初二奥数教材生活中的数学(二)

生活中的数学（四）

在平面几何中，我们已经知道以下定理.

定理1相似形周长的比等于相似比.

定理2相似形面积的比等于相似比的平方.

例1已知：△ABCS^A'B1C,并且AB=2c,BC=2a,AC=2b,A'

B'=3c,B'C=3a,A'C=3b.求证：AABCB'C周长的

比是2:3（图2-172）.

图2-172

证4ABC的周长是

2a+2b+2c=2(a+b+c),

△A'B'C‘的周长是

3a+3b+3c=3(a+b+c),

所以AABC和AA'B1C的周长的比是

2(a+b+c):3(a+b+c)=2:3.

A

D，

图2-173

例2图2-173是两个相似矩形，如果它们的相似比是3：4,求证:

它们面积的比是32：42.

证矩形ABCD的面积是3a•3b=3?ab,矩形A'B'CD‘的面积是

4a-4b=42ab,所以矩形ABCD和矩形A，B'CD’的面积之比是

32ab：42ab=32：42.

从定理1和定理2,我们自然会想到：相似的两个立体的体积之比与

它们的相似比有什么关系呢？为此，我们看下面的例子.

例3图2-174是两个相似的长方体，它们的相似比为3：5,求它们

的体积之比.

解长方体(a)的体积是

3a,3b•3c=33abc,

长方体(b)的体积是

5a,5b•5c=53abc,

所以长方体(a)与长方体⑹的体积的比是

33abe:53abe=3,I53

例4图2-175是两个相似圆柱，它们的相似比为2：3,求它们的体

积之比.

图2-175

解小圆柱的体积是

(2a)2n-2b=23a2bJi,大圆柱的体积是

(3a)2n•3b=33a2bJi,所以小圆柱与大圆柱的体积之比为2,：33.

定理3相似形的体积之比，等于它的相似比的立方.

有了上面的知识，我们回到本题，是买小鱼便宜呢？还是买大鱼便宜

呢？我们假定同一种鱼的体形是相似形，对于鱼A和鱼B来说，A与B的

相似比为13：10,因此，根据定理3,A与B的体积之比为

133_2197

IO1—1000

由于A鱼的价格是1.5元，B鱼的价格是1元，所以价格比是1.5：

1=1.5,我们可以看到，A的体积是B的体积的2.197倍，可是A的价格

却是B的价格的1.5倍，所以买大鱼A比买小鱼B更合算.

下面我们进一步考虑一下鱼的高度和体积的关系，为此，我们先规定

标准：设M鱼高1厘米时，体积是2厘米，，那么N鱼高是x厘米时，体

积是y厘米3.由于M和N是相似形，所以由相似形体积之比与相似

比的关系可知：=所以y=2x3

根据上式，当x的值变化时，y的值相应地跟着变化，于是，我们就

得到表30.1.

表30.1

X/厘米00.511.522.533.54•••

00.12513.375815.6252747.87564.・・

W厘米300.2526.751631.255485.75128.・・

从表中可以看到：当x=l时，x3=l,y=2x3=2.这就是M鱼的身高与体

积的关系.

当x的长度由1厘米增长到2厘米，即增长2倍时，其体积y相应地

由2厘米3增长到16厘米3,即增长了8⑵）倍.

当x的长度由1厘米增长到3厘米，即增长3倍时，其体积y相应地

由2厘米3增长到54厘米3,即增长了27⑶倍.

一般地，当x增长n倍时，则体积y相应地增长if倍.

根据上表中的x和y的对应数值，可以画出y=2x，的图像（图2-176）.

例5利用y=2x，的图像（图2-176）,解答下列问题:

⑴当x=2.75时，y的值是多少？

⑵当y=10时，x的值是多少？

解(1)在X轴上，对应于x=2.75取一个点，通过这一点作y轴平行

线交y=2x3的图像上的某一点，过这一点再作x轴的平行线交y轴于一点，

这一点对应的数值是40,这样，就在y轴上得到了x=2.75时对应的y值,

即y=40.这就说明，当鱼N的高度为2.75厘米时，它的体积约为40厘

米二

(2)在y轴上对应于y=10取一点，过此点作x轴的平行线，交y=2x，

的图像于某点，再过这点作y轴的平行线，在x轴上得到了y=10对应的

x值1.75.这说明当N的体积为10厘米,时，高度约为1.75厘米.

上面我们研究了鱼的身高和体积的图像，下面我们进一步考虑鱼的身

高和价格的关系.为此，引用前面的条件，设鱼B的身高为10厘米，价

格是每斤1元，其体积假定为50厘米3.由于鱼是相似的，在买鱼的时候,

考虑到价格的便宜，假设鱼的价格和体积成正比例，那么鱼的身高和价格

之间有着怎样的关系呢？为此，设鱼C的身高为x厘米，体积是y厘米3,

价格是z元,那么我们列出表30.2.

表30.2

身高/厘米体积/厘米3价格/分

鱼_____

1050100

cXyZ

首先，由于“鱼的体积与其身高的三次方成正比例”，所

y=ax3,①

考虑到鱼B的身高和体积，即x=10时，y=50,代入①式，就有50=a

X103,所以a=0.05.于是①式就成为

y=0.05x3①'

其次，根据“鱼的价格和体积成正比例”的假定，对于鱼C则有

z=by,②

由于②式对于鱼B也是成立的，即y=50时，z=100,代入②式，有

100=bX50,所以b=2,这样②式就成为

z=2y.②，

再把①'代入②’，就得到

z=2X0.05x3,

所以z=0.lx3③

这就是鱼的身高和价格的关系表达式.利用③式就可以计算下面的问

题.

例6设鱼的身高为13厘米，它的价格每斤是多少元？

解把x=13代入③式，

z=0.1X133=O.1X2197=219.7

=220（分）=2.2（元）.

即每斤约二元二角.

如果把③式中x和z的关系用数值来表示，就有表30.3.

表30L3

x/cm011015202530・・・

3

x^/cm011000337580001562527000・・・

z/分00.1100337.58001562.52700・・・

这个表中，以x=10时，z=100作标准，联系到前面表中的结果，可

以看出：

（1）鱼的身高增到1.5倍，价格便增到3.375倍（1.5,倍）；

（2）鱼的身高增到2倍，价格便增到8倍⑵倍）；

（3）鱼的身高增到2.5倍，价格便增到15.625倍⑵5,倍）；

（4）鱼的身高增到3倍，价格便增到27倍⑶倍）.

一般地，鱼的身高增到n倍，其价格便增到n，倍，根据表中x和z

的对应数值，画出z=0.lx，的图像，就得到图2-177.

练习三十

1.根据图2-177回答：

(1)鱼的身高为20厘米时，它的每斤的价格是多少元？

(2)鱼的价格是每斤4元时，其身高是多少厘米？

2.两张照片是同一张底片拍出的.如果两张照片对应边长的比是1：

2,并且第一