高中物理竞赛-话题6：碰撞与散射问题

PAGEPAGE15话题6：碰撞与散射问题一、两体碰撞在水平面上运动的两个光滑小球发生碰撞时，小球之间的作用力是冲力，作用在小球上的其他力都是常规力，如重力、地面的支撑小球的力等等，一般情况下常规力可以忽略不计。碰撞分为弹性与非弹性碰撞，也可以分成正碰与斜碰，既可以在实验室坐标系讨论，也可以在质心坐标系分析。二、两体正碰正碰是是指碰撞前后两个质点的速度均在两质点的连线上的一种碰撞，参碰的两个质点都在一条直线上运动，速度的正负号就表示了速度矢量的方向。用与表示两个发生碰撞的物体的质量，分别用与表示碰撞前的初速度，碰撞后的速度,是待求的量。忽略所有常规力，则动量守恒给出初、末速度的关系仅有动量守恒不能求出两个质点的末速度，还需要其他条件，按照不同的类型分别求出末速度。三、两体正碰压缩过程压缩阶段：两小球接触后，发生微小的压缩形变，物体各部分速度不同。达到最大压缩后，压缩阶段结束，此时物体各部分都有相同的速度，而且碰撞的两物体速度也相等。在这一阶段冲击力的冲量称为压缩冲量。从开始碰撞到两物体达到最大压缩为压缩阶段称为压缩阶段。四、两体正碰恢复阶段恢复阶段：压缩阶段结束达到最大压缩。如果两物体之间，两物体质元之间没有力作用两物体不再发生形变，没有恢复阶段。如果仍然存在力的作用，存在恢复过程。恢复过程中压缩逐渐变小，恢复过程结束时，两物体之间，两物体内部各质元之间，不再有相互作用力，物体内部各质元之间有相同的速度，两物体之间不再有相互作用力，碰撞过程结束。五、弹性碰撞动量守恒能量守恒1、两体正碰弹性碰撞机械能守恒压缩形变是弹性形变，如同弹簧那样，形变能完全消除。发生弹性形变时，两物体之间作用力做功使动能减少转化为弹性势能。而恢复阶段，相互作用力做功，弹性势能减少，又转化为动能，原来转化为势能的动能又完全恢复为动能。势能和动能都是机械能，能完全恢复，表明只有动能和势能的相互转化，没有机械能和非机械能相互转化。因此弹性碰撞机械能守恒由动量守恒与动能守恒式解得碰撞结束时粒子与粒子的速度2、讨论：利用碰撞末速度表达式,当两个小球质量相等，，由上式得到,表明完全弹性碰撞过程结束时，两个小球互换速度。如果，则有,，碰撞结束静止，而获得速度。如果但,则有,在条件下求出,当，则,。表明碰撞结束后速度反向，而仍然静止。当，则有,表明质量很大的与静止的质量很小的发生弹性碰撞后，的速度不因碰撞而变化，但质量很小的碰撞后获得速度近似入射粒子初速度两倍的速度。利用碰撞结束两粒子速度表达式得到表明碰撞前后两个粒子碰撞后的分离速度等于碰撞前的接近速度。在碰撞过程中，没有外力作用，碰撞前后动量守恒。上式两边除以总质量，得到关系这表明碰撞前后碰撞系统的质心速度不变。两个质点组成的系统，其质心定义式一般写成分量式质心的速度由上式给出是六、两次碰撞如图，球与球发生正弹性碰撞，墙壁也是弹性的。如果两个球的质量分别是、，球的初速度为，球静止，讨论两球只发生两次碰撞时它们质量满足的关系。【分析】球与球球发生弹性碰撞，定量守恒，动能守恒。碰撞后球球会继续与墙壁发生碰撞，然后改变方向，与球发生碰撞。这处决与球与球球的速度，也即与球球球的质量有关。【解】按照动量、动能守恒，求出球与球球发生正弹性碰撞后的末速度分别是可见碰撞后小球球的速度为正，而小球的速度的正负或者为零与两个小球的质量有关系，下面分别讨论。、由式知，两个小球的速度均为正，因此第一次碰撞后两个小球均向右运动。且球球的速度比球的速度大，球球继续向右与墙壁发生正碰后以左行，与以速度右行的球发生第二次碰撞。求出碰撞结束后的速度分别是因为，第二次碰撞后球球的速度仍然为正，因此球球必然右行，与墙壁发生弹性碰撞后以速度左行。