复变-积分变换省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

积分变换哈尔滨工程大学理学院冯国峰1/96引言变换：原问题变换较易处理问题直接求解较难求解原问题解逆变换在变换域里解比如：对数变换、解析几何坐标变换、高等代数中线性变换；在积分中变量代换和积分运算化简；在微分方程中所作自变量或未知函数变换；复变函数保角变换；积分变换。2/96引言积分变换：经过积分运算，把一个函数变成另一个函数变换。

积分域；积分变换核；象原函数；称为象函数。3/96引言当选取不一样积分域和变换核时，就得到不一样名称积分变换。傅里叶（Fourier）变换：变换核为；积分域拉普拉斯（Laplace）变换：变换核为；积分域Z变换、梅林（Mellin）变换、汉科尔（Hankel）变换，小波变换。4/96引言普通来说，当用积分变换去求解微分方程或其它方程时，在积分变换之下，原来偏微分方程能够降低自变量个数，直至变成常微分方程；原来常微分方程能够变成代数方程，从而使得在函数类B中运算简化，找出在B中一个解，再经过逆变换，就得到原来要在函数类A中所求解。（当然，上述求变换与求逆变换是能够依赖于积分变换表来完成）。5/96第一章傅立叶（Fourier）变换

第1节傅立叶积分公式第2节傅立叶变换第3节傅立叶变换性质第4节卷积与相关函数

6/961-1傅立叶积分公式假如是以T为周期周期函数，而且在上满足狄利克雷（Dirichlet）条件：即函数在上满足：1、连续或至多只有有限个第一类间断点；2、至多只有有限个极值点。那么在上连续点t处，能够展开成傅里叶级数。若t是间断点，则7/961-1傅立叶积分公式级数三角形式：其中8/961-1傅立叶积分公式傅里叶级数复指数形式：9/961-1傅立叶积分公式傅里叶积分公式10/961-1傅立叶积分公式[傅里叶积分定理]若在任何有限区间上满足狄利克雷条件，而且在无限区间上绝对可积（即积分收敛），则有

11/961-1傅立叶积分公式傅里叶积分公式三角形式：12/961-1傅立叶积分公式傅里叶正弦积分公式傅里叶余弦积分公式

13/961-1傅立叶积分公式[例1-1]求函数傅里叶积分表示式。[解]14/961-1傅立叶积分公式狄利克雷积分:[例1-2]证实15/961-2傅立叶变换傅里叶积分公式：傅里叶变换：傅立叶逆变换：16/961-2傅立叶变换在不考虑在间断点取值时，和经过指定积分运算能够相同表示，即

和在傅里叶变换下是一一对应。为此，称和组成了一个傅里叶变换对，记为。它们有相同奇偶性。17/961-2傅立叶变换傅里叶正弦积分公式：傅里叶正弦变换式（正弦变换）：傅里叶正弦逆变换式：18/961-2傅立叶变换傅里叶余弦积分公式：傅里叶余弦变换式（余弦变换）：傅里叶余弦逆变换式：19/961-2傅立叶变换[例1]求单边指数衰减函数（其中为常数）傅里叶变换和傅里叶积分公式。[解]当时，上式左端应为20/961-2傅立叶变换21/961-2傅立叶变换[例2]设，，试证：和是一对傅里叶变换对。[证实][注]为傅里叶核，即使它在不绝对可积，但其傅里叶变换是存在。22/961-2傅立叶变换[例3]求矩形脉冲函数傅里叶变换，且利用傅里叶积分公式证实：23/961-2傅立叶变换[例5]求函数正弦变换和余弦变换。[解]24/961-2傅立叶变换[例6]求积分方程[解]25/961-2傅立叶变换傅里叶变换物理意义——频谱

1非正弦周期函数频谱2非周期函数频谱26/961-2傅立叶变换1非正弦周期函数频谱27/961-2傅立叶变换第n次谐波：第n次谐波频率：第n次谐波振幅：基波：基频：相位：28/961-2傅立叶变换复指数形式：29/961-2傅立叶变换这些直线段称为谱线，而全体称为周期函数振动频谱（简称为频谱）。频率与振幅关系图称为频谱图。周期函数有离散频谱。

