2024年高考数学重难点题型突破（新高考）数列求和十大题型（解析版）

重难点专题28数列求和十大题型汇总

SB

题型1倒序相加法................................................................1

题型2分组求和法................................................................7

题型3分奇偶型的分组求和法.....................................................15

题型4等差型裂项相消法.........................................................24

题型5分子不是1型裂项相消....................................................31

题型6指数型裂项相消...........................................................36

题型7“和”型裂项相消..........................................................43

题型8无理型裂项相消...........................................................50

题型9错位相减法...............................................................53

题型10含有(-1)"并项求和法...................................................60

题型1倒序相加法

4上均#6

倒序相加法：如果一个数列｛am｝与首末两端等"距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那

么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.

【例题1】(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=岛.

Q)求证：函数/Q)的图象关于点(IJ)对称；

(2)求S=/(-2022)+/(-2021)+•••+((0)+…+/(2022)+f(2023)的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)5=2023

【分析】(1)证明/C0图象关于点分对称，转化为证明关系式f(x)+/(l-x)=l；

(2)由第(1)问结论，利用倒序相加法求和.

【详解】(1)因为/(乃二品，所以"1—%)=金=高=为，

所以f(x)+/(1-x)=1,即函数/(X)的图象关于点G，3对称.

(2)由(1)知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.

因为S=f(-2022)+/(-2021)+…4-/(0)+/(I)+…+f(2022)+/(2023),

所以S=/(2023)+/(2022)+…+f(l)+f(0)+•••+/(-2021)+f(-2022)(倒序),

又由(1)得f0)+/(I-x)=1,

所以2s=4046,所以S=2023.

【变式1-1]1,(2023秋河北•高三校联考期末)已知数列｛即｝各项都不为00=2g=4,

的前几项和为土,且满足即即+1=4szp

(1)求｛即｝的通项公式；

⑵若以=aC+a2C\+a3c+…+即一£丁】+anC^,求数列｛富三｝的前n项和加

【答案】Qk=2n,nCN*；

(2)〃=]—(n+；2n+，

【分析】(1)利用Sn与斯的关系,得到an+1-味1=4,再利用隔项等差数列的性质,分

别求出n为奇数与n为偶数时的通项即,进而可得答案.

(2)利用倒序相加，求得以=n-2n,整理得鬻上=义-忌方T，进而利用裂项求

%如+1九2。(71+1)-2八十，

和法，得到心

【详解X1>1N2时，a/n+1=4Snfln-ian=45口_1,两式相减，可得a"(an+i-an_r)=4an,

由题意得与H0,可得cin+i-an-i=4,则有

当n为奇数时,alra3,a5,•••,“为等差数列，斯=a1+4•(答-1)=2n,

当n为偶数时,a2,a4,a61-,即为等差数列，斯=a2+4•©-D=2n,

:.an=2n(nEN)

1

(2)bn=QiC：+a2C1+…+an_1C_+anCn,

bn=dnCn+Qn-lC1+…+U2Cn+,利用倒序相加,可得

n

2bn=(%+an-i)(C：+C：H---FC：)+2anCn=2n(2—2)+4n=2n•2",

n

解彳导/7n=n-2,

%+2门+1_*2n+2n+i__J.__________1

nn+1nn+1

bnbn+1~n-2(n+l)-2-n-2(n+l)-2'

T=2____L_+_2____L_+...,_2______]1_]

n-1X22X22+2x223x23十n-2n(n+l)-2n+1-=2(n+l)-2n+1

【变式1-1]2.(2023・全国•高三专题练习)已知4(%22)、8区必)是函数/(%)=

2KH工

1-2『『的图象上的任意两点点M在直线x=,且而？=MB.

(1)求与+次的值及为+”的值；

⑵已知a=0,当n22时，Sn=fa+/(§+f(£)+…+f(?)，设即=2Sn，〃数

列｛a,J的前加页和，若存在正整数c,m，使得不等式产J；成立，求c和m的值；

【答案】(I)/+x2=l,yi+y2=-2

(2)存在,c=i,m=1

【分析】(1)根据点M在直线x=江，设Mg,yM),利用湎=MB,可得%+冷=1,分

类讨论：①/=J亚=J②》]力：时，X2工J利用函数解析式，可求力+%的值；

(2)由(1)知，当%+x2=1时,yi+y2=-2,/Q)+/(D=-2，代入k=0,1,

2，…，n-1,利用倒序相加法可得%=l-n,从而可得数列｛6｝的通项与前〃项和，利用

产J:化简即可求得结论.

