小学数学教学论-数与代数的教学-教学课件

小学数学教学论（第三版）第一节

数与代数教学的意义、内容和要求第七章数与代数的教学第一节数与代数教学的意义、内容、和要求一、“数与代数”教学的意义（1）学生认识数学与现实生活的紧密联系。小学数学的内容很多具有明显的实际背景，与日常生活联系密切，可以解决一些实际问题。（2）初步学会探索现实世界中的数量关系及其变化规律认识利用符号表示数及数量关系，揭示存在于一类数学问题中的共性和普遍性，让学生初步学会探索现实世界中数量关系及其变化规律。（3）树立辩证唯物观，初步学会利用科学的观点认识现实世界小学数学教材中存在着许许多多的既对立又统一的知识点，如整数和分数的对立统一；加法和减法、乘法和除法的对立统一；精确和近似的对立统一；变与不变的对立统一；在研究过程中，也充满了对立与统一，例如，已知与未知、特殊与一般、具体与抽象等。同时，在正、反比例变量与函数的研究中，还充满着运动、变化的思想。二、“数与代数”教学内容1.数与代数历史简介在不同的时代中，数学知识常有其特定指称与范畴。很久很久以前，人们还没有发明数字的时候，人们用身体、工具表示数、数数。微积分的原文”Calculus”是指用于计数及赌博的一种小石子；在现代数学中，它有「计算」、「数出」以及「指出」的意思。大约在公元前770年至前221年，春秋战国时期，我国已出现了用算筹记数，并采用位置记数法．所谓算筹，有时也称“算”或“筹”，是指用来记数或计算的一种竹制的工具(小竹棍)，除了用竹制之外，也有木制的，骨制的，甚至讲究的还有用象牙制作的．中国算筹「代数」一词之英文名称「Algebra」，它源于公元830年花拉子米(Khwrizmi公元783-850年)所使用的阿拉伯文「al-jabr」，为纪念花拉子米诞生1200年发行的邮票。早在古埃及与巴比伦时期，代数想法即被视为已经出现。其实当时的解题过程是利用文辞叙述与记录，直到十六世纪，代数才发展出符号化的特质。

李善兰（1811－1882），浙江海宁人数学、天文、植物学家他将“Algebra”译成“代数”译《代数学》13卷；与伟烈亚力合译《几何原本》后9卷“代数学”的来历“2022年版课标”确定小学数与代数的教学内容：在小学阶段包括“数与运算”和“数量关系”两个主题。学段之间的内容相互关联，由浅入深，层层递进，螺旋上升，构成相对系统的知识结构。（二）“数与代数”的教学内容将数与运算整合成一个主题，有助于从整体上理解数和运算，为学生从整体上把握和理解数学知识与方法，形成数感、符号意识、运算能力、推理意识等核心素养提供基础。“数量关系”主题突出了问题解决的内容载体和问题解决能力培养。数量关系的重点在于用数和符号对现实情境中数量之间的关系和规律进行表达，凸显用数学模型解决现实情境中的问题。1.关注“数与代数”知识的形成过程（1）结合生活情境和数学活动，引导学生经历符号化过程，认识到引入符号的必要性。（2）以数学活动为主线，强调学生的动手实践和经历数学活动过程，注重亲身感受。（3）经历“数与代数”知识的“再创造”的过程。三、“数与代数”的教学要求2.突出“数与代数”的背景生活实际背景生产实践背景数学历史发展背景

