最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案

被积函数L=1+i²,,故x=c₁其通解为：x=ct+c₂2-6已知状态的初值和终值为x(1)=4,x(ts)=4x(t):欧拉方程：根据横截条件可得：值轨线x(t)。99移动。试证：当泛函取极值时，横截条件为证：根据题意可知，此题属于起点固定，末端受约束情况，由P,将(2)代入(1)式，得：2-13设系统状态方程x₂(t)=u(t),x₂(O)=1性能指标如下：构造H:正则方程：可求得得有(2)若t,自由由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件因为时间总为正值，所以此题无解。3-2设二阶系统的状态方边界条件能指标的极小值：解：由题可知构造H:试求下列性x₁(0)=1,x₂(0)=1试求下列性x₁(2)=0,x,(2)=0由协态方程和极值条件：得代入状态方程得：即,代入初始故i(t)=-x(t)+u(t),x(0)=1哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因5解得于是，最优轨线最优解曲线如下：3-5控制系统试求最优控制μ(t),u,(t)以小值。解：哈密尔顿函数为H=x+μ²+u²+Aμ+3₂(x₁+u₂由协态方程：由极值条件：解得由状态3-6已知二阶系统方程式中构造哈密顿函数为：,由哈密顿函数矛盾),由协态方程有：由所给状态方程及初始条件解得：3-7已知二阶系统方程,式中控制约束为使性能指标解：由题可知按照最小值原理，最优控制应取由哈密顿函数沿最优轨线的变化规律H(I)=H(f)=0可得可以求出u(0)=0由协态方程时(试取),代入初始条,故最优控制为,(O≤t≤3)相应的最优性能指标为999迹x(t)。,解得：u(t)=12t-6,3-28已知系统的状态方程,控制约束为(t)|≤1。由协态方程得：λ(t)=c₁λ(t)=-ct+c₂,知最优控制u(t)最多切换一次，①若u(t)=1时，代入状态方程考虑到初始状态(xo,X):9取开关曲线为过(2,1)的那条曲线，即开关曲线x2试求使系统由已知初态最快地转移到坐标原点的时间最优控制u*(t)和开关曲线。(注：本题书上的x,(t)=-x₂(t)+u(t)是错的，因为按书上的x,(t)得解：本例为二次积分模型的最小时间控制问题。容易判定系统可知最优控制：知最优控制u(t)最多切换一次，具有四种可能：【+1】,【-1】,【+1,-1】,【-1,②同理，若u(t)=-1时，解得：消t得：开关曲线图如下：本题初始点A(1,1),最优控制曲线如上图，最优控制律为{-1,3-33已知受控系,目标集为s={(x,x,)|x²+x²=1,试求由目标集外的任意初态(ξi,5)转移到目标集的时间最优控制律u(t)c解：哈密尔顿函数为H=1+λxs+λu,协态方程边由极小值条件知，最优控制律：u(I)=-sgn[a,()]由相轨迹方程与目标集相切且满足末态要求的相轨迹曲线：ii、当初态(5与)在Q₄区域或y,Uy:上时，知最优控制为3-42已知系统方程x₂(t)=x₁(t),x₂(0)=2,x₂(8)=0控制约束|u(t)|≤1。试求以切换时间表示的时间-燃料最优控制u*(t),使性能指标取极小值，并求最优控制J*。由极小值条件知：9因为初态由状态方程解得：③当t,<t<8时，1,初态为：4-4设二阶离散系统x;(k+1)=2x;(k)+u(k),x₁(0)=1试求使性能指标：x₇(k+1)=x₁(k)+x₂(k),x₂(O)=0②令1,0时：J[x(=1)],xmi₂nt?,代入初始9…9于是本题的最优控制，最优轨线及最优代价分别为：试用连续动态规划求最优控制ua)和最优轨线x(t)。解：解：(1)由题意可得：,将u(t)代入状态方程，得闭环系统方程：代入初始解得：u(t)=-2e'(cost-sint)。,试确定该系统的哈密顿-雅可比方程。解：令哈密顿函数为：代入u(t),得：因为系统是时不变的，并且性能指标的被积函数不是时间的显函数，故则有225-8给下列二阶系统：性能指标极小：解：该题为有限时间状态调节器问题。由题意得：95-10已知系统的状态方程：,性能指标极小：解：该题为无限时间状态调节器问题。由题意得：.R=1,9控，{A,D}可观，故u(t)存在且唯一。函数。其中α>0,F满足式P(A+al)+(A⁷+aD)P-PBR¹B′P+Q=0。iu)=x(O[d~FBR¹B²+F(A-BR`B^F)K()=6-2设有二次积分模型：x,()=u(1),性能指标：,]所以，{}可控，{}可观，{}可观，故可以构造渐近稳定的最优输最优性能指标：6-3已知系统的动态方程：y(t)=[10]x₁(t)试求使性能指标极小并使闭环系统渐近稳定的最优控制u()。].9解得闭环系统特征值为：所以闭环系统是渐近稳定的。6-10设用控制系统可以自动地保持潜艇的深度，潜艇从艇尾水平角0α)到实际深度●●●●●●●●●●●●●●●●●(指标t,构造哈密顿函数：根据极小值原理可知，相应于正常弧段的最优控制为如下邦-邦邦-邦弧段满足下列正则方程：函数H线性依赖于u,所以可能存在奇异弧。在奇异弧上必有：解方程组知：得异最优解：,即系统有奇异解。8-6已知系统方程试用奇异调节器方法求奇异最优控制u(t).此时u*(()=-K,()A(I)x(I),式中K(Q)=[B'QBJ'B'[A^P+Q]=[-1-2],即u*(I)=-K₁(Dx₁(I)=[12]x;(),9-3设随机系统状态方程为：x(t)=F(t)x(t)+G(t)u(t)+w(t)试证明：x(t)的均值和方差阵分别为：证明：x(t)的均值满足以下矩阵微分方程：其解为：证得一式。=E[(x₀-E[x(t₀)])(x₀-E[x(t₀)])′]应满足P(t)=F(t)P(t)+P(t)F⁷(t)+G(t)Q₀(t)G¹(t)Px(t,t+t)=P(t)φ⁷(t+t,t)又可得证毕。9-5设随机系统方程为式中w(t)与v(t)为互不相关的零均值高斯白噪声，其方差为q²和r²。试求最优控制u(Q),使下列性能指标极·:式中p>0。解：依据定理9-7(线性连续随机系统分离定理),可知而P(t)满足下列矩阵微分方程及其边界条件：解…出P(t₁)=PA(t₀)=m₀(6)式中增益矩阵●●●●●P(t₀)=P₀ 其中,a=r√²+q²……(9) 将(9)式代入(7)式得到：其中 将(5)式和(11)代入(1)式，即可算出最优控制u(t)=-K(t)A(t)=……φ(k+1,k)P(k|k-1)H(