2024辽宁省沈阳市高三上学期质量监测（一）数学试题及答案

2024年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学命题：___________主审：___________本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第I卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.6,8，集合M∣x23x20,N∣x4a,aMðMN1已知集合U，则U（）6,84,86,8A.B.C.D.D.1z1ziz2.设复数z满足，则（）2A.iB.C.1223.曲线处的切线方程为（y=x2在点）yxy2x1A.CB.D.y2x1y3x2，则aaba,b（4已知单位向量a,b满足）2ππππA.B.C.D.3346第1页/共5页5.已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是（A.8B.9C.106.如图，小明从街道的E处出发，到F处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（）D.100）A.8B.12C.16D.24π2π3π37.已知sin1，则cos（）1133D.A.B.C.3333πππ,p3e8.已知，则（）m2e,ne436nmpmpnA.C.B.D.pnmmnp二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下图是离散型随机变量X的概率分布直观图，其中ab,2bc，则（）EX2.3A.aB.D.C.DX0.61D2X1.22F22,0,F22,0p，可以解得双曲线C10.已知双曲线C的两个焦点分别为，且满足条件的方12第2页/共5页x2y24，则条件p可以是（）程为A.实轴长为4B.双曲线C为等轴双曲线yx2C.离心率为D.渐近线方程为23的图象与直线y相邻的三个交点，且,B,Cfxsin0)x(11.如图，点是函数2ππ12BCAB,f0，则（）3A.ω=49π182fB.ππ32C.函数在fx,上单调递减πD.若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为fxx2412.正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（A.B.）23C.2D.5第II卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.6113.2x的展开式中常数项的二项式系数为__________.x4x的焦点为F，若点Q是抛物线C上到点0距离最近的点，则14.已知抛物线C:y2__________.15.sinx1的一个充分不必要条件是__________.第3页/共5页,B,C16.已知是半径为1的球面上不同的三点，则的最小值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.各项均为正数，且2aa25a的12a23217.已知等比数列.n（1）求数列的通项公式；an2nbn2，求证：1n（2）设.n2n118.在中，角,B,C所对的边分别为a,b,c，且b2aca.2（1）求证：B2A；c7ab（2）当取最小值时，求cosB的值.19.如图，在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，且，CBACBD120AC上，点Q在线段CD，点P在线段上.ADBC（1）求证：（2）若；BPQ，求平面的值；（3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值.20.某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：①用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68：②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.第4页/共5页将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.（1）分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.（2）若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.2B,B为椭圆CB，椭圆C21.已知如图，点的短轴的两个端点，且的坐标为的离心率为.1222（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l不经过椭圆C的中心，且分别交椭圆C与直线y1于不同的三点D,E,P（点在线段EDPPO分别交直线2,M,NBMBN.求证：四边形为平行四边形.12于点2fxexxx，其中为实数.22.已知函数（1）若函数eyfx是定义域上的单调函数，求的取值范围；恒成立，求实数的取值范xxfx0的两个不等实根，fxfxln31（2）若围.与为方程1212第5页/共5页2024年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学命题：___________主审：___________本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第I卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.6,8，集合M∣x23x20,N∣x4a,aMðMN1.已知集合U，则U（）6,84,86,8D.A.B.C.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交并补即可求解.M2,N8ðMN，U【详解】由题知故选：A.1z1ziz2.