1.学生的认识，从具体操作上升到抽象的算法，需要借助表象。（三）重视直观感性材料的作用2.借助直观，实现算法多样化122436==3

借助现代教育技术，实现数学问题从静态转化为动态的活动过程第二节数与代数概念与技能教学一、数感数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。能够在真实的情境中理解数的意义，能用数表示物体的个数或事物的顺序；能在简单的真实情境中进行合理估算，作出合理判断；能初步体会事物背后简单的规律，能用数表达这样的规律。数感是形成抽象能力的经验基础。建立数感有助于理解数的意义和数量关系，初步感受数学表达的简洁与精确，增强好奇心，培养学习数学的兴趣。（一）数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。数学的本质是：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。数量之间最基本的关系是多与少，与此对应，数之间最基本的关系是大与小。数感包含数字、运算、数字与运算之间所产生关联的复杂组合。数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。直观（intuition）是直接的认知反应，不用经过太多思考过程，依据已有知识直观推理，很快出现的想法，但仍有其合理性。直观让学生能摆脱数学形式规则的束缚，丰富学生在抽象层次上的观察力与想象力，灵活运用数学解决日常生活问题。学生在日常生活情境中，会判断他所计算出的结果是合理的。例如：49+49=818，有的学生会认为这个答案是合理的。但如果告诉学生一个价值49元的文具盒，学生可以很快直观发现：两个文具盒总共是818元是不合理的。因此，实际情境可以提供重要线索帮助学生直观判断计算结果的合理性。（二）理解数感1.能够在真实的情境中理解数的意义，能用数表示物体的个数或事物的顺序学生透过具体模型或实践活动协助学生认识数与运算的关联。知道学校礼堂的主席台上无法站上2000个人。一般人无法背起200公斤的重物，或一般的教室无法站立1000个人。2.能在简单的真实情境中进行合理估算，作出合理判断（1）合理估算估算是个体未经过精确计算而只借助原有知识对问题提出粗略答案的一种估计形式，是心算、数概念和算术计算技巧之间相互作用的过程。估算包括三种基本的思维过程：数据重塑、算式转换、盈亏互补数据重塑数据重塑是指改变数据或数据类型以达到简化计算目的的思维过程将题目中某些数字向最近的整十、整百、整千调整，计算927÷46时，对927和46取大约值，得到900和45，接着计算900÷45，就可以得到估算答案20。算式转换算式转换是指改变问题的算式结构或运算顺序以利计算的思维过程计算447×6÷53时，对447和53取大约值450和50，接着调整运算顺序为450÷50×6，快速得到估算结果54。盈亏互补盈亏互补是指在数据重塑或算式转换之中或之后，根据实际情况对估算结果进行适当调整以达成估算目标的思维过程。比较320×189与64000的大小时，取189的大约值为200，接着计算320×200，得到估算值64000，因200比原数值大，因此320×189的实际值一定比64000小，这一思维过程与问题背景和问题目标是有紧密关联的。通过比较估算值和实际值的大小，弹性变更估算值，提高答案精确度。针对不同的问题情境下，学生能依据题意的需求进行有效的判断，并能发展最合适的解题策略，具备检验答案合理性的能力。能透过估测、情境及对数字意义与运算的理解去判断答案的合理性。例：一根旗杆有11层楼高，大约是多少米？具备数感的人知道一层楼的高度约3米，所以旗竿的高度大约是33米。（2）合理判断3.能初步体会并表达事物蕴含的简单数量规律让学生用顺时针与逆时针方向旋转构建出两组数，这样构建出的两组数，每组数的和（=165）竟然相等，十分奇妙三阶幻方你还有想法吗？幻方拓展4.数感是形成抽象能力的经验基础数量是对现实生活中实物量的抽象。学生具有良好的笔算能力并不代表他们能发展良好的数感，他们对运算法则背后所蕴含的数学意义很可能一知半解。数感的基础就是在于学生本能的直觉及确信数学是有意义的。数学不只是概念、公理、法则的集合，探寻多种方法解决问题，提高数字的分解与合成的能力，例如计算36×25=？可以直接竖式计算；还可以将36分解为9×4×25＝9×100＝900。（三）建立数感的意义建立数感有助于学生理解数的意义和数量关系，初步感受数学表达的简洁与精确，增强好奇心，培养学习数学的兴趣。具有良好数感的人会表现出熟练运用各种问题解决策略，选择这些策略取决于所涉及的具体数字，决定如何进行特定的心理计算或估算.引导学生使用参考值对事物进行估算或估测.（一）自然数在文字出现以前，人类就已形成数的概念，最初是用石子、贝壳等实物采用“一一对应”的方式来记录物体的数量。由于石子、贝壳容易丢失或搞混，逐渐发展到“结绳记事”、“刻痕计数”二、自然数、分数、小数遇到一个较大的数时，这种方法就比较麻烦，于是出现了进位。历史上出现过2，5，6，12，20，60等进位方法。认识数（指自然数）的教学策略包括以下几点：第一，认识数教学以理解数的意义为重点。第二，让学生在生动具体的情境中认识数。第三，理解数的意义要与数的读写和计算紧密结合起来。第四，了解十进制计数法对理解数的意义有重要作用。为了理解分数的本质，教师必须了解分数的发展历史，认识分数的来源及发展历程。分数一词来自拉丁文的“fractio”，它的意义是分开，通常用来描述一个被分开的全体之各个部份。分数产生于测量过程（整体或一个单位的一部分）和计算过程（除不尽时得到分数）。（二）分数