/m+LCz

【详解】(1)根据点M在直线％=|jz,设MG,VM)，则宿=(|-xnyM一%),MB=

12一打27M)/

v~AM=MB,・•・+%2=1・

①当M=泄，M=]%+%=f(%i)+f(%2)=TT=-2；

小小〜~1口+”T12打2x2X(1-2X)+2X(1-2X)

②当与工5时，外*/月+、2=k+Ez=1(1-)2(1-22犯)1

_2(%1+%2)-8%1必_2(1-4“2)__2.

l-2(x1+x2)+4x1x2'

综合①②得，+力=一2.

（2）由（1）知，当%1+&=1时，yi+=-2.

・・•/（力+/（一）=-2,fc=0,l,2,-,n-l,

几22时，Sn=/©+/Q）+/g）+…+八？）①

Sn=f（F）+/（¥）+f（等）+T/G）②

①+②得，2Sn=-2（n-1）,则Sn=1-n.

又九=1时，Si=0满足上式,Sn=1-n.

n

izixn-iix[i-Q）]2

a=2s"=21-n,•­•7；=1+-4--+（-）=\t=2--.

n/\Z/1---4

2

Tc27c7c

..m~,1.（m-）-（m+i-）/n

Tm+1-c22（Tm+1-c）

.（2小一小+1）vQ

c-7m+l'

i4iQ

7+1=2-万，）.27m-Tm+1=4-而-2+9=2-m，

■■~<2-^<c<2-^<2,c,m为正整数,c=1,

（2-&<1

当c=1时，42.,1<2W<3,m=1.

〔2-而>1

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用倒序相加法求出现=l-n,再利用等比数列

的求和公式得到Tn=2-/，再代入产J<淞简，最后结合指数函数的值域即可求出c,m

的值.

【变式1-1】3.（2023・全国•高三专题练习周数“X）=1g与答数则｛即｝满足即=/（品）+

痣）+呜）》（誓）•

（1）求证：/（X）+八1-X）为定值，并求数列｛即｝的通项公式；

（2）记数列｛an｝的前n项和为5,数列｛盘二｝的前n项和为7；，若％W%•S“对neN+恒成

立，求力的取值范围.

【答案】Q）证明见解析,an=2n-l

(2)1>i

【分析】(1)计算f(x)+/(I-x)为定值2,用倒序相加法求得｛即｝通项公式；

(2)由(1)得S”,裂项相消求和得Tn,求出2的取值范围.

【详解】(1)证明：

C,、.、120-10X,110+10X1，20-10x—10+10%、..、

/(x)+/(I-x)=lg-^+Ig-^-=X=恒10n°n=2，

则斯=呜)+/(算+舄)+…+"智)，

为"(智)+人智)+〃智)+•••+/(»

两式相加，得2即=2(2n-1),即册=2n-1.

由

(2)(1),an+1—an=2(n+1)-1—2n+l=2,

(H-Zn-l)n_

所以｛即｝是以1为首项，2为公差的等差数列，S=n2

n2

n2

=i+-(―-------—)z

an^n+i(2n-l)(2n+l)48v2n-l2n+l7

fn.1,31,11,11,.1,1、n(n+l)

T=——X(1--------------1--------1-…4--------1------)=-------

n48k335572n-l2n+ly4n+2

由题，喘=心所以△给

因为(九+1)1

g(n)―n(4n+2)-4(n+l)+^-j—6

设京-

h(n)=4(n+1)+6,neN+,

由对勾函数的性质，当n=1时，九(〃)最小，即h(n)=4(n+1)+京一62/i(l)=3,

所以当n=1时,g(九)最大,即g(n)=1<5(1)=1,

4(n+l)+--6

所以义制.

【变式1-1】4.(2022秋•福建三明•高三三明一中校考阶段练习)B知函数f(x)=12+1,

数列的前几项和为上，点均在函数/(%)的图象上.

｛Qn｝8szi)56N*)

(1)求数列｛时｝的通项公式；

(2)若函数g(x)=老，令%=g(悬)SeN*),求数列｛b“｝的前2020项和T202。.

【答案】(1)071=九；(2)72020=1010.

