的定义即可解决问题．【解答】解：∵（﹣6）2＝36，∴±36=±6∴（﹣6）2的平方根是±6．故选：C．■【变式3】（2021秋•灌阳县期末）一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，则这个正数为（）A．7 B．10 C．﹣10 D．100【答案】D．【分析】利用平方根的定义得出a+3+4﹣2a＝0，求出a，进而求出答案．【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，∴a+3+4﹣2a＝0，解得：a＝7，则a+3＝10，4﹣2a＝﹣10，故这个正数是100．故选：D．■【变式4】（2022春•滑县月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．（1）求a、b的值；（2）求ab+5的平方根．【分析】（1）根据算术平方根、平方根的定义可得到2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，进而求出a、b的值；（2）将a、b的值代入ab+5求出其值，再利用平方根的定义求出结果即可．【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．∴2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，解得a＝5，b＝4；（2）当a＝5，b＝4时，ab+5＝25，而25的平方根为±25=±5即ab+5的平方根是±5．●方法归纳●方法归纳●1.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“-a”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a2.平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．类型三：立方根的定义及性质类型三：立方根的定义及性质◎【典例三】◎（2021•铜仁市校级模拟）计算3-A．±33 B．33 C．±3 D【答案】D．【分析】3-27代表﹣【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴3-故选：D．■【变式5】（2021秋•炎陵县期末）已知：y的立方根是2，2x﹣y是16的算术平方根，求：（1）x、y的值；（2）x2+y2的平方根．【分析】（1）根据立方根、算术平方根的定义求出x、y的值；（2）根据x、y的值求出x2+y2的值，最后求其算术平方根；【解答】解：（1）由于y的立方根是2，2x﹣y是16的算术平方根，所以有y＝23＝8，2x﹣y＝4，解得x＝6，y＝8，（2）当x＝6，y＝8，x2+y2＝100，所以x2+y2的平方根为±100=±10■【变式6】若a2＝16，3-b=-2，则aA．12 B．12或4 C．12或±4 D．﹣12或4【答案】B．【分析】根据a2＝16，3-b=-2，可得：a＝±16，﹣b＝（﹣2）3，据此分别求出a、b的值各是多少，再把它们相加，求出a【解答】解：∵a2＝16，3-b∴a＝±16=±4，﹣b＝（﹣2）3＝﹣8∴a＝±4，b＝8，∴a+b＝4+8＝12或a+b＝﹣4+8＝4．故选：B．●●方法归纳●1.求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．类型四：运用类型四：运用的双重非负性解题◎【典例四】◎若a2-1+（b﹣3）2+|c﹣2|＝0，求（a﹣b+【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，a2﹣1＝0，b﹣3＝0，c﹣2＝0，解得a＝±1，b＝3，c＝2，当a＝﹣1，b＝3，c＝2时，原式＝（﹣1﹣3+2）3＝﹣8；当a＝1，b＝3，c＝2时，原式＝（1﹣3+2）3＝0．■【变式7】已知x+1与y-2互为相反数，求（x﹣y【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后求出（x﹣y）2的值，再根据平方根的定义解答．【解答】解：∵x+1与y∴x+1+∴x+1＝0，y﹣2＝0，解得x＝﹣1，y＝2，所以，（x﹣y）2＝（﹣1﹣2）2＝9，所以，（x﹣y）2的平方根是±3．■【变式8】已知a，b为实数，且1+a-(b-1)1-【分析】由已知条件得到1+a+（1﹣b）1-b=0，利用二次根式有意义的条件得到1﹣b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，然后根据乘方的意义计算a2020【解答】解：∵1+a∴1+a+（1﹣b）1-∵1﹣b≥0，1+a≥0，∴1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，∴a2020﹣b2021＝（﹣1）2020﹣12021＝1﹣1＝0．●●方法归纳●非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有双重非负性，被开方数a是非负数，也具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．复复习专题突破练基础练基础练1．（2021秋•滨江区期末）已知某数的一个平方根为6，则该数是，它的另一个平方根是．【答案】6，-6【分析】根据平方根的平方等于被开方数，可得答案，根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案．【解答】解：某数的一个平方根是6，那么这个数是6，它的另一个平方根是-6故答案为：6，-62．