专题-空间角及距离的向量求法-2020-2021学年高二数学教材配套学案(人教A版选修2-1)

专题空间角及距离的向量求法1．空间角的求解（1）求线线角的步骤：①确定空间两条直线的方向向量；②求两个向量夹角的余弦值；③比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；④确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角．（2）求线面角的步骤：①确定直线的方向向量和平面的法向量；②求两个向量夹角的余弦值；③确定向量夹角的范围；④确定线面角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时线面角与这个夹角互余；当向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去．（3）求二面角的步骤：①确定两平面的法向量；②求两个法向量夹角的余弦值；③确定向量夹角的范围；④确定二面角与向量夹角的关系：二面角的范围要通过观察图形来确定，法向量一般不能体现出来．【例1】在正方体中，，，分别为棱，的中点，求：（1）直线与所成的角；（2）直线与平面所成角的正弦值；（3）二面角的余弦值．【解】如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．（1）因为，，所以，所以直线与所成角的大小为．学科@网（3）易得，，，设平面的法向量为，则，即，取，得，所以平面的一个法向量为．设平面的法向量为，则，即，取，得，，所以平面的一个法向量为．所以，显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．【变式训练1】如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ;(2)是否存在实数λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.【解】以点D为坐标原点,射线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.由题意得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).故=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),由,得.于是可取n=(λ,-λ,1).同理,平面PQMN的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在实数λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±.故存在实数λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,此时λ的值为1±.2．空间距离的求解求点到平面的距离的步骤可简化为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．【例2】已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.【解】建立以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系,如图所示,则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,,0),F(,1,0),=(,,0),=(1,,-1),设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,且n·=0,即,令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3).【变式训练2】如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2.(1)求点A到平面MBC的距离;(2)求平面ACM与平面BCD夹角的正弦值.(2)=(-1,0,),=(-1,-,2),设平面ACM的一个法向量为m1=(x1,y1,z1),所以.取z1=1,得m1=(,1,1).又平面BCD的一个法向量m2=(0,0,1),所以cos<m1,m2>=.设平面ACM与平面BCD的夹角为θ,则sinθ=.专题3空间角及距离的向量求法总分：_____用时：_______A组（学业基础）1．已知直线l过定点A(2,3,1),且方向向量为n=(0,1,1),则点P(4,3,2)到l的距离为A． B．C． D．【解析】由题意知=(2,0,1),根据点到直线的距离公式得d=.【答案】A2．在空间直角坐标系中，点是在坐标平面内的射影，为坐标原点，则等于（）A．B．C．D．【解析】因为点是在坐标平面内的射影，所以，所以．故选B．【答案】B3．已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是（） A．(,,) B．(,,)C．(,,) D．(,,)【解析】=(-1,1,0),=(-1,0,1).设平面ABC的一个单位法向量为u=(x,y,z),则u·=0,u·=0,得-x+y=0,-x+z=0,且x2+y2+z2=1,故可取u=(,,).【答案】D4．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(0,2,1),b=(,,),那么这条斜线与平面的夹角是（） A．90° B．60°C．45° D．30°【解析】,因此a与b的夹角为30°,所以这条斜线与平面的夹角是30°.【答案】D5．长方体中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解析】建立坐标系如图所示，则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，则＝(－1，0，2)，＝(－1，2，1)，cos〈，〉＝＝．所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为．故选B．【答案】B6．如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_________________．【解析】如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，B(0，1，0)，A(1，0，0)，C(0，0，0)，则＝(－1，1，－2)，＝(－1，0，0)，cos〈，〉＝＝＝．【答案】7．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形的边长为2,AB1⊥BC1,则侧棱长为.

【解析】以AC的中点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.设CC1=h,则B(,0,0),B1(,0,h),A(0,-1,0),C1(0,1,h),=(,1,h),=(-,1,h).AB1⊥BC1,则·=0,即-3+1+h2=0.又h>0,所以h=,即侧棱长为.【答案】8．已知正四棱锥的侧棱与底面所成角为60°，M为PA的中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是_________________．【解析】设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面PAC的一个法向量为＝(1，0，0)，D，P，M，则＝，所以cos〈，〉＝＝，所以DM与平面PAC所成的角为45°．【答案】45°9．如图，直三棱柱中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB＝BB1＝2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．【解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形A1ACC1是矩形．连接A1C交AC1于O，连接，则O是A1C的中点，又D是BC的中点，所以在△A1BC中，OD∥A1B，因为A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．（2）因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC．如图，以D为原点，建立如图所示空间坐标系．由已知AB＝BB1＝2，得D(0，0，0)，A(，0，0)，A1(，0，2)，C1(0，-1，2)，则＝(，0，0)，＝(0，-1，2)，设平面AC1D的法向量为＝(x，y，z)，则，即，取z＝1，则x＝0，y＝2，∴＝(0，2，1)，又＝(，0，2)，∴cos〈，〉＝＝，设A1D与平面ADC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝，故A1D与平面ADC1所成角的正弦值为．10．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【解】（1）由已知可得，，所以平面．又平面，故平面平面．（2）过作，垂足为，学科%网由（1）知平面．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．所以，，，．设是平面的法向量，则，即，所以可取．设是平面的法向量，同理可取，所以，易知二面角为钝角，故二面角的余弦值为．B组（能力提升）11．在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离为（）A．B．C．D．【解析】建立如图所示的直角坐标系，设平面的法向量，则，即，，又，∴平面与平面间的距离，故选B．【答案】B12．如图(1),在等腰△ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图(2)所示的四棱锥A'-BCDE.若A'O⊥平面BCDE,则A'D与平面A'BC所成角的正弦值等于（）A． B．C． D．【解析】取DE的中点H,连接OH,则OH⊥OB．以O为坐标原点,OH,OB,OA'所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.在等腰△ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点,∴A'(0,0,),D(1,-2,0),=(1,-2,-).又平面A'BC的一个法向量n