浙江省杭州市市萧山区第十中学高三数学文下学期摸底试题含解析

浙江省杭州市市萧山区第十中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量=，=，其中=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）A．B．C．D．参考答案：A略2.已知，则

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若；②若；③如果相交；④若其中正确的命题是（

） A．①② B．②③ C．③④ D．①④参考答案：D4.3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数参考答案：B5.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，在底面△ABC中，∠C=60°，，则此直三棱柱的外接球的表面积为（）A． B． C．16π D．参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC的小圆半径为1，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面小圆ABC的半径为=1，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：=2，外接球的表面积为：4π?22=16π．故选C．6.设集合，，则A．（-2,0）

B.（-2,3）

C.（0,2）

D.（2,3）参考答案：A7.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则此复平面内表示复数的点是

（A）E

（B）F

（C）G

（D）H

参考答案：D略8.已知命题p：“a＞1”，命题q：“函数f（x）=ax﹣sinx在R上是增函数”，则命题p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】利用导数法求出f（x）=ax﹣sinx为R上的增函数等价命题，进而根据充要条件的定义，可判断【解答】解：当f（x）=ax﹣sinx时，f′（x）=a﹣cosx，当a≥1时，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）=ax﹣sinx为R上的增函数，由{a|a＞1}?{a|a≥1}，故“a＞1”是“f（x）=ax﹣sinx为R上的增函数”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了充要条件，函数的单调性，属于基础题．9.有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法共有

（

）

A．66种

B．60种

C．36种

D．24种参考答案：C略10.已知x=log52，y=ln2，z=，则下列结论正确的是（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵x=log52＜=，1＞y=ln2=，z=＞1，∴x＜y＜z．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则tanAtan2B的取值范围是．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】由且，可得cosC==，C∈（0，π），解得C=．可得tanAtan2B=tan?tan2B=，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由且，∴cosC==，C∈（0，π），解得C=．则tanAtan2B=tan?tan2B=×=，令tanB=t∈（0，1），则≤=，等号不成立．∴∈（0，），故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是

．参考答案：考点：函数的零点与方程根的关系．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由f（x）=0得=2a，令g（x）=，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围．解答： 解：由得=2a，①若x＞0，设g（x）=，则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，作出函数g（x）的图象，要使有且仅有三个零点，即函数g（x）=2a有且仅有三个零点，则由图象可知＜a≤，②若x＜0，设g（x）=，则当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，此时g（x）=﹣，此时g（x）≥1，当﹣2≤x＜﹣1，[x]=﹣2，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜2，当﹣3≤x＜﹣2，[x]=﹣3，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，当﹣4≤x＜﹣3，[x]=﹣4，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，当﹣5≤x＜﹣4，[x]=﹣5，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，作出函数g（x）的图象，要使有且仅有三个零点，即函数g（x）=2a有且仅有三个零点，则由图象可知≤a＜，综上：＜a≤或≤a＜，故答案为：．点评：本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．13.已知圆C的方程为x2+y2+8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为．参考答案：【考点】圆的一般方程．【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x+4）2+y2=1，∴圆心C（﹣4，0），半径r=1，∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴圆心（﹣4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=，解得：≤k≤0．故答案为：．14.在中，则角C=

。参考答案：略15.给出以下命题：①抛物线y=4x2的准线方程为y=﹣；②“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是“若x2+y2≠0，则x，y都不为0”；③已知线性回归方程为=3+2x，当变量x增加2个单位时，其预报值平均增加4个单位；④命题ρ：“?x∈（0，+∞），sinx+≥2”是真命题．则所有正确命题的序号是_________．参考答案：①③16.若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是

.

参考答案：17.某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为

．参考答案：18考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：由题意确定老年职工的人数，再由青年职工确定抽样比，因为分层抽样，各层抽取比例一样，故可计算出样本中的老年职工人数．解答： 解：青年职工160人，在抽取的样本中有青年职工32人，故抽取比例为，老、中年职工共430﹣160=270人，又中年职工人数是老年职工人数的2倍，故老年职工有90人，所以该样本中的老年职工人数为90×=18故答案为：18点评：本题考查分层抽样知识，属基础知识、基本题型的考查．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题15分)

如图，已知抛物线，点是x轴上的一点，经过点P且斜率为1的直线与抛物线相交于A,B两点.(1)

当点P在x轴上时，求证线段AB的中点轨迹方程；(2)

若(O为坐标原点)，求a的值.参考答案：【答案解析】（1）；（2）.

解析：（1）设，，中点为．则， ┅2分又，，所以，从而． ┅6分故，线段的中点轨迹方程是：（x>1）． ┅7分（2）直线：，由． ┅9分，． ┅12分若，则，即．解得：． ┅15分【思路点拨】(1)利用点差法求出线段AB的中点轨迹方程即可；（2）把直线方程代入抛物线方程消去x得关于y的一元二次方程，再由弦长公式及已知条件得关于a的方程，解得a值.19.如图,在斜三棱柱中,侧面⊥底面,侧棱与底面成60°的角,.底面是边长为2的正三角形,其重心为点,是线段上一点,且.(1)求证://侧面;(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值。

参考答案：解法1:(1)延长B1E交BC于点F,∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC,从而点F为BC的中点.∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且,又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.

…………5分(2)∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,

又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC.

以O为原点建立空间直角坐标系O—如图,

则,,,,,.

∵G为△ABC的重心,∴.,∴,∴.

又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.

…………6分(2)设平面B1GE的法向量为,则由得

可取

又底面ABC的一个法向量为

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则.

故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为.

…………12分略20.（本题满分10分）【选修4—4

坐标系与参数方程】已知动点P、Q都在曲线上，对应参数分别为与（），M为PQ的中点．(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程；(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

参考答案：解：(Ⅰ)依题意有…………2分因此……3分M的轨迹的参数方程为（为参数，）……5分(Ⅱ)M点到坐标原点的距离…………7分当时，，故M的轨迹过坐标原点………………10分

21.已知函数f（x）＝2xlnx﹣x2．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程

（2）若方程f′（x）＝a在[，+∞）有且仅有两个实根（其中f′（x）为f（x）的导函数，e为自然对数的底），求实数a的取值范围．参考答案：(1)2x﹣y﹣2＝0；(2)（2，e2﹣1]．【分析】（1）先求切点的纵坐标，再求导，进而求出在切点处的导数值，即切点处的斜率，代入点斜式方程可得切线方程；（2）函数f（x）求导得f'（x），然后再求导得f'（x）在[，+∞）的单调性，求出最小值，进而得与a有两个根时的取值范围．【详解】（1）由函数f（x）＝2xlnx﹣x2可知：f（1）＝0，f'（x）＝2（lnx+1）﹣1，∴f'（1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：y＝2（x﹣1），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：2x﹣y﹣2＝0；（2）由（1）得，f'（x）＝2lnx+1，f''（x），当x＜1，f''（x）＜0，f'（x）单调递减，当x＞1，f''（x）＞0，f'（x）单调递增，而f'（）＝﹣2+1+e2＞0，最小值f'（1）＝2＞0时，f（x）→+∞，所以f'（x）＝a有两个根的取值范围：（2，e2﹣1]．故实数a的取值范围：（2，e2﹣1]．【点睛】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知正项数列，满足：对任意，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列，的通项公式；（3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：【测量目标】（1）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列、等比数列.（3）方程