高数例题课件第八章空间解析几何与向量代数

高数例题课件第八章空间解析几何与向量代数（二）自由向量：与起点无关的向量。

对于自由向量，如果两个向量的大小相等，且方向相同，我们就说向量是相等的，记做经过平行移动后能完全重合的向量是相等的。第2页,共133页，2024年2月25日，星期天（三）向量的模：向量的大小叫做向量的模。向量的模依次记作

模等于1的向量叫做单位向量，模等于0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的。第3页,共133页，2024年2月25日，星期天（四）两相量的夹角、向量与一轴的夹角，空间两轴的夹角。①两向量的夹角设有两个非零向量，任取空间一点O，作，规定不超过称为向量的夹角，记作即。若向量中有一个是零向量，规定它们的夹角可在之间任意取值，包括第4页,共133页，2024年2月25日，星期天②向量与一轴、空间两轴的夹角

过空间一点O，作向量,作轴的平行线，则与轴的正向所夹的不超过的角叫做向量与一轴的夹角。第5页,共133页，2024年2月25日，星期天（五）向量平行两个非零向量如果它们的方向相同或者相反，就称这两个向量平行，记做

，由于零向量的方向可以看作是任意的，因此可以认为零向量与任何向量都平行。第6页,共133页，2024年2月25日，星期天（六）两向量共线：当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上，因此，两向量平行又称两向量共线。第7页,共133页，2024年2月25日，星期天（七）向量共面：设有个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果个终点和公共起点在一个平面上，就称这个向量共面。（八）负向量：设为一个向量，与的模相同而方向相反的向量叫做的负向量，记做第8页,共133页，2024年2月25日，星期天二、向量的线性运算（一）向量的加法1、向量加法的规定（1）三角形法则：设有两个向量，任取一点A,作

,再以B为起点，作，连接AC，那么向量称为向量的和，记做，即。第9页,共133页，2024年2月25日，星期天（2）平行四边形法则

当向量不平行时，作，以AB、AD为边作一平行四边形ABCD，连接对角线AC，则即为的和。第10页,共133页，2024年2月25日，星期天例1．已知的夹角为，求第11页,共133页，2024年2月25日，星期天2.加法的运算律(1).交换律：(2).结合律：第12页,共133页，2024年2月25日，星期天3.n个向量相加

使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继做向量，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点做一向量，即为这n个向量的和第13页,共133页，2024年2月25日，星期天(二)向量的减法规定：第14页,共133页，2024年2月25日，星期天（三）向量与数的乘法1、向量与数的乘法的规定向量与实数的乘积记做，规定向量是一个向量，它的模它的方向，当的方向相同，当的方向相反。

第15页,共133页，2024年2月25日，星期天

特别地，当，即是零向量，这时它的方向可以是任意的；第16页,共133页，2024年2月25日，星期天2、运算律（1）结合律（2）分配律第17页,共133页，2024年2月25日，星期天例2．在平行四边形中，设，试用表示向量

。第18页,共133页，2024年2月25日，星期天（四）两向量平行定理定理1：设向量，那么，向量的充分必要条件是：存在唯一的实数，使。第19页,共133页，2024年2月25日，星期天三、空间直角坐标系（一）空间点的直角坐标1、在空间取定一点和三个两两互相垂直的单位向量就确定了三条都以为原点的两两垂直的数轴，依次记为统称为坐标轴。它们构成一个空间直角坐标系，称为坐标系或坐标系，

第20页,共133页，2024年2月25日，星期天2、坐标面三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面称为坐标面，分别叫做xoy面、yoz面、zox面。3、卦限三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。第21页,共133页，2024年2月25日，星期天4.向量的坐标分解式其中称为向量沿三个坐标轴方向的分向量，有序数称为向量的坐标，有序数也称为点M的坐标第22页,共133页，2024年2月25日，星期天四、利用坐标做向量的线性运算

1.设

则第23页,共133页，2024年2月25日，星期天2.两向量平行的充要条件设则∥其中第24页,共133页，2024年2月25日，星期天例3．求解以向量为未知元的线性方程组其中

第25页,共133页，2024年2月25日，星期天例4．已知两点以及实数，在直线上求点,使。

第26页,共133页，2024年2月25日，星期天五、向量的模、方向角、投影1、向量的模与两点间的距离公式设则另设点AB则点A与点B的距离为第27页,共133页，2024年2月25日，星期天例7．求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。第28页,共133页，2024年2月25日，星期天例8．在轴上求与两点等距离的点。第29页,共133页，2024年2月25日，星期天例9．已知两点