30/961-2傅立叶变换[例7]周期矩形脉冲波在一个周期内表示式为设和，分别作出对应频谱图。31/961-2傅立叶变换2非周期函数频谱傅立叶变换又称为频谱密度函数，它模称为振幅频谱，也简称为频谱。因为是连续改变，这时频谱图是连续曲线，所以称这种频谱为连续频谱。也就是说，非周期函数有连续频谱图。对一个时间函数作傅立叶变换，就是求这个时间函数频谱函数。注意，32/961-2傅立叶变换定义幅角主值为函数相角频谱。

33/961-2傅立叶变换[例8]求单边指数衰减函数振幅频谱和相角频谱。[解]34/961-2傅立叶变换[例9]求单位脉冲函数振幅频谱和相角频谱。[解]35/96第3节单位脉冲函数1、物理意义2、定义3、性质4、导数及其性质5、广义傅立叶变换36/96第3节单位脉冲函数1、单位脉冲函数物理意义：（1）集中质量密度；（2）电学中集中电荷。37/96第3节单位脉冲函数2、单位脉冲函数定义：（1）类似普通函数形式定义

函数是满足以下两个条件函数。（1）（2）（2）普通函数序列极限形式定义

（3）第三种定义

38/96第3节单位脉冲函数多维函数定义：（1）（2）性质：39/96第3节单位脉冲函数3、单位脉冲函数性质：（1）线性性质：（2）分段性质：40/96第3节单位脉冲函数3、单位脉冲函数性质：（3）筛选性质：（4）时间尺度变换性质：推论：41/96第3节单位脉冲函数3、单位脉冲函数性质：（5）乘以时间函数性质推论：

（6）单位阶跃函数，或称为海维塞（Heaviside）函数。42/96第3节单位脉冲函数4、单位脉冲函数导数及其性质：K阶导数：（1）（2）（3）43/96第3节单位脉冲函数4、单位脉冲函数导数及其性质：（4）（5）44/96第3节单位脉冲函数3、广义傅立叶变换：（1）极限意义下傅立叶变换

若则[例1]考查符号函数傅立叶变换。[解]45/96第3节单位脉冲函数（2）函数傅立叶变换

46/96第3节单位脉冲函数[例2]证实单位阶跃函数傅立叶变换为[例3]求正弦函数傅立叶变换。[解]47/96第4节傅立叶变换性质1、线性性质2、对称性质3、相同性质4、位移性质5、微分性质6、积分性质7、卷积与卷积定理48/96第4节傅立叶变换性质1、线性性质：49/96第4节傅立叶变换性质2、对称性质：50/96第4节傅立叶变换性质3、相同性质：翻转公式：

51/96第4节傅立叶变换性质4、位移性质：时移性：频移性：52/96第4节傅立叶变换性质5、微分性质：假如在连续或只有有限个可去间断点，且当时，，则53/96第4节傅立叶变换性质6、积分性质：设（1）若则（2）54/96第4节傅立叶变换性质7、卷积与卷积定理卷积：卷积性质：（1）交换律：（2）结合律：（3）对加法分配律：

55/96第4节傅立叶变换性质7、卷积与卷积定理[卷积定理]

[频谱卷积定理]

56/96积分变换哈尔滨工程大学理学院冯国峰57/96第二章拉普拉斯（Laplace）变换第1节

Laplace变换概念第2节Laplace变换基本性质

第3节象原函数求法

第4节Laplace变换应用

58/962-1Laplace变换概念[傅里叶积分定理]若在任何有限区间上满足狄利克雷条件，而且在无限区间上绝对可积（即积分收敛），则有

59/962-1Laplace变换概念Fourier变换局限：（1）绝对可积条件较强，许多简单常见函数（如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典Fourier变换。（2）能够进行Fourier变换函数必须在整个数轴上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中，许多以时间t作为自变量函数往往在时是无意义或是不需要考虑，像这么函数都不能取Fourier变换。60/962-1Laplace变换概念怎样克服上述两个缺点？（1）单位阶跃函数用乘以，这么得到，在时就等于零，在时仍为，就有可能使其积分区间由变为61/962-1Laplace变换概念（2）对于许多在不绝对可积函数，往往是因为当时，其绝对值减小太慢缘故。因为指数衰减函数有当时衰减得很快特点，所以假如用去乘，只要充分大，普通可使当时绝对值就衰减得很快，使得能够变得绝对可积。62/962-1Laplace变换概念设是定义在上实（或复）值函数，假如积分（s是一个复变量）在s某个区域内存在，则由此积分确定函数可写为，称复函数为函数