如果球球不与球发生第三次碰撞，则要求球的速度。由式求出小球质量之间满足的条件是改写成不仅如此，还要求左行的球球追不上球，即要求，由式，得到关系改写为由与，得到以及利用这两个不等式，以及我们假定的前提。我们得到两个小球只发生两次碰撞的条件是、设质量完全相同的两个小球发生弹性碰撞后交换速度。本题条件给出第一次碰撞后，球静止，球球以速度右行，与墙壁发生弹性碰撞后，以速度左行，与静止的球发生第二此弹性碰撞，结果球球静止，球以速度左行，此后两球不再发生碰撞。、再讨论两球第一次碰撞后按照式，球速度为负而左行，球球右行，球球与墙壁发生碰撞后，以速度左行。要求两个球再发生第二次碰撞，则球球的速度大于球的速度，即，按照式，即要求，或者写成。因为，因此第二次碰撞后，球左行速度加大，球球仍然左行（不会改变右行）且速度减少(少于球左行速度）所有两球不会发生第三次碰撞。总之，在条件下，两个小球只发生两次碰撞的条件是总结以上得到：时刚好碰撞两次。为了使两个小球只能碰两次，且只能作两次碰撞的条件是例1、两次碰撞质量分别为、、限制在光滑导槽内运动。其中的小球以初速度与发生碰撞。求两者再一次发生碰撞时三个小球的速度。【解】讨论与发生碰撞后的速度，利用得到可见，当,方向向右，当,方向向左。而的速度向右。可以与发生碰撞。与发生碰撞后的速度分别是可见当,时，才能够与右行的发生第二次碰撞。此时初条件是求出第二次碰撞后的速度七、完全非弹性碰撞动量守恒机械能不守恒1、两体正碰完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞只有压缩阶段，没有恢复阶段。压缩时发生朔性形变，形变时减少的动能以热量的形式散失到外界。因为没有恢复阶段，碰撞结束后两个物体速度相同因为没有外力作用，动量守恒仍然成立。上式与动量守恒联立解得共同速度完全非弹性碰撞机械能不守恒。可以求出能量损失例2、冲击摆。设摆长为,质量为。在质量为的子弹冲击下，摆的最大偏转角为。求子弹的速度。【解】子弹进入摆后停止下来的过程时间很短。摆还没有明显的偏转，摆线的张力与重力的合力可以看成为零（即使不为零，他们与冲击力相比，完全可以忽略），子弹与摆组成的系统动量守恒。然后，子弹与摆之间的摩擦力做功，把子弹的动能转换为热能，这是一个完全非弹性碰撞。子弹与摆的共同速度，就是其质心速度，动量守恒给出是子弹进入摆后两者获得共同的速度，摆动过程机械能守恒。得到方程其中高度与偏转角之间的关系利用以上三式，求出子弹入射的初速度2、两体正碰一般碰撞介于完全弹性与完全非弹性碰撞之间的碰撞是一般碰撞。这种碰撞不是弹性碰撞那样得到完全恢复，也不是完全非弹性碰撞那样没有恢复阶段。这种碰撞形变是弹性的，压缩阶段转化的动能不是全部转化为非机械能，也不是全部转化为弹性势能。在恢复阶段，转化为弹性势能的那部分又转化为动能。在同样的初条件下，这种碰撞机械能损失比完全非弹性碰撞小。设压缩阶段结束两物体共同速度为，用表示对的冲量，则有方程消去得用表示恢复阶段质点对质点的冲量，则有消去解得由两式得到如果，则，这是完全弹性碰撞的情况。如果(没有恢复阶段的情况完全非弹性碰撞)，此时，正是完全非弹性碰撞的结果。介于弹性与完全非弹性两者之间的情况是定义为恢复系数。则为完全非弹性碰撞，为完全弹性碰撞，而为不完全的非弹性碰撞。利用恢复系数的定义，把写成为联立有关公式解得正碰时末速度为例3、如图质量为的小球与质量的小球都用长为的绳子吊起来，将其中一个小球拉过偏角无初速度释放，它撞击另一个小球，使其产生偏转角度，求两者之间的恢复系数。解：按照机械能守恒求出小球的初速度碰撞结束后小球的末速度为碰撞过程动量守恒由此得出于是按定义八、多次碰撞例4、在倾斜角为的斜面的处斜上抛一个小球，初速度为，速度的方向与斜面成角，设小球运动位于竖直平面内，用表示碰撞系数。