求与方向相同的单位向量。第30页,共133页，2024年2月25日，星期天2、方向角与方向余弦（1）非零向量的方向角，方向余弦:

非零向量与三条坐标轴的夹角称为非零向量的方向角。把方向角的余弦叫做向量的方向余弦。第31页,共133页，2024年2月25日，星期天（2）关系式设为向量的方向角，则有①②其中是与同方向的单位向量第32页,共133页，2024年2月25日，星期天例10．设已知两点计算向量的模，方向余弦和方向角。第33页,共133页，2024年2月25日，星期天例12．设点位于第卦限，向径与轴、轴夹角依次为，且，求点的坐标。第34页,共133页，2024年2月25日，星期天3.向量在轴上的投影（1）空间一点及向量在轴上的投影①点的投影设已知空间一点M以及一轴，通过作轴的垂直平面，那么平面与轴的交点叫做点在轴上的投影。第35页,共133页，2024年2月25日，星期天②向量在轴上的投影一般地，设点及单位向量确定轴，任给向量再过点作与轴垂直的平面交轴于点则向量称为向量在轴上的分向量，设则数称为向量在轴上的投影，记作

第36页,共133页，2024年2月25日，星期天（2）向量的投影的性质性质1：性质2：性质3：第37页,共133页，2024年2月25日，星期天例14．设立方体一条对角线为一条棱为，且，求方向上的投影。第38页,共133页，2024年2月25日，星期天§7-2数量积向量积混合积一、两向量的数量积（一）数量积的定义对两个向量做这样的运算，运算的结果是一个数，它等于及它们的夹角的余弦的乘积，把它叫做向量的数量积，记为

第39页,共133页，2024年2月25日，星期天（二）数量积的性质1.2.3.若则从而有第40页,共133页，2024年2月25日，星期天4.若则从而有第41页,共133页，2024年2月25日，星期天（三）数量积的运算规律1、交换律：2、分配律：3、结合律：为常数

第42页,共133页，2024年2月25日，星期天例1．试用向量证明三角形的

余弦定理。第43页,共133页，2024年2月25日，星期天（四）两向量数量积的坐标表示式设则（五）两向量互相垂直的充要条件第44页,共133页，2024年2月25日，星期天（五）两向量夹角余弦的坐标表示设

为向量的夹角，则第45页,共133页，2024年2月25日，星期天例2．在坐标面上，求出与向量垂直的单位向量。第46页,共133页，2024年2月25日，星期天例3．设质量为100kg的物体从点沿直线移动到点

，计算重力所作的功（长度单位m）第47页,共133页，2024年2月25日，星期天例4．已知三点，求。第48页,共133页，2024年2月25日，星期天二、两向量的向量积（一）向量的向量积（定义）由下列三个条件所确定的向量，叫做向量的向量积，记作：1、的模，其中之间的夹角。第49页,共133页，2024年2月25日，星期天2、向量垂直于所确定的平面3、向量的方向满足右手规则即当右手的四个手指从以不超过的角转向握拳时，大拇指的指向就是的方向。第50页,共133页，2024年2月25日，星期天（二）向量积的几何意义两向量的向量积的模等于以为边构成的平行四边形的面积，等于以为边组成的三角形面积的二倍。第51页,共133页，2024年2月25日，星期天（三）向量积的性质1.2.∥第52页,共133页，2024年2月25日，星期天（四）向量积的运算律1、（不满足交换律）2、数乘结合律3、分配律：第53页,共133页，2024年2月25日，星期天（五）向量积的坐标表示设则第54页,共133页，2024年2月25日，星期天例5．设，

计算。第55页,共133页，2024年2月25日，星期天例6．已知的顶点分别为求三角形的面积。第56页,共133页，2024年2月25日，星期天三、向量的混合积（一）定义：设已知三个向量如果先作向量的向量积，把所得到的向量与第三个向量，再作数量积，这样得到的数量叫做三向量混合积，记作第57页,共133页，2024年2月25日，星期天（二）混合积的坐标表示则第58页,共133页，2024年2月25日，星期天（三）向量的混合积的几何意义向量的混合积的是一个数，它的绝对值表示以向量为棱的平行六面体的体积，如果组成右手系（即的指向按右手规则从来确定），那么混合积的符号是正的，如果组成左手系（即的指向按左手规则从来确定），那么混合积的符号是负的。第59页,共133页，2024年2月25日，星期天（四）混合积的其它性质1、2、三向量共面的充要条件是第60页,共133页，2024年2月25日，星期天§7-3曲面及其方程一、曲面方程的概念（一）定义：如果曲面与三元方程，有下述关系（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程。第61页,共133页，2024年2月25日，星期天（2）坐标满足方程的点都在曲面上，（或不在曲面S上的点的坐标都不满足方程）那么方程就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形。第62页,共133页，2024年2月25日，星期天