（2021•威海模拟）81的算术平方根是（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．9【答案】B．【分析】首先根据算术平方根的含义和求法，求出81的值是9；然后求出9的算术平方根即可．【解答】解：∵81=9∴81的算术平方根是：9=3故选：B．3．下列各式中，计算正确的是（）A．±16=4 B．16=±4 C．-16=-4 D【答案】C．【分析】依据平方根和算术平方根的定义和性质求解即可．【解答】解：A、±16=±4B、16=4C、-16=-D、±16=±4故选：C．4．（2022春•滑县月考）下列说法不正确的是（）A．4是16的算术平方根 B．53是259C．（﹣6）2的平方根﹣6 D．（﹣3）2的平方根是±3【答案】C．【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．【解答】解：A．4是16的算术平方根，是正确的，因此选项A不符合题意；B．由于259的平方根是±53，因此53是25C．（﹣6）2＝36，而36的平方根是±6，因此选项C是错误的，所以选项C符合题意；D．（﹣3）2＝9，而9的平方根是±3，因此选项D是正确的，所以选项D不符合题意；故选：C．5．已知，2=1.414，20=A．0.2=0.1414B．200=14.14 C．0.2=0.04472D【答案】B．【分析】由2变为200，小数点向右边移动了2位，得到结果向左移动1位，即可得到近似结果．【解答】解：∵2=1.414∴200=14.14故选：B．6．（2021秋•海阳市期末）若x+3是9的一个平方根，则x的值为.【答案】0或﹣6．【分析】依据平方根的定义得到x+3＝3或x+3＝﹣3，从而可求得x的值．【解答】解：∵x+3是9的一个平方根，∴x+3＝3或x+3＝﹣3，解得：x＝0或x＝﹣6．故选：0或﹣6．7．（2021春•天心区期中）已知a-b+4+A．0 B．1 C．4 D．﹣4【答案】C．【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵a-∴a-解得：a∴a2的值为：22＝4．故选：C．8．（2021秋•淮安期末）求下列各式中的x．（1）4x2﹣25＝0；（2）（x+3）2＝16；（3）（x﹣1）3＝27．（4）2(x【分析】（1）利用平方根的概念解方程；（2）利用平方根的概念解方程；（3）利用立方根的概念解方程．【解答】解：（1）（1）4x2﹣25＝0，∴x2=254，∴x（2）（x+3）2＝16，x+3＝±4，x＝﹣3±4，x＝1或x＝﹣7；（3）（x﹣1）3＝27，x﹣1＝3，x＝4．（4）等式两边都除以2得：（x﹣1）3=278，∴x﹣1=32提升练提升练9．（2021•翔安区模拟）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是x2（x＞0）和4，那么阴影部分的面积为（）A．2x+4 B．2x﹣4 C．x2﹣4 D．2x﹣2【答案】B．【分析】根据两正方形面积，利用算术平方根定义求出各自的边长，表示出阴影部分面积即可．【解答】∵两个相邻的正方形，面积分别是x2（x＞0）和4，∴它们的边长分别为x和2，∴阴影部分是一个长为2，宽为（x﹣2）的矩形，∴阴影部分的面积为2（x﹣2）＝2x﹣4，故选：B．10．（2021春•饶平县校级月考）若2m﹣4与3m﹣11是同一个数的平方根，则m的值是（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或﹣1 D．3或7【答案】D．【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．【解答】解：由题意知，2m﹣4+3m﹣11＝0或2m﹣4＝3m﹣11，解得m＝3或m＝7．故选：D．11．有一个数值转换器，原理如图，当输入的x为64时，输出的y是（）A．2 B．8 C．8 D．18【答案】C．【分析】利用数值转换器中的程序，算术平方根的意义和无理数的意义解答即可．【解答】解：∵64的算术平方根为8，8为有理数，∴依据程序，8要再次输入运算．∵8的算术平方根为8，8为无理数，∴依据程序，8输出．∴输出的y=8故选：C．12．（2021秋•文山市期末）已知：2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，求320【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出a，b的值，代入求值即可．【解答】解：∵2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，∴2a+1＝32＝9，3a﹣b﹣1＝23＝8，∴a＝4，b＝3，∴原式=320×3+413．（2021春•越秀区校级期中）如图，有一个面积为400cm2的正方形．（1）正方形的边长是多少？（2）若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明．【分析】（1）根据正方形的面积等于边长乘以边长．利用算术平方根的意义进行计算．（2）先求出长方形的边长，再判断即可．【解答】解：（1）∵正方形的面积为400cm2，∴正方形的边长是400=20（cm（2）设长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm，则5x•4x＝360，解得：x＝32，则5x＝152＞20所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2．培优练培优练14．观察例题：∵4＜7∴7的整数部分为2，小数部分为7-请你观察上述规律后解决下面的问题：（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分例如：[2