北京第十五中学高三数学文模拟试卷含解析

北京第十五中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合，则A. B. C. D.参考答案：C【分析】先化简集合A,B，再判断得解.【详解】由题得，，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ＜|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，求函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ的值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣），由题意x∈[0，]，得2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]∴函数y=sin（2x﹣）在区间[0，]的最小值为．故选：A．3.执行右边的程序框图，若，则输出的（

）. .

.

.参考答案：B，因此输出故选B4.设，变量x，y满足条件，则z的最小值为（）（A）2

（B）4

（C）8

（D）16参考答案：C作出不等式组对应的平面区域，由解得，设，由图可知，直线经过点A时，m取最小值，同时取得最小值，所以.故选C．5.已知，则的值为A．

B．

C．

D．

参考答案：D6.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.是直线与直线互相垂直的(

)充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件[参考答案：A8.“cosα=0”是“sinα=1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由cosα=0可得α=kπ+（k∈Z），即可判断出结论．【解答】解：cosα=0可得α=kπ+（k∈Z），∴sinα=±1，反之成立，∴“cosα=0”是“sinα=1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.函数的定义域为(

)A． B．（﹣1，0）∪（0，2] C． D．（﹣1，2]参考答案：B【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．故选B．【点评】本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力．10.定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，存在常数M＞0，都有成立，则称f（x）是D上的有界函数．则下列定义在R上的函数中，不是有界函数的是（）A．f（x）=sinx2B．f（x）=C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是

。参考答案：12.将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为________.

1719212331292725

……………参考答案：312试题分析：前19行共有个数，所求两数为第78和第79个奇数，因此和为.考点：新定义，数列的项.13.，则a＋b=

参考答案：314.过点的直线与圆截得的弦长为，则该直线的方程为

。参考答案：15.命题：“若x2＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是___________.

参考答案：略16.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m3．参考答案：4考点： 由三视图求面积、体积．专题： 立体几何．分析： 由题意可知，一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，根据所给的长度，求出几何体的体积．解答： 解：由三视图可知，这是一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，体积是1×1×2下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，体积是1×1×2∴几何体的体积是1×1×2+2×1×1=4m3，故答案为：4点评： 本题考查由三视图还原直观图，根据图形中所给的数据，求出要求的体积，本题是一个考查简单几何体体积的简单题目．17.由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为__________。（从小到大排列）参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列是等差数列，是等比数列，。

（1）求数列、的通项公式；

（2）设数列中，，求数列的前n项和Sn。参考答案：解：（1）在等差数列{an}中，由a1=1，a3=3，得，∴an=1+1×（n﹣1）=n．在等比数列}{bn}中，由b2=4，b5=32，得，q=2．∴；（2）cn=an?bn=n?2n．则Sn=1?21+2?22+3?23+…+n?2n

①，

②，①﹣②得：=．∴Sn=（n﹣1）?2n+1+2．略19.设函数是定义在，0)∪(0，上的奇函数，当x?，0)时，=.(1)求当x?(0，时，的表达式；(2)若a>-1，判断在(0，上的单调性，并证明你的结论.参考答案：(1)设x?(0，，则，所以f(-x)=，又因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)=x?(0，.

(2)x?(0，时，f(x)=，，x3?(0，，，又a>-1，所以>0，即，所以f(x)在(0，上递增.20.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD?BA=BE?BC，从而可求AD的长．解答： （Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD?BA=BE?BC，即（6﹣t）×6=2t?（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…点评：本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.（10分）（2016?兴安盟一模）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG?EF=CE?GD；（2）求证：．参考答案：【考点】圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段．【分析】（1）要证明AG?EF=CE?GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG?GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．【解答】证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG?EF=CE?GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△ADG，∴DG2=AG?GF，由（1）知，∴．【点评】证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．22.已知函数f（x）＝ax2﹣bx+lnx，（a，b∈R）．（1）若a＝1，b＝3，求函数f（x）的单调增区间；（2）若b＝0时，不等式f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a＝1，b＞时，记函数f（x）的导函数f（x）的两个零点是x1和x2（x1＜x2），求证：f（x1）﹣f（x2）＞﹣3ln2．参考答案：（1）f（x）（0，），（1，+∞）递增；（2）a≤﹣；（3）见解析【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a≤﹣在区间[1，+∞）恒成立，令h（x）＝﹣，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）由题意得x1，x2（x1＜x2）是方程2x2﹣bx+1＝0的两个根，记g（x）＝2x2﹣bx+1，根据函数的单调性证明即可．【详解】（1）由题意得：x＞0，a＝1，b＝3时，f（x）＝x2﹣3x+lnx，，令f（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞1，故f（x）在（0，），（1，+∞）递增；（2）b＝0时，f（x）＝ax2+lnx，不等式f（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即a≤﹣在区间[1，+∞）恒成立，令h（x）＝﹣，则，令h（x）＞0，解得：x＞，令h（x）＜0，解得：1＜x＜，故f（x）在（1，）递减，在（，+∞）递增，故h（x）min＝h（）＝﹣，故