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文档简介

河南平顶山市2024年高三第一次模拟考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A,若|OA|=|OF|,则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.+12.在我国传统文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五个物质类别,在五者之间,有一种“相生”的关系,具体是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个,这二者具有相生关系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.83.己知全集为实数集R,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|log2x<1},则等于()A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)4.函数在的图象大致为()A. B.C. D.5.若双曲线的焦距为,则的一个焦点到一条渐近线的距离为()A. B. C. D.6.若为虚数单位,网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点表示复数,则表示复数的点是()A.E B.F C.G D.H7.向量,,且,则()A. B. C. D.8.若实数满足不等式组则的最小值等于()A. B. C. D.9.设x、y、z是空间中不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、z均为直线;②x、y是直线,z是平面;③z是直线,x、y是平面;④x、y、z均为平面.其中使“且”为真命题的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②10.已知函数是奇函数,则的值为()A.-10 B.-9 C.-7 D.111.已知向量,满足,在上投影为,则的最小值为()A. B. C. D.12.一个组合体的三视图如图所示(图中网格小正方形的边长为1),则该几何体的体积是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设为偶函数,且当时,;当时,.关于函数的零点,有下列三个命题:①当时,存在实数m,使函数恰有5个不同的零点;②若,函数的零点不超过4个,则;③对,,函数恰有4个不同的零点,且这4个零点可以组成等差数列.其中,正确命题的序号是_______.14.已知抛物线,点为抛物线上一动点,过点作圆的切线,切点分别为,则线段长度的取值范围为__________.15.已知点是抛物线的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的点,且,若双曲线C中心在原点,F是它的一个焦点,且过P点,当m取最小值时,双曲线C的离心率为______.16.设双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.(1)求的直角坐标方程和的直角坐标;(2)设与交于,两点,线段的中点为,求.18.(12分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,曲线与直线其中的一个交点为,且点极径.极角(1)求曲线的极坐标方程与点的极坐标;(2)已知直线的直角坐标方程为,直线与曲线相交于点(异于原点),求的面积.19.(12分)如图,在正四棱柱中,,,过顶点,的平面与棱,分别交于,两点(不在棱的端点处).(1)求证:四边形是平行四边形;(2)求证:与不垂直;(3)若平面与棱所在直线交于点,当四边形为菱形时,求长.20.(12分)试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式,其中M,N.21.(12分)已知数列是公比为正数的等比数列,其前项和为,满足,且成等差数列.(1)求的通项公式;(2)若数列满足,求的值.22.(10分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)曲线在点处的切线斜率为.(i)求;(ii)若,求整数的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

以为圆心,以为半径的圆的方程为,联立,可求出点,则,整理计算可得离心率.【详解】解:以为圆心,以为半径的圆的方程为,联立,取第一象限的解得,即,则,整理得,则(舍去),,.故选:B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解,考查学生的计算能力,是中档题.2、B【解析】

利用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】从五行中任取两个,所有可能的方法为:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共种,其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土,共种,所以所求的概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,属于基础题.3、D【解析】

求解一元二次不等式化简A,求解对数不等式化简B,然后利用补集与交集的运算得答案.【详解】解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,

∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},

由log2x<1,x>0,得0<x<2,

∴B={x|log2x<1}={x|0<x<2},

则,

∴.

故选:D.【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算,考查了对数不等式,二次不等式的求法,是基础题.4、C【解析】

先根据函数奇偶性排除B,再根据函数极值排除A;结合特殊值即可排除D,即可得解.【详解】函数,则,所以为奇函数,排除B选项;当时,,所以排除A选项;当时,,排除D选项;综上可知,C为正确选项,故选:C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像,注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用,属于基础题.5、B【解析】

根据焦距即可求得参数,再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线的焦距为,故可得,解得,不妨取;又焦点,其中一条渐近线为,由点到直线的距离公式即可求的.故选:B.【点睛】本题考查由双曲线的焦距求方程,以及双曲线的几何性质,属综合基础题.6、C【解析】

由于在复平面内点的坐标为,所以,然后将代入化简后可找到其对应的点.【详解】由,所以,对应点.故选:C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系,复数的运算,属于基础题.7、D【解析】

根据向量平行的坐标运算以及诱导公式,即可得出答案.【详解】故选:D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用,属于中档题.8、A【解析】

首先画出可行域,利用目标函数的几何意义求的最小值.【详解】解:作出实数,满足不等式组表示的平面区域(如图示:阴影部分)由得,由得,平移,易知过点时直线在上截距最小,所以.故选:A.【点睛】本题考查了简单线性规划问题,求目标函数的最值先画出可行域,利用几何意义求值,属于中档题.9、C【解析】

