第6讲函数零点找点方法讲义-高三数学一轮复习

高三上第6讲“找点”方法【引言引例】“找点”问题在高考模考中出现的较多，出现的形式常为利用零点存在性定理判断函数零点情况、恒成立问题中找矛盾区间等等，很多人遇上了往往就尝试着猜几个特殊的值，可行，但并不是每次都很凑效.2022南京二模第22题：设函数，为自然对数的底数，.⑴若，求证：函数有唯一零点；⑵若函数有唯一零点，求的取值范围.⑴【解】，在上单调递减.因为，所以需要找到一个“负数”，是其函数值.因为，解得，取，所以（这就是找点问题）综上，函数在上有唯一零点.⑵【解】由⑴知，当时，函数有唯一零点，符合题意；当时，令，得，构造函数，转化为“在上有唯一零点”，；再构造函数，，所以在上递减，；当时，，增；当时，，减，；若即，则，在上无零点，不合题意；若即，则，在上有唯一零点；若即，则，此时①证存在使，因为，且分子为负，所以将分母放大为，即，显见只要取即可，；②证存在使，因为分子为正，所以将分母缩小（证明略），即，即解，解得，可以取得大点，即将“根”放大，便于“使用”：，取，所以在和上各有一个零点，不合题意.综上，的取值范围是.【评】熟悉基本的操作流程、熟悉找点的基本套路.由于只需要找到远离零点的“点”，所以可将表达式进行放缩，其实对和的放缩的同时，还可将问题简化处理，事实上这类问题的处理方式具有很大的套路化.今天的任务就是研究这些套路.处理这类问题，大致分为两步走：第一步是弄清函数的变化情况，增函数？减函数？当时函数值的趋势，也就是函数的极限情况，使得对问题的答案了然于胸.第二步“放缩取点”，然后再对所取点的函数值的正、负进行严谨的证明.【知识储备】在导数问题中，我们有两个常见的切线放缩，即和，利用这两个不等式及其变形，基本上能处理绝大多数的问题了.但常常会舍掉部分元素进一步放缩，即和.利用和，我们再作一些简单的代换（其中），得到下列形式：⑴对放大：（当时）；；；；…⑵对缩小：（当时）；；；；…⑶对缩小：（当时）；；；；…⑷对放大：（当时）；；；；…如果我们能够限定变量的范围，就能将其中的某些项放缩成具体的常数，比如当时有；再者，常数也可以放缩为变量，比如例1⑺中因为，所以将“”缩小为“”；还有，当所给的函数表达式比较复杂时，也可以将其分成多个部分分别进行处理，比如例1⑶.找“点”不好找，本质上就是不等式不好解，但由于这样的“点”有无穷多个，我们只需要找到其中部分，所以我们可以适当地退一步，放缩一下，将不好解的不等式转化为好解的不等式.【经典例题】例1⑴已知，，是否存在使得.【分析】由于参数的不确定性，直接利用缩小明显不行.考虑；（也可以缩小为等，要保证趋于正无穷时，放缩的结果也要趋于正无穷，即次数要比1大）所以，只要让即可，解得，所以.⑵已知，，是否存在使得．【分析】同上题，让，这个不等式不难解，但因需要分类讨论有点烦，所以可以对常数继续放缩，解碍．所以．⑶已知，．，是否存在使得．【分析】利用，所以，让，三次不等式同样不好解.这时候我们得再放缩调整一下，反正“点”有很多，主要目的还是为了不等式好解.由，此处的缩小有点“高级”，其目的是为了便于解.再让，得，取，则有.虽说取的“点”的形式难看了点，但总归是很轻易地算出来了，想好看一点可以自己重新调整下系数.⑷已知，，是否存在使得.【分析】当时，有，让，解得，所以．