设复数z满足，则（）2A.iB.C.1D.22【答案】C【解析】第1页/共22页z【分析】利用复数的除法解出，由模长公式计算z.1z1z1i1i1i1i1i1iizi，所以z1.【详解】由解得故选：C.3.曲线处的切线方程为（y=x2在点）yxy2x1A.C.B.D.y2x1y3x2【答案】B【解析】【分析】先求在x1处的导数值，即切线的斜率，再写出切线方程.y12x1y2x1，y2x,y【详解】由题知，切线方程为，即x1故选：B.，则aaba,b（4.已知单位向量a,b满足）2ππππA.B.C.D.3346【答案】B【解析】12ab【分析】由向量垂直得到方程，求出，再利用向量夹角余弦公式求出答案.aabaab|a|2ab0，2【详解】由得又a,b为单位向量，12ab，ab12cosa,b，abπa,b.3故选：B.5.已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是（A.8B.9C.10）D.100第2页/共22页【答案】C【解析】r,r,,rr211且r2n1r1，可求r.n1002【分析】设这100个圆的半径从小到大依次为【详解】设这100个圆的半径从小到大依次为，由题意得12100r,r,,rr12，则由题知，121001每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，2n1r2n，则rn2n,100是首项为1公差为1的等差数列，，r1n,99有r2100100r10010.所以，得故选：C.6.如图，小明从街道的E处出发，到F处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（）A8B.12C.16D.24【答案】D【解析】【分析】根据分步分类计数原理即可求解.【详解】中途共三次转向可以分为两类:第一类，先向北走再往东走的情况，即第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转，此时有3412方法，种43第二类，先向东走再往北走的情况上右上，此时共有种方法.故总的方法有24种，故选：D.π2π3π37.已知sin1，则cos（）1133D.A.B.C.3333第3页/共22页【答案】B【解析】33cossin1.22π2π313【详解】由sin1得cossin1，进而可得+22323cossin1，2π61，结合辅助角公式得π63π3π6132cos21，则3故选：B.8.已知πππm2e,ne,p3e，则（）436nmpmpnB.A.C.pnmmnpD.【答案】D【解析】fxecosx，利用导数求得其单调性，结合指数函数的性质即可得解.【分析】观察选项，构造函数xπ【详解】令fxexcosxfxecosxsinxx2exx，则，4ππx,ππ44f(x)>0x,fx0；当时，；当时，24ππ,ππ44所以在fx,上单调递增；在上单调递减，24π4π3π4πffff所以且，62π1π3且2π3π6，即ππππee4e所以所以e4且，62e4e32e42222m,mp，第4页/共22页ππnp又ne3e，所以，p603mnp综上所述，，故选：D.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：12．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下图是离散型随机变量X的概率分布直观图，其中ab,2bc，则（）EX2.3A.aB.D.C.DX0.61D2X1.22【答案】ABC【解析】a,b,c1即可.abcab,bc,abc0.2【详解】由题知解得，A选项正确；所以EX10.220.330.52.3，B选项正确；222DX0.2(20.30.50.61，C选项正确；22Dx2.44，D选项错误.D2X第5页/共22页故选：ABC.F22,0,F22,0p，可以解得双曲线C的方10.已知双曲线C的两个焦点分别为，且满足条件12x2y24，则条件p可以是（）程为A.实轴长为4C.离心率为B.双曲线C为等轴双曲线yx2D.渐近线方程为2【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可.x22y221，则c22.【详解】设该双曲线标准方程为ab对于A选项，若实轴长为4，则a2b2c2a42，符合题意；对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则ab，又c22，a222c8，b可解得a22b4，符合题意；对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；yxab对于D选项，若渐近线方程为故选：ABD.，则，结合a2b2c28，可解得a2b24，符合题意，3的图象与直线y相邻的三个交点，且,B,Cfxsin0)x(11.如图，点是函数2ππ12BCAB,f0，则（）3A.ω=49π182fB.第6页/共22页ππ32C.函数在fx,上单调递减πD.若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为fxx24【答案】ACD【解析】ππ123求得求得，根据的fx求得【分析】令fxx,x,x根据CBCABω=4f0AB23解析式，再逐项验证BCD选项.3π2πx【详解】令fxsin得，x2π或x2π，kZ，233ππ2πxA2πC2+2πxB2π，由图可知：，，3331π1π3BCxx2πxx所以所以，，CBBA3π12π2π，所以ω=4，故A选项正确，33π12π3fxsin4x所以，由f0sin0得，ππ2πkZ，所以，34π所以2π，kZ，34π4π3π3fxsin4x所以2πsin4xsin4x，39π89ππ2312fsin，故B错误.ππ32π5π4x,2ππx,当时，，3335π3π3ππ32ysint在t,2π在fx,因为为减函数，故上单调递减，故C正确；π3将函数的图象沿轴平移个单位得sin4x时向右平移，0时向fxxgx0第7页/共22页ππ为偶函数得gx4πk，Z，32πππ所以，kZ，则的最小值为，故D正确.24424故选：ACD.12.