1.分数的含义③子集和集合。当全体是离散量时，分数的意义为子集和集合的关系，此时将分数表征成一个集合（离散量）等分后，其中的几组与该集合相对比较的关系。此时单位量的确认是个难点。也是掌握分数的关键点之一。例如：「□□■」黑色部分占全部的1/3。④数线（numberline）上的一个数值或点。⑤比值。⑥公理化定义：有序的整数对：(p,q),其中p≠0还有：⑦单位量概念。⑧等值分数。2.分数概念教学策略①充分利用『具体操作物』和配合学生生活相关的『真实情境』作为教学背景。②在进行分数的教学时，教师应呈现更多元的表征，在这些表征间建立同构后，促进分数概念的学习。③深刻认识单位量概念。小数的概念起源于测量和分数的部分全体关系，其记数系统又是从整数的十进制制扩充而来。我国是世界上最早认识、应用小数的唯一文明国度，被誉为发现分数、小数的世界冠军。（三）小数发明现代小数点的人是数学家克拉维斯（C.Clavius，1537～1612年），他的《星盘》1593年出版于罗马，这本书使用了小数点，即把小数点作为整数部分与小数部分分界的记号。克拉维斯发明的小数点“．”，在欧洲刮起了一股旋风，很快在全欧洲得到普及。1.认识小数通常认识小数也分为两个阶段：第一阶段是小数的初步认识。特点是：联系生活实际中具体的量来认识小数；以一位小数为主；不定义小数，只描述为，像0.6、0.8、1.08这样的数叫做小数。（1）给出小数的定义，分母是10、100、1000分数，可以用小数表示。（2）再次扩展数位顺序表，建立十分位、百分位、千分位…的概念。（3）运用小数的计数单位分析小数的组成，小数的性质，比较小数的大小。（4）把非整万（亿）的大数改写成以万（亿）为单位的小数等。第二阶段较系统地认识小数的意义。特点是：①建立小数与分数、整数的联系充分运用生活经验，建立小数概念;②“数形结合”教学小数的知识;③建立小数与分数、整数的联系.2.小数概念的教学策略三、负数现实世界中存在着许多具有相反方向的量，或某种量的增大和减小，也可用这种量的某一状态为标准，把它们看作是向两个方向变化的量。负数的概念是源于日常生活里的“亏损”、“不足”、“负债”以及计算的需要等。中国是认识和使用负数最早的国家。据早在2000多年前的《九章算术》记载，那时的人们就有了“粮食入仓为正，出仓为负；收入的钱为正，付出的钱为负”的思想。四、理解算理，掌握算法（一）算理与算法计算的算理是说明计算过程中的依据和合理性，也就是为什么这样计算。算理是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识。计算的算法是说明计算过程中的规则和逻辑顺序，它通常是算理指导下的一些人为规定。学生在学习计算的过程中明确了算理和算法，就便于灵活、简便地进行计算，计算的多样性才有基础和可能。算理为算法提供了理论指导，算法使算理具体化。如两位数笔算加法运算法则：“数位对齐，从个位加起，个位相加满十就向十位进一。”规定了两位数竖式加法的写法、算法和计算的先后顺序。其中“数位对齐”、“个位相加满十向十位进一”的理论依据是“记数的位值制原则”，不同位置上的数字计数单位不同，相同单位的数字才能相加(算理)。还要注意两点：一是强调算理的教学，但并不等于每种算法都要让学生把算理表达出来，对于有的算理，小学生是难以表述的，只要让学生能意识到它就行。二是通常不需在计算教学中把算理提出来进行专门的教学，而是把它蕴藏在计算过程之中，让学生在计算中明确这样算的道理。（二）直观形象的算理向抽象算法的过渡案例1：“一位数乘两位数的笔算”教学（苏教版课程标准实验教材二下）（三）算法多样化1.算法多样化的目的提倡算法多样化，鼓励与尊重学生的独立思考，为学生搭建交流各自想法的平台。“算法多样化”不单单是要“多样”，而必须是要“有用”。2.算法多样化与一题多解之间的差异算法多样化是让学生用自己的方法(喜欢、运用自如的方法)去解决问题，是问题解决策略多样化的一种重要体现；一题多解是要求每个学生对同一道题要用多种方法来解答，如一道应用题，要求学生用整数、分数、方程、比例、图形等种方法解答，这是考查学生不同知识技能掌握的情况。算法多样化是指群体的算法是多样的，通过交流，使学生体会到在解决问题时，存在着各种不同的算法。3.算法多样化与算法最优化之间的关系最优方法的获得，常常是建立在多种方法的比较基础上的。以往的数学教学是以提倡“算法最优化”的方式来展开的。这里的“算法最优化”，是以成人甚至数学家的观点看，或者说是从数学的角度看是最优的。学生呈现的计算思维方式是各不相同的，不同思维所体现的不同计算方法各有特色。①破十法:把13分成10和3，10－9=1，1+3=4;②拆减数:把9拆成3和6，13-3=10，10－6=4;③想加算减法:因为9+4=13，所以13－9=4;④减十加一法:13－10=3，3+1=4;⑤放大相减法:先算19－9=10，9－3=6，10-6=40案例1：教学20以内的退位减法13－9=？4.判定算法多样化的维度判定算法多样化的三个维度：一是从心理学维度看，多数学生喜欢的方法；二是从教育学维度看，学生容易理解并易于应用的方法；三是从数学学科维度看，对掌握后续数学知识和解决问题是有价值的方法。5.

