数系的扩充和复数的概念 高一下学期数学人教A版2019必修二

数系的扩充和复数的概念

第七章

复数

数学来源于生活，高于生活。思考？

学习目标：1、了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程2、理解在数系扩充中由实数集到复数集出现的基本概念3、掌握复数的表示方法、分类及复数相等的充要条件学习目标

对于一元二次方程

，当

时，没有实数根。因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决。

事实上，早在古希腊时代，数学家在研究解方程问题时就遇到了负实数开平方的问题，但他们一直在回避。直到1545年，意大利数学家卡丹在用求根公式，因式分解两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时，得到了无法理解的结果......一、创设情境，引入新知解方程：方法1：用三次方程求根公式（卡丹公式）解得：方法2：用因式分解解得：得到：16世纪数学家的困惑一、创设情境，引入新知问题1从方程的角度看，负实数能不能开平方，实际上就是方程

（a＞0）有没有解的问题。能不能把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程x2+1=0有没有解的问题呢？追问x2+1=0在实数集中无解，能否引入新数，适当地扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？二、创设情境，合作探究远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，历经漫长的岁月，创造了自然数，自然数集记为N。自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地。自然数的加法与乘法满足交换律、结合律及分配律。随后为了表示具有相反意义的量，负数的概念就出现了，我国是认识正负数最早的国家，《九章算术》中就有了正负数的记载。负数概念引进后，就把数集扩充到整数集Z，运算法则同样适用。随着历史的发展，为了公平分配物质印度人引进了分数，但分数的确切定义，科学表示及分数算法，都是中国最早提出的。分数运算也满足加法与乘法的运算律。分数概念引进后，就把数集扩充到有理数集Q，运算法则同样适用。公元前几百年，希腊人发现边长为1的正方形和正五边形对角线的长都不是分数，从此人们知道了世间还存在另一类数无理数。有理数集与无理数集合并在一起就构成实数集R。数系的每一次扩充，都是基于两个方面的原因：社会生产实践的需要和数学自身发展的需要。阅读自然数集整数集有理数集实数集刻画相反意义的量引入了负数解决测量等分问题引入了分数解决度量正方体对角线等问题引入了无理数计数的需要引入了自然数从社会生产实践的需要来看自然数负整数整数无理数有理数分数实数随着社会发展，数系在不断扩充．二、创设情境，合作探究从数学自身发展的需要来看（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R无解有解无解有解有解无解（3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；

数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题．（4）在实数集中求x2+1=0方程的解．无解有解？（1）在自然集中求方程x+1=0的解；二、创设情境，合作探究数系扩充后，在运算上遵循了什么规则？如果没有运算，数只是孤立的符号！有理数集实数集引入了无理数运算运算律+（—）×（

÷）+（—）×（

÷）交换律结合律分配律交换律结合律分配律数系扩充规则：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．二、创设情境，合作探究问题2类比从自然数集到实数集的扩充过程，特别是从有理数集到实数集的扩充过程，你能设想一种方法，使方程x2+1=0有解吗？我们可以引入一个数“i”，使i2=-1，这样x=i就是方程x2+1=0的解．历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的.三、依据规则，引入概念问题3根据上述规则，你能说出实数集经过扩充后，得到的新数集由哪些数组成吗？你能写出新数的一般形式吗？加法运算乘法运算实数新数3+ia+i2ibi3+2ia+bi(a,b∈R)依据规则：在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致。三、依据规则，引入概念(1)形如的数叫做复数,通常用字母

z

表示.

(2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C

表示.实部虚部

i

叫虚数单位三、依据规则，引入概念1545年意大利有名的数学家卡丹第一次开始讨论负数开平方的问题，当时复数被他称作“诡辩量”。几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数。但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位。1832年德国高斯给出了复数的定义，并把复数与直角坐标平面内的点一一对应起来．1837年，英国数学家哈密顿用有序实数对（a,b）定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律。这样历经300年的努力，数系从实数系向复数系的扩充才得以大功告成.阅读阅读：复数系是怎么建立的？阅读这是一个漫长而曲折的过程，其中充满着数学家的丰富，深邃的想象力和创造力，表现了数学家不屈不挠，精益求精的精神。我们看到，人们是在解决纯粹数学问题的过程中发现复数的，但它现在在流体力学，信号分析等学科中得到了广泛的应用。1843年，英国数学家哈密顿在复数基础上构造了四元数，从而导致了物理学中著名的麦克斯韦方程的建立，显示了人类理性思维的强大作用！高斯卡丹笛卡尔欧拉哈密顿例1、指出下列复数的实部和虚部:（1）4

（2）2-3i

（3）5i+

（4）-6i（5）0

（6）

（7）2+

（8）π虚部b=0虚部b≠0实部a=0三、依据规则，引入概念练习:把下列式子化为a+bi（a,b∈R）的形式，并分别指出它们的实部和虚部。

2-i=

-2i=

5=

0=

三、依据规则，引入概念问题4我们已经将实数集扩充到复数集，那么复数集C和实数集R之间有什么关系？你能对复数a+bi（a，b∈R）进行分类，并用韦恩图表示它们之间的关系吗？四、根据特点，实际应用虚部b=0虚部b≠0实部a=0实数虚数纯虚数复数a+bi复数的分类四、根据特点，实际应用复数集C实数R纯虚数虚数四、根据特点，实际应用例2、实数m取什么值时，复数

（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？解:（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z

是虚数．（3）当即时，复数z是纯虚数．四、根据特点，实际应用练习:当m为何实数时，复数（1）实数

（2）虚数

（3）纯虚数m2-1=0

∴m=±1m2-1≠0∴m≠±1

m2+m-2=0且m2-1≠0∴m=-2四、根据特点，实际应用问题5我们知道复数集是由形如a+bi(a,b∈R)的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，请阅读教科书，说说两个复数相等的含义．四、根据特点，实际应用两个复数相等的充要条件特别地

当且仅当

每个复数都可以由实部和虚部这两个实数唯一确定．四、根据特点，实际应用四、根据特点，实际应用问题63+2i与2能比较大小吗？两个复数可以比较大小吗？1.两个不全是实数的复数不能比大小，只能由定义判断它们是否相等；2.若两个复数能比较大小，则这两个复数一定全是实数若

，

则四、根据特点，实际应用1、以3i-

的虚部为实部，以3i2+

i的实部为虚部的复数是（）A3-3i

B3+i

C-

+

i

D

+

i2、a=0是复数a+bi(a,b∈R）为纯虚数的（）A必要条件

B充分条件

C充要条件

D非必要非充分条件