正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（A.B.）23C.2D.5【答案】BD【解析】【分析】分类讨论两个平面的位置，作截面结合正方体的结构特征运算求解.ABCD1a，且其棱长为，【详解】设该正方体为111若考虑4个平面中最中间的两个平面，共有两种情况.A1BDC，如图1所示，11①若中间的两个平面为平面和平面A,,C1则过作截面，截面图如图2所示，26其中E,F分别为AC,C中点，则AEa,AAa,1Ea，1122AE1设相邻两平面间距离即为A到的距离h，122163aaahha，可得，解得22233AE1即相邻两平面间距离即为A到的距离a，33a，解得a3；1可知3第8页/共22页B,C,C②若中间的两个平面如图3所示，过作截面，截面图如图4所示，115M,NBC,Ca,a,1E其中分别为中点，则a，1122BM的设相邻两平面间距离即为B到距离d，111155aaadda，可得，解得222255BM1即相邻两平面间距离即为B到的距离a，55a，解得a5；1则5故选：BD.【点睛】方法点睛：根据题意分类讨论平面的位置分布，结合正方体的结构特征以及截面分析求解.第II卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.6113.2x的展开式中常数项的二项式系数为__________.x【答案】20【解析】x【分析】求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求得答案.r1【详解】此二项式展开式的通项公式为TCr6(2x)6r26rCr6x3r，r1xr2,3,4,5,6，则当r3时，对应的为常数项，故常数项的二项式系数为C3620，故答案为：20.第9页/共22页14.已知抛物线C:y4x的焦点为F，若点Q是抛物线C上到点0距离最近的点，则2__________.【答案】3【解析】0【分析】根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解,由抛物线的焦半径公式即可求解.，F1,0设，其中则Qx,y,A4,000，【详解】由题知00x42y20x20801640x2212,00由于点Q是抛物线C0距离最近的点，，02.013上到点故答案为：3.15.sinx1的一个充分不必要条件是__________.π【答案】x（答案不唯一）2【解析】【分析】根据三角函数的性质结合充分不必要条件即可求解.πx时sinx1【详解】因为，2π由sinx1可得x2π,kZ,2π故sinx1x的一个充分不必要条件是，2π故答案为：x（答案不唯一）2,B,C16.已知是半径为1的球面上不同的三点，则的最小值为__________.1##0.5【答案】【解析】2【分析】根据数量积的几何意义结合二次函数的性质即可求解.,B,C是球面上不同的三点，,B,C不共线，故平面截球面得到的是一个圆，r(0r过球心时，r1.记此圆半径为，当且仅当平面在半径为r的圆中，对于任意的弦AB，过C作CN于N,由向量数量积的几何意义知，当C在如图所示的位置时，第10页/共22页取最小值，12rAB，1ABANABrAB|AB|2则的最小值为2ABr122r，当时，||||取最小值12又r的最大值为1，故所求最小值为.1故答案为：2四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.的各项均为正数，且5a12a2322aa17.已知等比数列.n2（1）求数列的通项公式；an2nbn2，求证：1n（2）设.n2n11an【答案】（1）2n（2）证明见解析【解析】1）利用等比数列基本量计算；12n2n1bn，由1n0得证.（2）根据对数运算求得【小问1详解】2n设的公比为，由q知aq22aqaq，aa232aa24n2511112q，12a2a1a2aqa由得，1211112nn.第11页/共22页【小问2详解】1b2证明：由题知，nn2n2n12n1所以1n10，2n2n12n2n12n12n1n.2n118.在中，角,B,C所对的边分别为a,b,c，且b2aca.2（1）求证：B2A；c7a（2）当取最小值时，求cosB的值.b【答案】（1）证明见解析1cosB（2）3【解析】1）利用余弦定理并结合正弦函数两角和差公式化简即可求解.c7ab233（2）利用基本不等式求得【小问1详解】的最小值时的取等条件ba，再结合余弦定理从而求解.证明：由余弦定理知b2a2c22cosB，又因为bac2acosB，2a2ac，所以a2aca2c22accosB，化简得所以sinAsinCAcosB，因为ABCπ，sinAsinAB2sinAcosB，所以所以sinAsinAcosBcosAsinBAcosBcosAsinBsinAcosB，sinAsinBA，因为Aπ,ππ,BA所以，所以ABA或ABAπB2A.【小问2详解】2a27a2c7aac7a23bba4a43433由题知，2，babab3b第12页/共22页13233a当且仅当ba时取等，又因为b2aca2，所以c，22231a2aaa2c2b2331所以.cosB12ac32aa319.如图，在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，且，CBACBD120AC上，点Q在线段CD，点P在线段上.ADBC（1）求证：（2）若；BPQ，求平面的值；（3）在（2）的条件下，求平面与平面【答案】（1）证明见解析所成角的余弦值.BPBQ3（2）（3）232【解析】1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证，（2.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解.（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【小问1详解】BC于O证明：过A作直线，连接.BD,BO,60由题知，第13页/共22页DBO90BCAO,AOO,AO,BCDO，即，又平面AOD平面AOD，又AD平面AOD，BCAD，即ADBC【小问2详解】平面平面，平面BCDBC平面，ABCBCDBCDAOBC,AO平面平面.