安徽省宿州市省市示范高中2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题

宿州市省、市示范高中2023—2024学年度第一学期期末教学质量检测高一数学试卷（人教版）一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将集合化简，再由并集的运算，即可得到结果.【详解】因为，令，解得，则，且，则.故选：A2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式求出答案.【详解】.故选：C3.“角是第三象限角”是“”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可.【详解】当角是第三象限角时，，，于是，所以充分性成立；当，即时，角是第二或第三象限角，所以必要性不成立，故选：A．4.已知，，则xy的最大值为（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，得，再根据基本不等式可求出结果.【详解】由，得，得，即，因为，所以，当且仅当，时，等号成立，所以，即xy的最大值为.故选：A5.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合指数函数以及对数函数的单调性，即可求解.【详解】因函数在上单调递增，则，即，又，即，所以.故选：C6.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象，利用“五点法”求解即可.【详解】由图知，，，∴，又，，∴函数的解析式为．故选：D7.已知是奇函数，当x≥0时，（其中e为自然对数的底数），则（）A.3 B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的性质即可求解.【详解】由是奇函数得，又时，，所以.故选：D8.黎曼函数由德国著名数学家黎曼（Riemann）发现提出黎曼函数定义在上，其解析式为：当为真约数且时，当或上的无理数时，若函数是定义在R上的偶函数，且，，当时，，则：（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知可推得偶函数周期为4，利用偶函数性质、周期性求目标函数值.【详解】由题意，则，所以偶函数的周期为4，，，所以.故选：B二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用诱导公式（一）到（六）依次转化角，逐步化简即得.【详解】对于A项，，故A项正确；对于B项，，故B项错误；对于C项，，故C项正确；对于D项，，故D项错误.故选：AC.10.下列叙述正确的是（）A.若幂函数的图象经过点，则该函数在上单调递减B.命题“，”的否定是“，”C.函数的单调递增区间为D.函数与函数互为反函数【答案】ABD【解析】【分析】对于A,依题求出函数解析式，再判断即得；对于B，根据全称量词命题的否定要求即得；对于C，根据复合函数的单调性判断“同增异减”原则即可求得递增区间；对于D，按照互为反函数的两函数之间的关系分析即得.【详解】对于A项，设依题意，，解得：，则因，故函数在上单调递减，即A项正确；对于B项，否定量词和结论即得命题“，”的否定是“，”，即B项正确；对于C项，设，由解得：或，因在定义域内为增函数，且在上递减，在上递增，根据同增异减原则知，函数的单调递增区间为，即C项错误；对于D项，因的定义域为R，值域为，由可得：，交换即得：，即，其定义域为，值域为R.即D项正确.故选：ABD.11.已知函数，则下列关于函数的图象与性质的叙述中，正确的有（）A.函数的最小正周期为B.函数在上单调递增C.函数的图象关于直线对称D.【答案】ABC【解析】【分析】根据正切函数的性质画出图象，即可判断A、B、C的正误，由正切函数及诱导公式求判断D.【详解】函数的大致图象，如下图示，由上图象，易知：最小正周期为、上单调递增、图象关于直线对称，故A，B，C正确，又，所以，故D错误．故选：ABC.12.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（）A.B.C.不等式的解集为或D.的最小值为6【答案】BCD【解析】【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分析可得a的正负，即可判断A的正误；根据二次函数性质，可判断B的正误；根据根与系数的关系，可得且，代入所求，化简计算，即可判断C的正误；将代入，根据基本不等式，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】A选项，依题可得函数开口向下与轴交点横坐标为2，3，故A错误；B选项，依题可得时，函数值小于0，即，故B正确；C选项，因为开口向下与轴交点横坐标为2，3，所以，即，且，所以不等式可化为，即，解集为或，故C正确；D选项，，当且仅当时，即时取等，故D正确.故选：BCD.三、填空题:（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.________．【答案】2【解析】【分析】利用对数的运算性质和分数指数幂的运算性质计算即得.【详解】.故答案：2.14.已知，，则的值为______．【答案】##【解析】【分析】利用半角公式结合已知条件求解.【详解】因为，所以，因为，所以，故答案为：.15.如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是__________.【答案】##【解析】【分析】由大扇形面积减去小扇形面积即可得．【详解】，由题意可得，扇形的面积是，扇形的面积是.则扇面（曲边四边形）的面积是.故答案为：．16.已知函数有且仅有3个零点，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据函数图像及零点的定义可得结果.【详解】当时没有零点，所以依题意有且仅有3个零点，又时，所以，即，故；当时有1个零点，所以依题意有且仅有2个零点，所以，即，故答案为：.四、解答题：（本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）已知，求的值.（2）已知角的终边过点，，，求的值．【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）化简已知式，求得的值，将利用弦的齐次式化弦为切代入即得；（2）由条件分别求出的值，再代入两角和的余弦公式计算即得.【详解】（1）由可得：；（2）角的终边过点，则．由，可知：则.18.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；（2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即得.【小问1详解】因为，令，解得，则的单调递增区间是；【小问2详解】因为，将的图象向右平移个单位长度，可得．因为，所以，所以，则，即在区间内的值域为．19.已知函数是定义在R上的奇函数，其图象经过点．（1）求实数，的值并指出的单调性（不必证明）；（2）求不等式的解集．【答案】（1），在上单调递减（2）【解析】【分析】（1）根据R上奇函数的性质得，再由，列出方程组，求得，再利用函数的单调性定义证明函数单调性即得；（2）观察易得，代入不等式，利用奇函数性质将其化成，最后利用函数单调性化为一元二次不等式，解之即得.，【小问1详解】是R上的奇函数，，即，又解得.故，易得在R上单调递减，证明如下.任取，由，因，则，而，则，故在R上单调递减.【小问2详解】易得：，不等式可化为，是R上的奇函数，又在R上单调递减，，即，解得或故原不等式的解集为.20.国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：该函数模型如下，.根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计）（参考数据：）【答案】（1）喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；（2）喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车【解析】【分析】（1）由图可知，当函数取得最大值时，，此时时，取得最大值，即可求得.（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，解不等式，两边取对数，即可求出..【详解】（1）由图可知，当函数取得最大值时，.此时.当时，即时，函数取得最大值为，故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，由，得，两边取自然对数得，即，∴，故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.【点睛】本题考查函数模型应用和分段函数，考查分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．21.已知函数且的图象过点.（1）求的值及的定义域；（2）求在上的最大值；（3）若，比较与的大小.【答案】（1），定义域为；（2）最大值是，（3）．【解析】【分析】（1）由求得，由对数函数的定义得定义域；（2）函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最大值；（3）指数式改写为对数式，然后比较的大小，并由已知得出的范围，在此范围内由的单调性得大小关系．【小问1详解】由已知，，，定义域为；小问2详解】，，，则，所以，时取等号，最大值为；【小问3详解】，，，，，，所以，，则，，∵，所以，，即，，，所以，，∵在上是增函数，又在时是减函数，∴在上是减函数，∴．22.已知函数。（1）若为偶函数，求函数的定义域；（2）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得出的值，然后解出的解，即