【分析】(1)由题意可得Sn=那+%，然后^用加=L2n?可求出数列｛说的

通项公式；

(2)由题意可得g(x)+g(l-x)=1,然后利用倒序相加法可求得结果

【详解】(1).•点(n,Sn)均在函数f(x)的图象上，

.,.S=-n2+-n.

n22

当nN2时，Q八=Sn-Sn_i=n；

当九=1时，%=Si=1,适合上式；.*.an=n.

(2)：g(x)=,，g(x)+g(l-x)=1.

又由(1)知即=n,：.bn=g(急).

■-T2O2O=br+b2+-+b2020=g(表)+9(嘉)+…+9(髭),①

又72020=^2020+^2019+…+瓦=Q(|^)+9+…+9(^-)，②

①+②，2T202。=2020[g(蠢)+g(翳)]=2020,

，丁2020=1010•

【变式1-1]5.(2023・全国•高三专题练习)设函数/(x)=1+也?，设的=14=/6)+

/&)+/(=)+…+/(?)SeN*,n22).

(1)计算f(x)+/(l-x)的值.

(2)求数列｛〃｝的通项公式.

(3)若瓦=9,bn=,.^nAneN*,n>2),数列｛bn｝的前n项和为S“，若土<

A(an+1+1)对一切neN*成立，求4的取值范围.

【答案】(l)2;(2)an=｛n；'；；LX3)e，+8)・

【分析】（1）代入函数式直接计算；

(2)用倒序相加法计算时；

(3)由裂项相消法求得治,注意分类n=l,n>2,n>2时可转化为求函数(数列)的最

大值.

【详解】(1)/(x)+/(I-x)=1+In?+1+In士=2.

(2)由题知,当n>2时,4=/(；)+f(：)+f(；)+…+f(J)，

又an=f+f+--+/Q),两式相加得

2a-砥+/(=?)]+砥+，(沿]+…+b(詈)+f©]=2(n-1),

所以an=几一L

又的=1不符合%=n-l,

所以…笃：—

(3)由(2)知，…{/；；上,

因为瓦=1,所以S]=瓦=[a?=1,

由&<A(a2+1),得3<24,4>；,

当n>2时,an=n-1,an+1-n,

_____1_____=」_=JL一工，

bn71=

(an+l)(an+1+l)n(n+l)nn+1

Sn=b1+b2+b3+...+bn=|+(1-0+(1-；)+-+(；-^)=1-^7=^<

由％<Ma“+]+1),得含<"(n+1),a>品=比

n

因为对勾函数y=尤+:在(1,+8)上单调递增，又n22,

所以n+拉2+六]离号，所班>|

n

综上,由《\,得">7,

所以A的取值范围为(：,+8).

题型2分组求和法

【例题2]（2022秋•四川广安•高三广安二中校考期中）已知数列｛斯｝满足的=2,一---=

an+ian

点等比数歹帅n｝的公比为3,且瓦+以=10.

（1）求数列｛%｝和｛bn｝的通项公式；

（2）记金=垢，求数列｛7｝的前n项和

【答案】（1）即=：,%=331

（2）、工+二

【分析】（1）根据数列的递推公式和等比数列的定义即可求出数列通项；

（2）根据分组求和与裂项求和法以及等比数列的求和公式即可求出

【详解】（1）数列｛即｝满足%=2,二一一三=\

an+ian/

｛?｝是以;为首项，3为公差的等差数列，

（）

--vn-17=-,an=-,

an222'n'

等比数列｛匕｝的公比为3,且瓦+%=10,

・•・bi+9bl=10,・•・b]=1,bn=3'T

（2）Cn=3+bn=-+3"y』3f

11111一

：・T=（1--+---+-+-------）+（1+3+3?9+…+3nT）

n223nn74T-1

y1,l-3n11,3n

=1——+--------=——十—

n+l1-32n+l2

【变式2-1]1.（2023秋・广东广州•高三广州市真光中学校考阶段练习）已知数列5｝为

非零数列，且满足（Y）（1+J《+J=（岁”

（1）求数列S"的通项公式；

⑵求数列W+n|的前几项和sn.

【答案】⑴册=』

（2后=*1一2）+中

【分析】（1）根据递推公式，分当n=1时和n>2时，进行求解即可.

⑵由（1）得到通项公式，再根据分组求和，即可求解.