算法多样化的优势这种教学方式有以下几方面的优势：①自己发现解法有助于数学直觉和数学意识的培养；②发现解题策略的过程有助于学生对运算和位值概念的理解，加强新旧知识的联系；③算法的多样性还有助于培养学生的心算技能，事实上，学生自己发现的各种算法策略往往比正规的书面算法规则更适合于心算；④算法的多样性也有助于提高思维的灵活性，学生往往能够根据具体的情形灵活地选择合适的算法策略；⑤需要学生自己去发现算法的问题一般都没有现成的解题思路；⑥有助于培养学生的数学学习兴趣；⑦学会对问题及问题解决过程的多元表征，并能够灵活地从一种表征方式转换为另一种表征方式。五、运算技能（一）儿童形成运算技能的基本特征1.儿童掌握计算规则的特点儿童对运算意义的理解，是以自已生活情境为基础的实践活动开始的。2.从实物表征运算发展到符号表征运算童在最初学习运算规则时，往往要依靠实物的表征，是通过对大量的以实物为表征的“计数”运算活动，逐步概括出更为一般的运算规则。（1）“会”运算的特征（2）

运算“比较熟练”的特征（3）运算“熟练”的特征（二）儿童形成运算技能的基本表征六、比和比例（一）比、比例概念柏拉图学派的欧多克斯（Eudoxus)是成果颇丰的数学家，他在数学方面最大的功劳是创立了比理论。欧多克斯定义了两个量的比，相等的比彼此是成比例关系的。在小学阶段，学生主要掌握比例、比例的基本性质、正比例、比例尺等。教学这部分内容时，要利用实际生活中的问题创设问题情境，让学生理解比的意义。要使学生理解比例的意义，认识比例的各部分名称，掌握两个比组成比例的条件，理解比例的基本性质，会根据比例的基本性质解比例。案例：比例的意义和基本性质(片段)

（二）正比例、反比例正比例、反比例概念就是反应的两种相关联的量之间的变化关系，实质上就是简单的函数关系。这部分内容从事物的运动、变化的角度研究数量之间的比例关系，以小学生能接受的形式和表达方法介绍初步的函数思想。

第三节数与代数解决问题教学一、数的认识与运算解决问题教学（一）自然数1．解决20以内的进位加法和退位减法的问题

任何复杂的题都是由一个个简单的问题组合而成的，无论是两位数乘除两位数，还是两位数乘除三位数，或其他更复杂的计算题，它们的基础都是“20以内的加减法”。实践表明“笔算的错误”大部分是由于“20以内加减法”不过关。（1）解决20以内的进位加法的问题①凑十法②数数法③推算法④减补法（2）解决20以内的退位减法问题①还原法②破十法③推算法2.解决多位数进位加法和退位减法问题（1）解决100以内进位加法问题在理解算理基础上，掌握运算法则：把相同数位对齐，从个位加起，个位相加满十，向十位进1，也可以从十位加起。（2）解决100以内退位减法问题计算方法：把相同数位对齐，从个位减起，如果个位不够减，就从十位退1，从十位退1作10，再减。退位减法是笔算减法的难点，特别是解决连续退位的减法问题的计算步骤和思考过程复杂，学生易出错。（3）解决其它多位加法、减法问题（1）解决乘法问题除了九九表乘法以外，这部分乘法内容主要分为五个方面：3.解决笔算乘、除法问题用两位数做乘数的难点在于两个部分积的对位问题。多位数乘法的基础是乘法和加法两步计算，特别是乘过以后有加法，又要进位的，学生比较难掌握，因为它既要熟练掌握乘法口诀，又要熟练掌握加法口诀，思维过程比较复杂，学生较难掌握。传统的“竖式乘法计算”是一种高度有效的计算方式,但由于形式过于简化和抽象,因此,学生理解困难。（2）解决除法问题除法是比较困难的，主要原因：①竖式的书写形式特殊。②运算思考方法复杂。③计算困难。除法运算首先要试商，如果学生没有一定的口算能力，试商是非常困难的。除的结果往往有余数，看了商数，还要看余数，还要考虑商书写的位置。1.分数加减法分数加、减法的意义与整数的完全相同；人教版数学教材五年级下册(2023年版)

（二）分数为什么要通分？

2.分数乘除法（1）分数的乘法分数乘整数，其意义与整数乘法相同，因此可以运用连加法建立法则。学生着重理解“用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”的算理。

【参见案例：4-5】案例：7-7（2）分数的除法分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。分数除法运算的基础是学生对倒数的认识。先让学生学习分数除以整数。

