专题15 观察、猜想与证明题（解析版）

专题十五观察、猜想与证明题一、单选题1．（2022·江苏·九年级专题练习）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（

）A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大【答案】C【分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．【详解】A.，16的4次方根是，故不符合题意；B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；C.设则且当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；D.由的判断可得：错误，故不符合题意．故选．（2021秋·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图5中三角形的个数是()A．8 B．9 C．16 D．17【答案】C【详解】分析：由图可知：第一个图案有三角形1个；第二图案有三角形4个；第三个图案有三角形4+4=8个；第四个图案有三角形4+4+4=12个；第五个图案有三角形4+4+4+4=16个．故选C．3．（2022秋·江苏苏州·九年级校联考期中）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A． B．﹣1 C． D．【答案】B【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，故选：B.4．（2021·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可解题．【详解】根据题意得，2条直线最多将平面分成4个区域，3条直线最多将平面分成7个区域，4条直线最多将平面分成11个区域，5条直线最多将平面分成16个区域则，，，经检验n=20是原方程的根故选：C．5．（2020春·江苏镇江·九年级校考阶段练习）定义一种关于整数n的“F”运算：一、当n为奇数时，结果为3n＋5；二、当n为偶数时,结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n＝58,第一次经F运算是29,第二次经F运算是92,第三次经F运算是23,第四次经F运算是74……，若n＝449,求第2020次运算结果是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【答案】A【分析】设449经过次运算结果为，根据运算规则求出部分、、……的值，根据数值的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．【详解】解：设449经过次运算结果为，则，，，，，，，，且为整数）．∵2020为偶数，．故选：A6．（2022·江苏宿迁·统考二模）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得：，，则可得，则可得，再利用，进行计算即可．【详解】∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点；∴令x=n，可得∶纵坐标为，纵坐标为，，，．，．故选D．二、解答题7．（2022秋·江苏·九年级期中）阅读理解：转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．例如：解方程解：两边平方得：解得：，经检验，是原方程的根，代入原方程中不合理，是原方程的增根．∴原方程的根是．解决问题：（1）填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为；（2）求满足的x的值；（3）代数式的值能否等于8?若能，求出的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2；（2）3；（3）不能，理由见解析【分析】（1）根据方程解的定义把x=1代入方程，解关于a的无理方程即可；（2）类比提供的例题解方程，并检验即可求解；（3）将原方程变形为，两边平方，整理，再平方，得到此方程无解，得出结论即可．【详解】解：（1）把x=1代入方程得，两边平方得3-a=1，解得a=2，经检验，a=2是方程的解，故答案为：a=2；（2）两边平方得：解得：，经检验，x2=-2代入原方程中不合理，是原方程的增根，x1=3是原方程的根∴原方程的根是x=3；（3）不能．，原方程变形得，两边平方得整理得，两边平方得，此方程无解，∴代数式的值不等于8．8．（2019秋·江苏扬州·九年级校考期中）阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0，又∵pq≠1，∴p≠．∵1﹣q﹣q2＝0可变形为﹣1＝0，根据p2﹣p﹣1＝0和﹣1＝0的特征，∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p+，即．根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n，求：（1）mn的值；（2）．【答案】(1)；29．【分析】（1）由题意可知：可以将方程化简为的形式，根据根与系数的关系直接得：的值；（2）将变形为求解．【详解】解：由知m≠0，∴，∵，m≠n，∴，∴和是方程的两个根，（1）由和是方程的两个根得，∴；经检验：是原方程的根，且符合题意．（2）由和是方程的两个根得，，∴．9．