象函数或Laplace变换，记为。称为象原函数或Laplace逆变换，记为。又称这两个函数为Laplace变换对，记为。63/962-1Laplace变换概念（1）Laplace变换实际上就是一个单边广义Fourier变换。（2）Laplace变换复反演积分公式：（3）Laplace变换象原函数与象函数是一一对应。64/962-1Laplace变换概念[例]求单位阶跃函数、符号函数及Laplace变换。[解]65/962-1Laplace变换概念[例2]求Laplace变换。[例3]求Laplace变换（k为复常数）。[解]66/962-1Laplace变换概念[定义]对实变量复值函数，假如存在两个常数及，使得对于一切，都成立即增加速度不超出某一指数函数，则称为指数级函数，称它增大是不超出指数级，c为它增加指数。67/962-1Laplace变换概念[例]，此处，此处，此处，此处。它们都是指数级函数。不过对于函数，不论选M及c多么大，总有，所以它不是指数级函数。68/962-1Laplace变换概念[Laplace变换存在定理]若函数满足以下条件：（1）当时，；（2）在任一有限区间上分段连续，间断点个数是有限个，且都是第一类间断点。（3）是指数级函数。则Laplace变换在半平面上一定存在，而且为解析函数。69/962-1Laplace变换概念说明：（1）Laplace变换存在定理条件是充分，而不是必要。即若不满足存在定理条件下，Laplace变换仍可能存在。（2）一个函数增大是不超出指数级要比函数要绝对可积条件相比，前者条件要弱得多。由此可见，对于一些问题（如在线性系统分析中），Laplace变换应用范围就更为广泛。70/962-1Laplace变换概念说明：（3）工程技术中所碰到函数大部分是存在Laplace变换，但像，这类函数是不存在Laplace变换。（4）假如为指数级函数，则其增加指数不唯一。把能使成立一切x最大下界记作c，称它为Laplace变换收敛坐标。在复平面上，直线称为Laplace积分收敛轴。71/962-1Laplace变换概念[例4]三角函数Laplace变换。72/962-1Laplace变换概念[例]求幂函数（m为整数）Laplace变换。[解]伽玛（Gamma）函数：73/962-1Laplace变换概念周期函数Laplace变换：设在内是以T为周期函数，即且在一个周期内分段连续，则有74/962-2Laplace变换基本性质1、线性性质

2、相同性质

3、延迟性质4、位移性质5、微分性质6、积分性质7、卷积与卷积定理

75/962-2Laplace变换基本性质1、线性性质

76/962-2Laplace变换基本性质2、相同性质77/962-2Laplace变换基本性质3、延迟性质78/962-2Laplace变换基本性质4、位移性质79/962-2Laplace变换基本性质5、微分性质80/962-2Laplace变换基本性质6、积分性质若积分存在，81/962-2Laplace变换基本性质7、卷积与卷积定理

82/962-2Laplace变换基本性质7、卷积与卷积定理[卷积定理]

83/962-3象原函数求法[（推广）若当引理]设以为中心，R为半径左半圆弧复变量s一个函数满足：（1）它在左半平面上除有限个奇点外是解析。（2）对于s，当时趋于零。则对充分大，函数沿半圆周积分存在，且对任意，有。84/962-3象原函数求法[展开定理]假如在整个复平面s上除了有限个奇点外都解析，而且全部奇点都在半平面内。而且当时，。则在连续点t处，有其中为复变函数在奇点处留数。85/962-3象原函数求法留数计算：（1）单极点：（2）复极点：86/962-3象原函数求法[例4]求逆变换。[解]这里，是单零点，为二级零点。由展开定理可得：87/962-4Laplace变换应用1、解常系数线性微分方程初值问题2、求解常系数线性微分方程边值问题3、解一些变系数线性微分方程4、求解一些积分方程、微分积分