案例7-8（三）小数1.小数加减法（1）小数点的垂直排列提供的加、减运算法与整数的加、减运算法相似。（2）小数加减法的意义同整数加、减法的意义是相同的，进位与退位问题也是难点，学生会感到小数减法比较难掌握。要从解决带计量单位名称的加减问题扩展到解决抽象的小数加减问题,重点要解决小数部分位数不同的小数加、减法问题,特别是在整数减小数时,要关注数位该如何对齐。重点解决小数部分位数不同的小数加、减法问题，特别是，在整数减小数时，要关注数位该如何对齐。2.解决小数乘除法问题（1）解决小数乘法问题①做小数乘法，先把小数转化为整数，再做整数乘法，最后在整数积上点上小数点。（1）解决小数乘法问题①做小数乘法，先把小数转化为整数，再做整数乘法，最后在整数积上点上小数点。②虽然目前教材安排小数乘法在前,分数乘法在后,但是将来还是可以让学生从分数乘法的角度认识小数乘法。2.解决小数乘除法问题③解决小数乘法问题的图形表征利用直观图形建立小数乘法计算的图形模型。例如,用画图的方法来解决这个问题:0.3×0.2=0.06,为什么越乘结果越小了?（2）解决小数除法问题小数除以整数是学习小数除法计算的基础，一定要让学生弄清算理，切实掌握。除数是小数的除法是小数除法的重点内容，教材在编排时重点突出怎样把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。例如：教师把4元人民币平分给5个学生，每个学生可拿到几元？“2022年版课标”提出：初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。二、数的概念与运算的一致性整数、分数、小数本质上是一个整体：从数形成与发展的角度而言，整数除法运算出现不够除的情形，产生了分数，分数运算不方便，产生了小数；从数组成的角度而言，整数、分数、小数均是基于“计数单位”建构的，也即数都是“多少个计数单位”。从运算算法的角度而言，所有运算都可以还原成计数单位与计数单位运算（个别运算，计数单位不参与运算）、计数单位上的数字（本质上是计数单位的个数）与计数单位上的数字运算，加法口诀、乘法口诀是所有算法的基础。无论整数、分数还是小数，加减法运算的一致性体现为：相同计数单位上的数字相加减，计数单位不变。例如：234+45=200+30+4+40+5=2（百）+（3+4）（十）+（4+5）（个）=279。分数相加减，均是“相同计数单位上的数字相加减”，这与整数运算保持了一致。小数四则运算的算理、算法既可以基于整数的算理、算法，也可以基于分数的算理、算法，这充分显示了小数的“两栖性”。无论基于整数加减，还是基于分数加减，均是“相同计数单位上的数字相加减”。乘法运算的一致性体现为：计数单位与计数单位相乘，计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘。类似整数乘法，小数乘法：例如，0.36×0.2=（0.3+0.06）×0.2=0.3×0.2+0.06×0.2=（3×2）×（0.1×0.1）+（6×2）×（0.01×0.1）=6×0.01＋12×0.001=0.06＋0.012=0.072。24×12=24×（10＋2）=24×10＋24×2例如24×12=？（一）常见数量关系常见三种数量关系：总量=分量+分量、总价=单价×数量、路程=速度×时间；“归一问题”中单一量不变（即每份数不变问题），也就是前后两次的商一定，所以要先求单一量。