如果小球在第次与斜面相碰时回到点，证明如果小球第次碰撞时，小球正好与斜面垂直相碰，证明：。【解】如图，用表示小球第次与斜面相碰的点。并分别用,表示小球第次与斜面相碰后在与方向上的速度。小球仅受重力作用，加速度分别是,设小球由到用时间为,在此过程中小球在方向的位移为零。满足关系求出由此求出到表所用的总时间小球在方向上的速度依次为 把代入求出由求出按题目要求，当时， ,由得到解出这就是要证明的结果。设第次碰撞与斜面垂直，即有关系按照得到化成联立得到九、两体斜碰如果碰撞的两个物体（譬如两个小球）碰撞前两球心速度的方向不与联心线重合，发生的碰撞一定不是正碰，不是正碰的都称为斜碰。发生斜碰时问题比较复杂，如果两个小球的球心速度的方向与两个小球的联心线在一个平面内则是两维问题，不在一个平面时为三维碰撞问题。下面讨论一个比较简单的情况，分析两个大小相同均质光滑的小球在水平面上发生二维斜碰的问题。忽略碰撞期间小球与水平面的摩擦力，以及其它常规力及冲量。把速度在联心线及垂直方向分解，联心线即两球接触点的法线方向，联心线垂直方向就是接触点的切线方向如下图所示。可以把两个小球的初、末速度投影到这两个方向，注意到在切线方向两个小球没有力的作用，则在切线方向各自保持自己的速度不变，即有关系在法线方向利用动量守恒及能量关系得到由此二式解出十、散射角入射粒子质量,初速度,散射后速度为，靶粒子静止，散射后速度为，称初速度方向与末速度方向之夹角为散射角。散射是特殊的碰撞过程，入射粒子与靶粒子之间存在相互作用力(如库仑力、万有引力等)。散射前两粒子距离非常大，同样散射后两粒子距离也非常大，可以不及相互作用力的作用。弹性碰撞，质心速度为为常矢量动量、能量守恒给出把动量守恒方程分别在入射方向(也即质心速度方向)、垂直方向上投影，得到待求的是末速度、或者、共个量，仅有方程是不够的，还要给出另外的条件。对于已知作用力的时候，可以求解散射的轨道方程，来计算出散射角，再计算其他量。例5、证明：在质心参照系中运动质点与静止质点发生弹性散射后，两者速度大小不变，仅是方向发生变化。证明：设质心参考系的运动速度为在质心系中，动量关系有动能关系有（柯尼希定理）解之由此可见，、大小和方向与质量比值有关，两者的方向一定在同一直线上。当然，对于每个质点来说，对于地面参照系的速度大小和方向与质量比值有关。证明:初速度为、质量为的球射向质量为的静止小球，发生弹性碰撞的最大散射角满足关系式。证明：质心系速度为在质心系中两者速度大小在质心参照系中散射后两者速度大小不变，方向发生变化，所以后来的速度为球方向最大偏转发生在其速度与矢径圆相切的位置，如果，则最大散射角为。例6、个相同的小球在光滑的水平桌面上均匀地排成半圆，它们的总质量是。另外一个质量为的球从左边以速度射向最边上的小球。在适当的初始条件下，与所有的个小球依次发生弹性碰撞，最后又径直向左离去。在的极限下，发生上述碰撞要满足什么条件？离开半圆的速度是多少？解：本题中，每次偏角为而质量为的质点与质量为的质点之间发生弹性碰撞时发生的最大偏转角设质心参考系的运动速度为在质心参照系中的入射速度大小在质心参照系中被散射后速度大小不变，方向与原入射方向相反，所以后来的速度为例7、有三个质量相等的质点小球，与中间夹置一个被充分压缩了的轻质短弹簧，并用轻质细线缚在一起(可视为一个小物体)，静止地放置在光滑水平面上．另一个小球沿该光滑水平面射向它们．和相碰撞并粘连在一起运动．后轻质细线自动崩断，使弹簧释放，三个质点小球分成两部分：一部分为小球，另一部分为粘在一起的．已知弹簧被充分压缩时的弹性势能是.为了使被释放出的