⑸已知，，是否存在使得．【分析】当时，.利用，则，让，但不符合要求.调整为，所以，即，（当时，放缩的结果还是趋向于），解得，取，即有．⑹已知，．是否存在使得．【分析】当时，.当时，有，所以让，解得，取，即有．⑺已知，，是否存在使得．【分析】利用且，让，解得，所以.⑻已知，，是否存在使得．【分析】先作个变形，由，利用，让，解得，所以．例2⑴已知，，是否存在使得．【分析】利用，即，让（同样还是让起主导作用，所以放缩的结果次数应介于之间，另外小于0那就肯定不对了），解得.或者也可以这样，，让，解得，取，或，即有.⑵已知，，是否存在使得．【分析】，解得，所以.⑶已知，，是否存在使得．【分析】当时，，所以这次要找的“点”应该靠近于0.利用，即（放缩的结果应比弱一点，这样才能保证当时，放缩结果还是趋于的），让，解得，故取，即有.⑷已知，，是否存在使得．【分析】利用，即（根据趋势放缩的结果应比弱一点），让，解得，故取，即有.

【高考模考题精选】例1（2013江苏20）设函数，，其中为实数.⑴若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；⑵若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.⑴【解】因为“在上减”，所以在上恒成立，所以；，驻点，在上递减，在上递增，最小值点，因为“在上有最小值”，所以，解得的取值范围是.⑵【解1】由题在恒成立，所以.由分离参数得：，画图见右：当时，有唯一零点；当时，有唯一零点；当时，若，则恒成立，没有零点；若，则递增，且，要解决的问题是找，使得，由，解得，故取，即有，据零点存在性定理，在上有唯一零点，从而在上有唯一零点.当时，因为，所以；因为在上递增，且，所以在上有唯一零点；在上，利用放大（用放大也可，但不能用，等放大；放缩的结果应该是一个比弱一点的形式，否则改变了整个减数的变化趋势，并且所得不等式解的形式明显不符合），让，取，即有，所以在上有唯一零点，从而在上有两个零点.综上，当或时，有唯一零点；当时，有两个零点；当时，没有零点.【点评】【解1】采用的分离参数法，好处是能得到一个熟悉的确定的函数，便于处理；下面再作一个不分参的处理解答【另解】.【另解】由，得，其中.当时，，有唯一零点；当时，，在上，且时，；时，；先找一个较小的，使；因为较小，所以不妨假设；对放大：，解得，故取，即有；另一方面，，所以在上有唯一零点；当时，在上，在上，；并且时，；时，.在上，有，让，解得，故取（该取值比较容易，可以直接看出来），即有.在上，利用，即，让，即，取，即有（或者也可以利用，让，即，取，即有）.综上，当或时，有唯一零点；当时，有两个零点；当时，没有零点.例2（2018全国卷2理21）已知函数.⑴若，证明：当时，；⑵若在上只有一个零点，求实数.⑴【证】（可不讲）“”即，，且；所以，当时，，即.⑵【解】若，则在上无零点，所以；的零点等价于的零点；（分离参数；指数下沉）先研究函数，得，在上，在上；，并且当时，，所以的草围大致如下，所以当或时，无零点；当时，有唯一零点；当时，有两个零点；以下说明：当时，因为，，所以有唯一零点；当时，利用，得，解得；故取，即有，所以在上有唯一零点；从而在上共有两个零点.【点评】此题第⑵问和2013年陕西卷理科第21题第⑵问类似，题目如下：已知函数，.⑴若直线与的反函数的图象相切，求实数的值；⑵设，讨论曲线与曲线公共点的个数；⑶设，比较和的大小，并说明理由.⑴【解】（可不讲）反函数为，设切点为，则，解得.⑵【解】“两曲线与公共点的个数”等价于函数的零点个数；求导得：，在上，在上，；当时，只有一个零点，即两曲线与只有一个公共点；当时，没有零点，即两曲线与没有公共点；当时，，①当时，由，解得，所以；②当时，由，解得，所以；所以，使得；使得；此时，有两个零点，即两曲线与有两个公共点；综上，若，两曲线一公共点；若，两曲线无公共点；若，两曲线二公共点.⑶【解】（可不讲）构造函数，则；从而在时，，所以；（这也是函数不等式之一）取，则有，整理得，即；综上，.例3（2017全国卷1理21）已知函数．⑴讨论的单调性；⑵若有两个零点，求的取值范围．⑴【解】（可不讲）；当时，，；当时，由得；当时；当时.⑵【解】，根据有两个零点，则需满足，且，由单调性得，即，并且当时，；当时，.当时，，由，解得，故取，即有；当时，函数不等式，由，解得，故取，即有.，例4（2016全国卷Ⅰ理21）已知函数有两个零点．⑴求的取值范围；⑵设是的两个零点，证明：．⑴【解】，易知不符合（自行说明）；而时，在上递减，在上递增，.并且当时，；当时，.当时，，所以让，解得，故取，即有；当时，直接取（不再繁述），即有.