三、数量关系问题解决教学例如，小林读一本故事书。三天读了24页，照这样的速度，填写表格？（1）修路队修一条长1800米公路，前5天修了600米，照这样计算，一共要修多少天？（工作总量÷工作时间=工作效率）（2）甲乙两地相距1800千米，李叔叔前5小时行了600千米，照这样的速度，一共要行几小时？（路程÷时间=速度）（3）王阿姨带了1800元钱买水杯，5个水杯600元钱，照这样计算，一共可以买几个这样的水杯？（总价÷数量=单价）虽然问题情境在变，表征的具体数量关系在变，但是数学模型没有变。类似模型：本金×利率=利息，收入×税率=纳税额，原价×折扣=现价。这类问题属于“总数÷份数=每份数”的基本模型。三个问题：（二）正比例、反比例解决问题教学在教学中，教师要注意一下几点：1.用列举数字的方法揭示正反比例的意义。2.用正反比例关系式（公式）判断成正反比例的量。学生学会从动态的角度理解相关联的量；能够从数量的动态变化中发现不变的关系；从具体到抽象，将对正（反）比例意义的感性认识上升为理性认识；在去情境化条件下，具备判断正（反）比例的能力。3.作正反比例图像。（一）探索数运算的规律四、探索规律教学案例7-11：十一月裙子的价格比十月降了20％,十二月裙子的价格比十一月又涨了20％。那么裙子十二月的价格和十月比是涨了还是降了？变化幅度是多少？解：假设十月份价格为100元，那么，100×(1-20％)=80（元），80×(1+20％)=96（元），96<100裙子十二月的价格和十月比是降了。变化幅度为（100-96）÷100=4％。（二）探索数量变化规律五次价格变化学生经过归纳推理发现：最后的变化幅度是上面两个变化幅度的乘积：变化幅度=a％×a％。第四节数与代数思想方法教学第四节数与代数思想方法教学整个小学数学教材贯穿着两条线，一条是数学知识（明线），另一条是数学思想方法（暗线）。有了数学思想方法，数学知识就不再成为孤立、零散的东西，数学方法也就不再是死板的教条。一、数与代数中蕴含的函数思想(一)小学数学中涉及的函数小学阶段所涉及的函数（在变化过程中只考虑两个变量，即一元函数）主要有：①正比例函数（y=kx，其中是k大于零的常数）；②和、差不变时，两个“加数”之间是特殊的一次（线性）函数关系;③正方形、圆的面积公式中，面积是边长（半径）的二次函数;【④反比例函数。】（二）数与代数教学中渗透函数思想在小学阶段没有出现“函数”这一概念，但在整个小学阶段的数学学习中渗透着函数的思想。凡是有“变化”的地方都蕴涵着函数思想。函数的核心即是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是‘过程’，不变的是‘规律’”。教师引导学生发现规律并将规律表述出来，就是函数思想在教学中的渗透。具体来说，函数思想体现于：①认识到这个世界是普遍联系的，各个量之间总是有相互依赖的关系；②在“变化”中探寻“数学规律”；③在“规律”中追求“有序”、“结构化”、“对称”等思想；④感悟“变化”有快有慢，有时变化的速度是固定的，有时是变化的；⑤根据“规律”判断发展趋势，预测未来，并掌控未来，即“预测”的思想。二、数与代数中蕴含的数形结合思想（一）数形结合思想著名数学家华罗庚指出：数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离。