（2022·江苏·九年级专题练习）阅读材料，并回答问题：小亮在学习分式过程中，发现可以运用“类比”的方法，达成事半功倍的学习效果，比如学习异分母分式加减可以类比异分母分数的加减，先通分，转化为同分母分式加减进行运算，解分式方程可以类比有分母的一元一次方程，先去分母，转化为整式方程求解；比较分式的大小，可以类比整式比较大小运用的“比差法”……问题：（1）材料中分式“通分”的依据是；“将分式方程转化为整式方程”的“去分母”的依据是；（2）类比解分式方程的思想方法，解方程：；（3）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：甲、乙两组人各自平分钱，已知两组人数相同，相关信息如表：组别人数（人）总金额（元）甲乙试比较甲乙两组哪组人均分的钱多？【答案】（1）分式的基本性质；等式的基本性质；（2）；（3）甲组【分析】（1）根据分式的基本性质和等式的基本性质解答即可；（2）先将原方程两边平方转化成整式方程，再求一元一次方程的解，最后必须检验；(3）设甲、乙各有人，列代数式，通过分式相减与0的关系，易判断甲组均分的钱多.【详解】解：（1）分式的分子、分母都乘同一个不为0的整式，分式的值不变（或分式的基本性质）；等式的两边都乘同一个数，所得的结果仍是等式（或等式的基本性质）；（2）方程两边平方，得1-2x=9，

经检验，是原方程的解；（3）由甲、乙两组人数相同，设两组各有人，则甲组均分元，乙组均分元.>0,所以甲组人均分的钱多.10．（2020·江苏盐城·统考模拟预测）阅读下面的材料：如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，，（1）若，都有，则称是增函数；（2）若，都有，则称是减函数．例题：证明函数是减函数．证明：设，．∵，∴，．∴．即．∴．∴函数是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数，，（1）计算：，；（2）猜想：函数是函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【答案】（1），；（2）增；（3）函数是增函数，证明猜想见解析.【分析】根据题目中函数解析式代入自变量值可以解答本题；由结论可得；根据题目中例子的证明方法可以证明中的猜想成立．【详解】解：（1）∵，∴，故答案为，（2）∵，∴函数是增函数故答案为增（3）设，∵∵，∴，，∴∴∴函数是增函数.11．（2020·江苏·九年级专题练习）【阅读理解】用的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为的图案．已知长度为、、的所有图案如下：【尝试操作】(1)如图，将小方格的边长看作，请在方格纸中画出长度为的所有图案．【归纳发现】(2)观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．图案的长度所有不同图案的个数【答案】(1)见解析；(2)5，8，13.【分析】(1)根据已知条件作图可知时，所有图案个数5个；(2)推出长度为50cm时的所有图案，继而根据已知猜想60cm时所有图案的个数即可.【详解】(1)如图：根据作图可知时，所有图案个数5个；(2)时，如图所示，所有图案个数8个；同理，时，所有图案个数13个，故答案为5，8，13.12．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，我们规定菱形与正方形，矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等.（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为，，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近正方形.①若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”为_________；②当菱形的“接近度”等于_________时，菱形是正方形；（2）设矩形的长和宽分别为，，试写出矩形的“接近度”的合理定义.【答案】（1）①；②；（2）根据矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，定义矩形“接近度”为，越小，矩形越接近正方形.【分析】（1）①根据求出，再利用求得“接近度”；②由正方形的内角是90，得到=0时菱形是正方形；（2）矩形的两边越接近相等时，矩形越接近正方形，由此得到矩形“接近度”的含义.【详解】（1）①∵是菱形，∴，若，则，∴该菱形的“接近度”为=20，故答案为：20；②∵正方形的内角是90，∴，∴=0时，菱形是正方形；（2）矩形“接近度”的合理定义为：根据矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，定义矩形“接近度”为，越小，矩形越接近正方形.13．（2021秋·江苏常州·九年级常州市北郊高级中学校考期中）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝．（2）用“转化”的思想求方程＝x的解．（3）试直接写出的解．【答案】（1）1,-2；（2）3；（3），．【分析】（1）根据题意对方程进行因式分解即可求出的值.（2）先把等号左右两边同时平方，去掉根号，然后进行因式分解即可.（3）将用平方差公式拆成与组成两个二元一次方程组，解方程组即可.