广东省13市2024年高三（最后冲刺）数学试卷含解析

广东省13市2024年高三（最后冲刺）数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数满足，则的值为（）A． B． C． D．22．已知函数的一条切线为，则的最小值为（）A． B． C． D．3．已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．4．函数y=sin2x的图象可能是A． B．C． D．5．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（）A． B． C． D．6．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（）A． B． C．1 D．37．已知函数，则的最小值为()A． B． C． D．8．已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论：①在上单调递增；②③在上没有零点；④在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④9．已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（）A． B． C． D．10．设点，，不共线，则“”是“”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件11．函数的大致图象为（）A． B．C． D．12．已知数列满足,且,则的值是()A． B． C．4 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为__________．14．设集合，，则____________.15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．16．将底面直径为4，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若在上是减函数，求实数的最大值；（2）若，求证：.18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．19．（12分）记数列的前项和为，已知成等差数列.（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）记数列的前项和为，求.20．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．21．（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了人，其中女性人，男性人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；（2）根据统计数据建立一个列联表；（3）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.附：22．（10分）已知函数的最小正周期是，且当时，取得最大值．（1）求的解析式；（2）作出在上的图象（要列表）．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由复数的除法运算整理已知求得复数z，进而求得其模.【详解】因为，所以故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.2、A【解析】

求导得到，根据切线方程得到，故，设，求导得到函数在上单调递减，在上单调递增，故，计算得到答案.【详解】，则，取，，故，.故，故，.设，，取，解得.故函数在上单调递减，在上单调递增，故.故选：.【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3、A【解析】

联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可.【详解】联立方程，解方程可得或，不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0，因为，，由平面向量垂直的坐标表示可得，，因为，所以a2-c2=ac，两边同时除以可得，，解得e=或（舍去），所以该椭圆的离心率为.故选：A【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.4、D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．5、C【解析】

取中点，连接，，根据正棱柱的结构性质，得出//，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果.【详解】解：如图，取中点，连接，，由于正三棱柱，则底面，而底面，所以，由正三棱柱的性质可知，为等边三角形，所以，且,所以平面，而平面，则，则//，，∴即为异面直线与所成角，设，则，，，则，∴.故选：C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.6、A【解析】

根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.【详解】由复数的除法运算化简可得，因为是纯虚数，所以，∴，故选：A.【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.7、C【解析】

利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.【详解】由于，故其最小值为：.故选：C.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.8、A【解析】

先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出，判断函数的单调性和零点情况得解.【详解】因为函数在区间内没有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上单调递减.当时，，且，所以在上只有一个零点.所以正确结论的编号②④故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、B【解析】

首先由求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.【详解】由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为,设的内切圆的半径为,则,故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.10、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由于点，，不共线，则“”；故“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.11、A【解析】

利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由判断A选项正确.【详解】，排除掉C，D；，，，.故选：A．【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.12、B【解析】由，可得，所以数列是公比为的等比数列，所以，则，则，故选B.点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为△PF1F2的内心，求点I的轨迹方程．解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，则.直线IF1与IF2的斜率之积：，而根据海伦公式，有△PF1F2的面积为因此有.再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴，离心率e满足的椭圆，其标准方程为.解法二：令，则．三角形PF1F2的面积：，其中r为内切圆的半径，解得.另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：从而有．消去θ得到点I的轨迹方程为：.本题中：，代入上式可得轨迹方程为：.14、【解析】

先解不等式,再求交集的定义求解即可.【详解】由题,因为,解得,即,则,故答案为:【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.15、（-4，2）【解析】试题分析：因为当且仅当时取等号，所以考点：基本不等式求最值16、【解析】

由题意欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h，底面半径为r，则，将侧面积表示成关于的函数，再利用一元二次函数的性质求最值.【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h，底面半径为r，则，所以.∴，当时，的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查圆柱的侧面积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）详见解析【解析】

（1），在上，因为是减函数，所以恒成立，即恒成立，只需.令，，则，因为，所以.所以在上是增函数，所以，所以，解得.所以实数的最大值为.（2），.令，则，根据题意知，所以在上是增函数.又因为，当从正方向趋近于0时，趋近于，趋近于1，所以，所以存在，使，即，，所以对任意，，即，所以在上是减函数；对任意，，即，所以在上是增函数，所以当时，取得最小值，最小值为.由于，，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，．18、（Ⅰ）(t为参数)，；（Ⅱ）1.【解析】

（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ＝4cosθ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．【详解】（Ⅰ）直线l1的参数方程为，（t为参数）即（t为参数）．设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则，即，即ρ=4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）.（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得，即，t1，t2为方程的两个根，∴t1t2=-1，∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-1|=1．【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．19、（1）证明见解析，；（2）【解析】

（1）由成等差数列，可得到，再结合公式，消去，得到，再给等式两边同时加1，整理可证明结果；（2）将（1）得到的代入中化简后再裂项，然后求其前项和.【详解】（1）由成等差数列，则，即，①当时，，又，②由①②可得：，即，时，.所以是以3为首项，3为公比的等比数列，，所以.（2），所以.【点睛】此题考查了数列递推式，等比数列的证明，裂列相消求和，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.20、（1），（2）【解析】试题分析：用零点分区间讨论法解含绝对值的不等式，根据绝对值三角不等式得出，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，只需m+4≤3，得出的范围.试题解析：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．21、（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系【解析】

（1）利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系；（2）填写列联表即可；（3）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．【详解】解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系.（2）列联表如下：戴口罩不戴口罩合计女性男性合计（3）由（2）中数据可得：.所以，在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系.