①举反例,如直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例,如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时.【详解】①当直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时,不正确;②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确;③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确;④如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时,不正确.故选:C.【点睛】此题考查立体几何中线面关系,选择题一般可通过特殊值法进行排除,属于简单题目.10、B【解析】

根据分段函数表达式,先求得的值,然后结合的奇偶性,求得的值.【详解】因为函数是奇函数,所以,.故选:B【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值,考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力,分析问题、解决问题的能力.11、B【解析】

根据在上投影为,以及,可得;再对所求模长进行平方运算,可将问题转化为模长和夹角运算,代入即可求得.【详解】在上投影为,即又本题正确选项:【点睛】本题考查向量模长的运算,对于含加减法运算的向量模长的求解,通常先求解模长的平方,再开平方求得结果;解题关键是需要通过夹角取值范围的分析,得到的最小值.12、C【解析】

根据组合几何体的三视图还原出几何体,几何体是圆柱中挖去一个三棱柱,从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得,几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱,故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积,即,故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题,解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体,然后根据几何体的结构求出其体积.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①②③【解析】

根据偶函数的图象关于轴对称,利用已知中的条件作出偶函数的图象,利用图象对各个选项进行判断即可.【详解】解:当时又因为为偶函数可画出的图象,如下所示:可知当时有5个不同的零点;故①正确;若,函数的零点不超过4个,即,与的交点不超过4个,时恒成立又当时,在上恒成立在上恒成立由于偶函数的图象,如下所示:直线与图象的公共点不超过个,则,故②正确;对,偶函数的图象,如下所示:,使得直线与恰有4个不同的交点点,且相邻点之间的距离相等,故③正确.故答案为:①②③【点睛】本题考查函数方程思想,数形结合思想,属于难题.14、【解析】

连接,易得,可得四边形的面积为,从而可得,进而求出的取值范围,可求得的范围.【详解】如图,连接,易得,所以四边形的面积为,且四边形的面积为三角形面积的两倍,所以,所以,当最小时,最小,设点,则,所以当时,,则,当点的横坐标时,,此时,因为随着的增大而增大,所以的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,考查抛物线上的动点到定点的距离的求法,考查学生的计算求解能力,属于中档题.15、【解析】

由点坐标可确定抛物线方程,由此得到坐标和准线方程;过作准线的垂线,垂足为,根据抛物线定义可得,可知当直线与抛物线相切时,取得最小值;利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标,根据双曲线定义得到实轴长,结合焦距可求得所求的离心率.【详解】是抛物线准线上的一点抛物线方程为,准线方程为过作准线的垂线,垂足为,则设直线的倾斜角为,则当取得最小值时,最小,此时直线与抛物线相切设直线的方程为,代入得:,解得:或双曲线的实轴长为,焦距为双曲线的离心率故答案为:【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题,涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用;关键是能够确定当取得最小值时,直线与抛物线相切,进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.16、【解析】

根据渐近线得到,,计算得到离心率.【详解】,一条渐近线方程为:,故,,.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率,意在考查学生的计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),(2)【解析】

(1)利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程,把点P的极坐标化成直角坐标;(2)把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程,根据韦达定理以及参数t的几何意义可得.【详解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,将ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2=1,设点P的直角坐标为(x,y),因为P的极坐标为(,),所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,所以点P的直角坐标为(1,1).(2)将代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,因为△=1102﹣4×41×25=8000>0,故可设方程的两根为t1,t2,则t1,t2为A,B对应的参数,且t1+t2,依题意,点M对应的参数为,所以|PM|=||.【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.18、(1)极坐标方程为,点的极坐标为(2)【解析】

(1)利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可;(2)只需算出A、B两点的极坐标,利用计算即可.【详解】(1)曲线C:(为参数,),将代入,解得,即曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.(2)由(1),得点的极坐标为,由直线过原点且倾斜角为,知点的极坐标为,.【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积,考查学生的运算能力,是一道基础题.19、(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).【解析】

(1)由平面与平面没有交点,可得与不相交,又与共面,所以,同理可证,得证;(2)由四边形是平行四边形,且,则不可能是矩形,所以与不垂直;(3)先证,可得为的中点,从而得出是的中点,可得.【详解】(1)依题意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面与平面平行,即两个平面没有交点,则与不相交,又与共面,所以,同理可证,所以四边形是平行四边形;(2)因为,两点不在棱的端点处,所以,又四边形是平行四边形,,则不可能是矩形,所以与不垂直;(3)如图,延长交的延长线于点,若四边形为菱形,则,易证,所以,即为的中点,因此,且,所以是的中位线,则是的中点,所以.【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题,和线段长的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相

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