（二）数与代数教学中渗透数形结合思想1.运用数形结合思想促进学生理解数与代数概念与性质数学概念抽象且难以理解。在数学概念的认识过程中,引导学生利用“数形结合”,使抽象的概念直观化,这是理解数学概念的重要方法。0.2与0.20的表示分数的表示

2.运用数形结合思想促进学生理解算理将数量关系转换成图形,以便学生把数量关系形象化,再根据对图形的观察、分析、联想,逐步转换成算式,达到问题解决的目的。

3.运用数形结合思想促进学生解决数与代数问题三、数与代数教学中渗透化归思想化归是指问题之间的相互转化。想要解决问题A，可将它转化为解决问题B，再利用解决问题B的解答去完成问题A的解答。化归也就是把复杂问题化为简单问题；把陌生问题转化为熟悉的问题；将一个问题转化为另一个问题；将问题的一种形式转化为另一种形式。在讨论小学数学问题时，如果能恰当处理好问题的转化，往往可化难为易，化繁为简。异分母分数加减法化归为同分母分数加减法，异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等。小数乘除法中蕴含化归思想：把不熟悉的小数乘法转化成我们熟悉的整数乘法来计算。小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法。四、数与代数教学中渗透归纳推理归纳推理是由个别到一般的推理，小学数学中的许多概念、法则、公式都是运用归纳推理，从特殊事实得到一般原理，即通过一些学生熟知的个别生活实例或数学问题，再进行观察，比较、分析、综合，归纳出一般结论。【第三章79页】归纳推理包含以下要素:

(1)展示诸多数学对象,根据适当标准进行分类;

(2)通过分析与比较,区分数学对象间的某些相似性(共同性)和差异性;

(3)提出猜想