【详解】解：（1）∵x3+x2﹣2x＝0∴x（x2+x﹣2）＝0，∴x（x﹣1）（x+2）＝0则x＝0或x﹣1＝0或x+2＝0解得x1＝0，x2＝1，x3＝﹣2，故答案为1，-2；（2）∵＝x，∴2x+3＝x2（x≥0），即x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0则x+1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝﹣1（舍去，不合题意），x2＝3．（3）∵，∴或，解得，．故答案为，．14．（2019·江苏扬州·校考二模）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．特例探索：（1）①如图1，当，时，_________，________；②如图2，当，时，求和的值．归纳证明：（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图4所示，求的值．【答案】（1）①，；②，；（2）；（3）【分析】（1）①在图1中，连接EF，三角形中位线定理和相似得到，，根据等腰直角三角形可得，利用勾股定理即可求解；②在图2中，根据含30°直角三角形可得，，利用勾股定理即可求解.（2）三角形中位线定理和相似得到，，结合勾股定理，即可求解；（3）证明：，，则，即可求解．【详解】解：如图1、2、3、4，连接，则是的中位线，则，，，①，（1）如图1，在直角三角形能ABP中，，∴，；②在图2中，在直角三角形能ABP中，，,∴则，；（2）关系为：，证明：如图3，由①得：，，则；（3）在菱形中,分别为线段，的中点，，，则，同理，，，，，，，同理：，则．15．（2022秋·江苏·九年级期中）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）问题：方程的解是：=0，=______，=_______；（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．【答案】（1）；；（2）x=3；（3）15【分析】（1）首先提出2x，然后因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=27，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可．【详解】（1）∴或或故答案为：-3，；（2）=x，方程的两边平方，得2x+3=x2，即x2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0，∴x-3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=-1，当x=-1时，，所以-1不是原方程的解．所以方程=x的解是x=3；（3）因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠D=90°，AB=CD=8m，设AP=xm，则PD=（21-x）m，因为BP+CP=27，BP=，CP=，∴，∴，两边平方，得整理，得两边平方并整理，得解得或6（不合题意，舍去此时AP<PD）经检验，x=15是方程的解．答：AP的长为15m．三、填空题16．（2021·江苏南京·九年级专题练习）有15袋糖果，其中14袋同样重，有一袋少了2颗，质量稍轻，如果用天平称，至少称______次才能保证找出这袋稍轻的糖果.【答案】3【分析】根据题意，首先把15袋糖果平均分成三组，每组5袋，把任意的两组称第一次，找到较轻的一组，然后把这组分成2袋，2袋，1袋的三组，把相同袋数的两组称第二次，找到较轻的那组，若同样重则剩下的那袋即为少了2颗的那袋，若不一样重，则还需要找到较轻的那组中的两袋称第三次，即可最终确保找到少了2颗的那袋.【详解】首先把15袋糖果平均分成三组，每组5袋，把少了两颗的那袋记作A，把其中任意两组放在天平上称第一次，此时若平衡，则可判断A在没称的那一组，若此时不平衡，则可判断A在称量两组中较轻的一组；然后把可判断出A的一组中的5袋，继续分成2袋，2袋，1袋这样的a，b，c三组，此时把a组和b组放天平称第二次，若平衡，则A就是c组里面的这袋，若不平衡，则A在a组和b组中较轻的那组中，因为此时出现两种情况，只有在平衡的情况才能找到A，所以要进行第三次称量，第三次只要把上一次称量较轻那组中的两袋分开称，则较轻的为A.所以至少需要称量3次.故答案为317．（2021秋·江苏镇江·九年级镇江市外国语学校校考阶段练习）像＝x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x1＝3时，＝3满足题意；当x2＝﹣1时，＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝3．运用以上经验，则方程x+＝1的解为_____．【答案】x＝﹣1【分析】根据等式的性质将x移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．【详解】解：将x移到等号右边得到：＝1﹣x，两边平方，得x+5＝1﹣2x+x2，解得x1＝4，x2＝﹣1，检验：x＝4时，4+＝5，左边≠右边，∴x＝4不是原方程的解，当x＝﹣1时，﹣1+2＝1，左边＝右边，∴x＝﹣1是原方程的解，∴原方程的解是x＝﹣1，故答案为：x＝﹣1．18．（2023·江苏扬州·联考一模）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为____________．【答案】2【分析】设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量