【详解】（1）当几=1时，1+2=]解得％=V,

当〃22时，由（1+J（1+?…（1+J=（泄…）,

得（"J（"J…（1+£）=（*"

两式相除得：1+*=G）2n=G）n,即g=鼻，当n=1时，的=-他满足，

所以即=/.

（2）由（1）可知，a2-1,所以高+n=2+几一1，

所以5“=伐+0）+（专+1）+信+2）+-+（2+『1）

=（（+++以+…+±）+（1+2+3+―+5-1））

_割一（泗.（l+n-l）（n-l）

一寸+-2—'

=­.

【变式2-1]2.（2023秋•广东广州•高三广州市第一中学校考阶段练习）在数列｛册｝中，

已知即+1+an=3•2",%=1.

⑴求证：｛册-2"｝是等比数列.

（2）求数列｛a”｝的前n项和Sn.

【答案】（1）证明详见解析

+1

（2）Sn=2"+^ip

【分析】（1）通过凑配法证得｛斯-2。｝是等比数列.

（2）利用分组求和法求得立.

71n+1nn+1

【详解】（1）由即+1+即=3•2,得册+1-2+an=3-2-2=2",

即册+i_2叱1=-(an-2"),

所以｛6-2"｝是首项为由-21=-1,公比为-1的等比数列.

1nnn

(2)由(1)得即一2"=(-I)X(-1)"-=(-l),an=2+(-l).

所3n=2+22+…+2"+(-1)1+(-1)2+•••+(-l)n

()n+1)n5

2(S)+-【1-(-1用=2n+12+—--=2"+~.

1-21-(-1)

【变式2-1]3.(2023・吉林长春•东北师大附中校考一模)已知各项均为正数的数列｛an｝满

足：%=2,a"]=an(an+1+2an).

(1)求数列｛〃｝的通项公式；

(2)若勾=1+册•sin^SeN-),记数列｛%｝的前几项和为〃，求72024.

【答案】(1)2"

(2)72024=2024-四詈二

【分析】(1)根据W+i=an(an+1+2an),两边同除W从而得到皿=2,则得到其通项；

an

(2)根据正弦型函数的周期性，再进行分组求和，最后利用等比数列前n项和公式即可.

【详解】(1)因为｛%)｝各项为正数，W+1=an3n+i+2an)，

所以上式两边同时除以若，得(膏丫=警+2,

令皿=x(x>0),则/=x+2,即/——2=0,解得x=2(负值舍去),

所以皿=2,又如=2,

an

所以｛6｝是以%=2,q=2的等比数列，

故斯=2x2"T=2n.

n

(2)&n=1+2-sin^(neN*),

当n=1时，sin1=1,当n=2时，sin?=0,当n=3时，sin^=-1,

当n=4时，sin票=0,根据三角函数周期性知sina的周期为4.

则712024=瓦+与+…+坛024=2024+21-23+-+22021-22023

=2024+21-23+••■+22021-22°23

1572023

=2024+(2+2+•••+22°21)_(23+2+…+2)

2(1-16506)8(1-16506)

1-16

2(16§。61)8(165°61)2x16506-2

=20244-=2024-

【变式2-1]4.(2023•江西•校联考模拟预测)记S”为等差数列｛5｝的前n项和，已知a?+

a3=8,S5=25.

(1)求｛即｝的通项公式；

(2)记％=(—l)"Sn,求数列｛bn｝的前30项的和Co.

【答案】Q)an=2n-1

(2)465

【分析】(1)根据等差数列的通项公式和求和公式列式求出四和d,可得通项公式；

(2)先求出Sn,再利用并项求和法与等差数列的求和公式可得结果.

【详解】(1)设公差为d,则产1:8，解得的=1,d=2,

(DQ]TJ-Utt—

所以an=14-(n-1)-2=2n-1.

(2)5n=n(i1|nzI)=n

nn

所以%=(-l)5n=(-l)-n

所以730=-l2+22-32+42+292+302

=(2-1)-(1+2)+(4-3)-(3+4)+•••+(30-29)■(29+30)

=1+2+3+4+…+29+30

【变式2-1】5.(2022秋•广东深圳•高三北师大南山附属学校校考阶段练习)已知数列｛aj

的前n项和为Sn,且满足的=1,2Sn=nan+1,nEN*.

Q)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设数列｛b｝满足瓦=1,3=2,bn+2=2bn,n€N；按照如下规律构造新数列｛.｝：

%,b2,a3,b4,a5lb6,a7,b8,■■■,求数列｛cn｝的前2n项和.