例1．建立球心在点

半径为R的球面方程。第63页,共133页，2024年2月25日，星期天例2．设点和，求线段的垂直平分面的方程。第64页,共133页，2024年2月25日，星期天例3．方程表示怎样的曲面。第65页,共133页，2024年2月25日，星期天二、旋转曲面方程的求法（一）定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线，旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条直线叫做旋转曲线的的轴。旋转曲线叫做旋转曲面的母线·第66页,共133页，2024年2月25日，星期天（二）旋转曲面方程的规律性1、在oyz平面上的曲线绕轴旋转所成的旋转曲面方程为，在方程中以以而得到的方程，即为旋转曲面方程。绕Z轴旋转所成的旋转曲面方程为，第67页,共133页，2024年2月25日，星期天在方程中，以，以，而得到旋转曲面的方程2、在oxz平面,oxy平面上的曲线绕坐标轴旋转也有相同的规律性。第68页,共133页，2024年2月25日，星期天（三）圆锥面：直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得的旋转曲面叫做圆锥面，两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角叫做圆锥面的半顶角。第69页,共133页，2024年2月25日，星期天例4．试建立顶点在坐标原点O旋转轴为Z轴，半顶角为的圆锥面的方程。第70页,共133页，2024年2月25日，星期天例5．将xoz坐标面上的双曲线分别绕轴和Z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。第71页,共133页，2024年2月25日，星期天三、柱面例6．方程表示怎样的曲面？第72页,共133页，2024年2月25日，星期天（二）柱面、准线、母线的定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。（三）柱面方程的特点

1.对于一个柱面来说，当柱面的母线平行于坐标轴时，柱面的方程不含对应的坐标，反之，一个不包含某个坐标的方程表示母线平行于对应坐标轴的柱面。第73页,共133页，2024年2月25日，星期天2.只含而缺的方程在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面，其准线是面上的曲线第74页,共133页，2024年2月25日，星期天例7．画出方程所表示的曲面第75页,共133页，2024年2月25日，星期天例8．说明下列旋转曲面是怎样形成的？

第76页,共133页，2024年2月25日，星期天四、二次曲面（1）椭圆锥面第77页,共133页，2024年2月25日，星期天平面与曲面的交线称为截痕，通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法第78页,共133页，2024年2月25日，星期天（2）椭球面第79页,共133页，2024年2月25日，星期天（3）单叶双曲面第80页,共133页，2024年2月25日，星期天（4）双叶双曲面第81页,共133页，2024年2月25日，星期天（5）椭圆抛物面

第82页,共133页，2024年2月25日，星期天（6）双曲抛物面第83页,共133页，2024年2月25日，星期天（7）还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面

依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。第84页,共133页，2024年2月25日，星期天§7-4空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程（一）定义：同时属于两个曲面的点的轨迹叫做空间曲线，空间曲线是两个曲面的交线。第85页,共133页，2024年2月25日，星期天（二）空间曲线的一般方程是两个已知曲面的方程，坐标满足方程组：的点的轨迹是一条空间曲线，我们把方程组（1）叫做空间曲线的一般方程。第86页,共133页，2024年2月25日，星期天例1．方程组

表示怎样的曲线。第87页,共133页，2024年2月25日，星期天例2．方程组表示怎样的曲线。第88页,共133页，2024年2月25日，星期天二、空间曲线的参数方程（一）定义：如果把曲线C看作是动点的轨迹，动点的坐标又是参数t的函数

当给定时，就得到C上的点，随着t的变动便可得到曲线C上的全部点，该方程组叫做空间曲线的参数方程。第89页,共133页，2024年2月25日，星期天（二）通过曲面的曲面束方程

