行列式按行(列)展开

行列式按行(列)展开课前复习性质1

行列式与它的转置行列式相等.即.性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零.性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．第2页,共23页，2024年2月25日，星期天

在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，叫做元素的代数余子式．例如一、余子式与代数余子式记作第3页,共23页，2024年2月25日，星期天注行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.即．外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式引理的乘积，一个阶行列式，如果其中第行所有元素除证

当位于首位时,即即有又从而命题得证第4页,共23页，2024年2月25日，星期天得把的第行依次与第行，第行，…第1行对调下证一般情形,此时第5页,共23页，2024年2月25日，星期天得把的第列依次与第列，第列，…第1列对调第6页,共23页，2024年2月25日，星期天中的余子式注意到：元素在行列式中的余子式仍然是在行列式第7页,共23页，2024年2月25日，星期天于是有故即所以命题得证第8页,共23页，2024年2月25日，星期天

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证二、行列式按行（列）展开法则定理利用行列式的性质四--拆分原理有第9页,共23页，2024年2月25日，星期天

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即推论命题得证第10页,共23页，2024年2月25日，星期天把行列式按第行展开有证把行列式中的换成可得相同同理命题得证第11页,共23页，2024年2月25日，星期天关于代数余子式的重要性质第12页,共23页，2024年2月25日，星期天例1计算行列式常用方法：化零，展开.三、应用举例解第13页,共23页，2024年2月25日，星期天例2第四行各元素余子式之和为分析以表示中元素的余子式，则有第14页,共23页，2024年2月25日，星期天例3第15页,共23页，2024年2月25日，星期天例4计算范德蒙德(Vandermonde)行列式将前一行乘以加到后一行上解（从后往前）第16页,共23页，2024年2月25日，星期天按第一列展开，并把每一列的共因子提出，有

n-1阶范德蒙德行列式第17页,共23页，2024年2月25日，星期天第18页,共23页，2024年2月25日，星期天解每一行提取各行的公因子，于是得到例5计算第19页,共23页，2024年2月25日，星期天上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知第20页,共23页，2024年2月25日，星期天四、行列式按某k行(列)展开（Laplace定理）定义位于这些行和列交叉处的个元素，按照原来的顺序定义行标、列标.在阶行列式中,任意取定行(列)构成一个阶行列式，称为的一个阶子式.划去这行列，余下的元素按照原来的顺序构成一个阶行列式，称为的余子式.在其前面，称为的代数余子式.冠以符号分别为阶子式在中的其中行列式共有个阶子式.第21页,共23页，2024年2月25日，星期天例6求行列式解定理在阶行列式中,取定行(列)式的乘积之和等于行列式.由这行(列)组成的所有