【答案】(1)0=n.neN*

(2)2n+1+n2-2

【分析】(1)根据%,即的关系即可得递推关系霭=^(n>2),进而可求解，

(2)根据分组求和，结合等差等比的求和公式即可求解.

【详解】(1)当几-1时,由%-1且2S；,=nc1n+i得a?-2

当n22时，由2Sn-i=(九一1)即得2即=nan+1-(n-l)aM,所以鬻=^(n>2).

所以攀=y=1,故a“=n(n>2),

又当n=1时，%=1,适合上式.

所以an=n.nGN*

(2)因为坊=2,誓=2(nCN*),

°n

所以数列｛bn｝的偶数项构成以与=2为首项、2为公比的等比数列.

a

故数列｛7｝的前2n项的和72n=(如+4---卜2n-l)+(坛++--+b2n),

T2n=n0+2nT)+2(1-2")=2n+l+n2_2

“n21-2

所以数列｛%｝的前2n项和为非+1+n2-2.

【变式2-1]6.(2023秋•天津宁河•高三天津市宁河区芦台第一中学校考期末)已知数列｛a.｝

是公差为1的等差数列目的+a2=a3，数列｛%｝是等比数列且瓦•为=b3,a4=4b.-b2.

⑴求｛an｝和也｝的通项公式；

⑵令dn=(h,求证：di+C(2+C(3+…+dn<2；

(1_____力—2k_1

⑶记”=%7。2n+3'-其中kGN*,求数列｛7｝的前2n项和S2〃.

l(2an—1)-hnin=2k

n

【答案】(1)册=n,(nGN*),bn=2,(nGN*)

(2)证明见解析

(3)S2n=—+型二x4n+1+-,(neN*)

【分析】(1)结合等差数列与等比数列的通项公式及题目条件，用基本量表达条件中的式

子，即可求得两数列的首项与公差公比，代入通项公式即可；

(2)根据第一问写出时表达式,再用裂项相消法化简式子，最后放缩即可证明；

(3)将前2n项和分成奇数项之和加上偶数项之和，分别求解奇数项和偶数项再相加即可.

【详解】(1)•.数列5｝是公差为1的等差数列，且的+a?=，

+(a1+1)=a1+2,解得%=1,

.'.an=ar+(n-l)d—n,

•・.数列｛an｝的通项公式为：％=n,56N)

数列｛与｝是等比数列，且瓦•b2=b3,a4=4br-b2,

设数列｛%｝的公比为q，

[瓦,(瓦q)=瓦q2

I4=4bl-biq,解得瓦=q=2,

-'-bn-biq"T-2n,

数列｛%｝的通项公式为：bn=2n,(neN-).

(2)由(1)知%=2n,

_%+i_2n+1_2x2n_ZxQn+j71)

nn+1nn+1

一(bn-l)(bn+1-l)-(2-l)(2-l)-(2-l)(2-l)-(2J)(2、+J)

2x[(2n2nT)]

-(2n-l)(2n+1-l)-2(亚-

.•4+d2+d3+-+dn=2(^-吉)+2(六-六)+-+2(七-

=2(-3)

■：neN*,

・••2(1-月)<2

「4+d2+盛+…+dn<2

n

(3)由(1)可知an=n,a2„_i=2n-1,a2n+3=2n+3,bn=2,

________22=2k_1

.・.Cn=｛(2n-l)(2n+3)，-，(AEN*),

(2n-l)-2n,n=2k

c

，S2n=(q+C2+C3+C4+…+C2n-1+c2n)=(q+C3+…+2n-l)+(。2++…+Qn)，

令4n=J+C3+…+C2n-1/%=C2+C4+…+C2n,

'4=---+---+..•+-------------

・'711X55x9(4n-3)(4n+l)

11111111111

=?(1-5)+5(5-9)+",+4(4^7-4^3)+4(4^3-4^1)

=〃1一二一)=」一,

4'4n+ly4n+l

242n222n,

Brt=3x2+7x2+-+(4n-5)x2-+(4n-1)x

2462n+2

：.2Bn=3x2+7x2+-+(4n-5)x22n+(4n_1)x2,

2462n2n+2

.---3Bn=3X2+4x2+4x2+-+4x2-(4n-1)x2

=-22+[4x22+4x24+4x26+-4-4x22n]-(4n-1)x22n+2

=-22+4X[22+24+26+…+22n]-(4n-1)X22n+2

4(4n-1)

=-4+4x---一(4n-1)-22n+2

4—1

=1-x4.n_+i_27—(4n—y1、)x4n+1---2-8-=-7--—-1-2-R-x4.n+11----2-8.