例5（2018浙江22）已知函数.⑴若在处导数相等，证明：；⑵若，证明：对任意，直线与曲线有唯一公共点.⑴【证】因为，所以由得：，即；由基本不等式得，所以；据题意，构造函数，则，在上，在上；因为，所以.⑵【证】等价于证明函数有唯一零点；等价于证明函数有唯一零点；（由，这样的范围可能会起作用）而，分子，所以，在上递减，所以至多有一个零点，从而至多有一个零点；并且当时，；当时，；（但此说法不能作为证明！）若，则，解得；取，则有；若，则，该不等式不难解，但因可正可负需讨论，故再作改变，解得，故取；则有.

【精选练习】1．设函数.若方程有解，求的取值范围．【解】方程有解函数有零点．．时，（函数不等式），所以无零点；时，（观察！）【下一步分析：如何赋值,使得？当时,，解得，说明:若不能确保所得到的，则改用两点式,即（参阅(二)例2分析3）】又且，由零点定理，有零点．时，，所以令，解得（易知是的最大值点）【下一步分析：令，得,无零点．于是剩下，得，又经观察，所以有零点】①时，，所以无零点；②时，，又经观察，所以有零点．综上所述或．2．为正常数，函数，．证明：，使得当时，恒成立．【证1】由函数不等式，用替换得：，即而.今取，当时，.获证．【证2】易证时，①；②；③在上递减（证略）.于是当时，，成立；当时，取（显然），当时，，即，成立．综上，使得当时，恒成立．3．已知，．⑴⑵略⑶当，，若对任意给定的，在区间上总存在使得，求实数的取值范围．【解】易得在上递增，在上递减，故，又，，所以的取值范围（即值域）为．而过定点，．【分析：分别令（无解），……】当时，在上，，单调减，不合题意；当时，由得，当时减，当增，并注意到（函数不等式），从而有．【下一步分析：需证在及上的取值范围均应包含，所以两段上的“赋值”回避不了】事实上，一方面在上，须，即；另一方面在上，存在，使，所以当时，在两个单调区间上的取值范围均包含，所以，必存在，，使.综上，所求取值范围是．

（2023全国甲卷21）已知，.（22题时选做题）⑴若，讨论的单调性；⑵若恒成立，求的取值范围.⑴【解】；换元，结合，构造函数；当时，；即当时，，；当时，；即当时，，；综上，的单调递增区间为；单调递减区间为.⑵【解1】构造函数，；1t1t0a3t1t1t0a3t再构造函数，；所以，；若，则，，，所以，即成立；若，可以证明：当时，，即可以“找到”较小的，使；在时，；由，解得，取，则；所以，存在，使得；且时；时；即存在，使得；且时；时；所以，当时，，，不合题意.综上，的取值范围是.⑵【解2】构造函数，；若换元，则；再构造函数，则；所以，在时，，即（同增异减）；注意到；当即时，，在时，恒成立，符合题意；当即时，，令，解得，令且，；因为，所以存在使，且时，，；此时，，这与对恒成立矛盾.综上，的取值范围是.（2023全国乙卷21）已知函数.⑴当时，求曲线在点处的切线方程；⑵是否存在，使曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由；⑶若在存在极值，