设曲线的方程为，则对任意实数即为通过曲面的曲面束方程，其中不全为零第90页,共133页，2024年2月25日，星期天（三）空间曲线与曲面的交点

设曲线的方程为及曲面，则曲线与曲面的交点坐标为方程组的解

第91页,共133页，2024年2月25日，星期天例4．如果空间一点M在圆柱面上以角速度绕Z轴旋转，同时又以线速度沿平行于Z轴的正方向上升（其中都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线，试建立其参数方程。第92页,共133页，2024年2月25日，星期天三、空间曲线在坐标面上的投影（一）定义：设有空间曲线C的一般方程为以曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于的投影柱面，投影柱面与的交线叫空间曲线C在的投影曲线，简称投影。第93页,共133页，2024年2月25日，星期天例6．已知两球面的方程为（1）和

（2）

求它们的交线C在面上的投影方程。第94页,共133页，2024年2月25日，星期天例7．设一个立体由上半球面和锥面所围成，求它在面上的投影。第95页,共133页，2024年2月25日，星期天例8．求旋转抛物面在三坐标面上的投影。第96页,共133页，2024年2月25日，星期天例5．将曲线化成参数方程。第97页,共133页，2024年2月25日，星期天例9．求上半球与圆柱体的公共部分在面和面上的投影。第98页,共133页，2024年2月25日，星期天§7-5平面及其方程一、平面的点法式方程（一）平面的法线向量

如果一非零向量垂直于一平面，这个向量叫做该平面的法线向量。第99页,共133页，2024年2月25日，星期天（二）平面的点法式方程已知平面的法向量及平面上一点把由平面上一点及平面的法向量所确定的平面方程；叫做平面的点法式方程。第100页,共133页，2024年2月25日，星期天例1．已知一个平面通过点并且垂直于与点的连线，求平面方程。第101页,共133页，2024年2月25日，星期天例2．求过三点的平面的方程。第102页,共133页，2024年2月25日，星期天二、平面的一般方程㈠平面和三元一次方程的关系每个平面的方程都是三元一次方程，而每个三元一次方程又都确定一个平面.第103页,共133页，2024年2月25日，星期天（二）平面的一般方程及法向量

把方程叫做平面的一般式方程，它的法向量第104页,共133页，2024年2月25日，星期天例3．一个平面过两点且垂直于平面，求此平面方程。第105页,共133页，2024年2月25日，星期天㈢几种特殊的平面方程1.当时,方程为,它表示一个通过原点的平面。2.当时,方程为,它表示法线向量垂直于轴,方程表示一个平行于轴的平面。3.当时,方程,它表示一个法线向量垂直于轴,方程表示一个平行于面的平面。第106页,共133页，2024年2月25日，星期天例4．求通过轴和点的平面的方程。第107页,共133页，2024年2月25日，星期天例5．一平面通过原点，而且与平面都垂直，求此平面方程。第108页,共133页，2024年2月25日，星期天㈣平面的截距式方程

例6.设一平面与轴的交点依次为三点求此平面的方程。第109页,共133页，2024年2月25日，星期天三、两平面的夹角（一）定义：两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。第110页,共133页，2024年2月25日，星期天(二)两平面的夹角公式的求法设两平面的法向量分别为则两平面的夹角可由来确定。第111页,共133页，2024年2月25日，星期天例7．求两平面的夹角。第112页,共133页，2024年2月25日，星期天㈢两平面互相垂直、平行与重合的充要条件设两个平面的法向量为

1.两平面互相垂直2.两个平面平行3.两个平面重合第113页,共133页，2024年2月25日，星期天例8．证明：（1）与平面平行。（2）平面垂直。第114页,共133页，2024年2月25日，星期天㈣点到平面的距离例9．设是平面外一点，求到这平面的距离。第115页,共133页，2024年2月25日，星期天例10．试求平行平面间的距离。第116页,共133页，2024年2月25日，星期天一、空间直线的一般方程（一）空间直线的一般方程把方程组叫做空间直线的一般方程。§7-6空间直线及其方程第117页,共133页，2024年2月25日，星期天二、空间直线的对称式方程与参数方程（一）相关定义：1、直线的方向向量：如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量。2、直线的一组方向数：直线的任一方向向量的坐标叫做这直线的一组方向数。第118页,共133页，2024年2月25日，星期天（二）直线的对称式方程或点向式方程设直线L的方向向量为，直线L过点把叫做直线的对称式方程或点向式方程。第119页,共133页，2024年2月25日，星期天（三）直线的参数方程

直线的对称式方程为