以O为原点，以的长度为单位长度，以OD,OC,的方向分别为轴，轴，的正xyzD方向建立空间直角坐标系O，如图，则3,0,0,A3,B0,C0,3,0.BPQACBP,ACBQ平面.3P为AC中点，由题知CD3,3,0,AC,2,0BQBCCD2,03,0设，23323，，233233BQ,0,0BQBCBAABC120，又在中，3所以.2BPQACBP,ACBQ方法二：平面.设BABC2，由ABC120知，BP1.平面平面，平面平面BCDBC,AOBC,AOABCBCD平面，AO平面BCD，又BQ平面BCDAOBQ，又BQ,A，BQABCBQBC平面.第14页/共22页3233BPBQ3BCBCQ30BQ232【小问3详解】由（2）知，平面的一个法向量为AC，nx,y,z.AB3,0设平面的一个法向量为，nABy3z3,1y3,n则令则，nDB3xyACn23|AC||n|2355AC,n，55所成角的余弦值为平面与平面.520.某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：①用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68：②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.（1）分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.（2）若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.【答案】（1）答案见解析（2）该用户选择乙公司出行的概率更大，理由见解析【解析】1）利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，即可得出结论；（2）利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率，比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：设事件M:用户选择甲公司的网约车出行，事件A:用户对等待时间满意，第15页/共22页事件B:用户对乘车舒适度满意，事件C:用户对乘车费用满意.PAPMPAMPMPAM0.320.620.680.780.7288则，，PBPMPBMPMPBM0.320.680.680.610.6324PCPMPCMPMPCM0.320.210.680.320.2848所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.【小问2详解】PPB0.320.68544解：由题知，，PMB0.63241581P0.680.611037PMB，PB0.63241581PMBPMB，故该用户选择乙公司出行的概率更大.所以，2B,B为椭圆CB，椭圆C21.已知如图，点的短轴的两个端点，且的坐标为的离心率为.1222（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l不经过椭圆C的中心，且分别交椭圆C与直线y1于不同的三点D,E,P（点在线段EDPPO分别交直线2,M,N.求证：四边形BMBN为平行四边形.于点212x2y12【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】a,b1）根据条件列方程组求解得椭圆方程；后知OBMBN（2）设直线方程，证明【小问1详解】平分对角线得四边形为平行四边形.12第16页/共22页bca2x2,2y1.a2b21.故椭圆C的方程为由题知解得222a2bc2.【小问2详解】方法一：显然直线l不能水平，故设直线l方程为0，xkytt设，Dx,y,Ex,y,Nx,y,Mx,y1122NNMMxkyt,k2ktyt20222y22由x得，y212020.令得，k2t22ktt222所以1y2,1y2，22kk21y1，得Ptk,1故直线PO方程为y.x，令kt111yx1.DB直线方程为21yxt1ktkktxxM1由得，111xkt1y1kt1yx11ktxxMx,yx,y2xN2将中换成得.112tyk2xktyxkty1221ktxktxxMxN12kt，tytyktykty12kk1212xkty1xktyk1x2txy21221kkytkykytyttkyty1212212ktkt2ktkt2222kt2yy2ktyy1212122k2O为线段MN中点，又O为BB中点，11BMBN为平行四边形.12四边形第17页/共22页方法二：设.Dx,y,Ex,y,Mx,y,Nx,y1122MMNN1112Dyx1，直线方程为xxx00，当直线l的斜率不存在时，设l方程为01Px,1此时，直线yx，PO方程的为001yx0110010y2xMxN,yyxx0，12MN由得，同理yx1ytt0，当直线l斜率存在时，设l方程为yt,得12kx4ktxt20.2222由xy1220令得，12k2t20.412kt22由韦达定理得12,12.212k21tky1代入yt得P,1将kt1POy的方程为x直线111yx1x1tx1t1x得M1由t12y111t11kt1yxx1txN2同理可得.2t12t112xMxN1t212t121xx2ktxxt2t112121t21ktxt22第18页/共22页t42t2222ktxxt1xx20，2121212k212kxx0xxOMN，综上所述，为线段中点，MNMN为中点，又OBB11BMBN为平行四边形.12四边形BMBN【点睛】关键点点睛：证明四边形为平行四边形的方法用对角线相互平分得到.12fxexx，其中为实数.22.已知函数（1）若函数exyfx是定义域上的单调函数，求的取值范围；恒成立，求实数的取值范xxfx0的两个不等实根，fxfxln31（2）若围.与为方程12121,0,【答案