3'，333

_12n_7.i128

•・Bn=-7-x4"M+】+不，

+1

，S2n=+B”=」-+也;x4«+竺，

nn4n+l99'

n+1

二数列｛cn｝的前2n项和S2n=An+Bn=焉+等X4+y,(neN*).

【变式2-l]7.(2023秋•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习)已知数列｛即｝满足的=

]当几22时，M=警*

(1)求数列｛时｝的通项公式；

(2)证明：&+也+…+皿＜n+三.

【答案】Q)an=合

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意化简得到(n+l)an-1-=l(n>2),得到数列｛(n+l)aj为等

差数列，进而求得数列的通项公式；

(2)由时=忘，得到哈=1+：&—9)，结合裂项求和及.+京>0,即可得证・

ll-iX4\f€fli4/*IIX11•4

【详解】(1)解：由即=吧;胃',可得5+I)%=nan_1+1,即(n+l)an-nan_t=

l(n>2),

则数列｛5+D时｝是公差为1的等差数列，

又由心=|,可得(1+1)%=2%=1,则(n+l)an=n,可得册=含,

所以数列｛即｝的通项公式是即=三

(2)解：由…羔，则警=需弋:苛=1+3(：京)

所以?!+言+…+皆=71+3(1_：)+(»；)+O+…+(±_.)+(；—圭)]

=n+-fl+--〜展)=n+沁岛++)

22

因为W++>°，所以”++展)<"+/

即空+色+.“+皿<”+三.

ala2an4

题型3分奇偶型的分组求和法

、।，*

力划重点

1.如果一个数列可写成的=即士匕的形式，而数列｛册｝,｛%｝是等差数列或等比数列或可转化

为能够求和的数列，那么可用分组求和法.

a匐n为奇数

2.如果一个数列可写成“=f｛的形式，在求和时可以使用分组求和法•分组转

(匕,n为偶数

化法:

【例题3](2023秋•河南•高三校联考阶段练习)已知数列｛a“｝满足的=20,即+1=

-1,几为奇数，

[a“-2,n为偶数.

(1)记b=a2n,求出瓦,为及数列｛与｝的通项公式；

(2)求数列｛an｝的前200项和.

【答案】(1)d=19,b2=16,bn=22—3n

(2)-25800

【分析】(1)通过代入数列｛册｝的通项公式求出数列｛九｝后一项与前一项的关系，从而判断

其数列性质，得出通项公式；

(2)由｛%｝的通项公式，得a2n=22-3n和ci2n_i=23—3n,利用分组求和求数列｛a"的

前200项和.

an-l,n为奇数

【详解】(1)因为的=20,0n+i=

an-2,n为偶数

所以。2=%-1=19,=。2—2=17,—1=16,

所以瓦=。2=19,&2==16.

aaa

因为b"—bn-i~a2"-a2n-2=2n-l11—2n-2~2n-2—2—1—a2n-2=-3,(n>2),

所以数列｛3｝是以19为首项，-3为公差的等差数列，

所以bn=19-3(n-1)=22-3n.

(2)由(1)可得a2n=22-3n,

贝!Ja2n-i=a2n-2-2=22-3(n—1)-2=23-3n,n>2,

当n=1时，%=20符合上式，所以a2n-i=23-3n,

所以数列｛即｝的奇数项构成首项为20,公差为-3的等差数列，偶数项构成首项为19公差

为-3的等差数列，

aa

则数列｛an｝的前200项和为%+a2T---卜2QQ=（l+@3+…+Q199）+（◎2+。4+…+

@200）

=20x100+x（-3）+19x100+x（-3）=-25800.

【变式3-1]1.（2023秋•山东德州•高三德州市第一中学校考阶段练习）数列｛册｝满足

anan+l=16rl,Qi=2（n6N*）.

⑴求小｝的通项公式；

（。九,九为奇数

⑵设以=,求数列｛匕｝的前271项和S2n.

+几九为偶数

【答案】⑴Qn=221

叫?+.5+1）

【分析】（1）根据递推公式作商得皿=16,再分类讨论结合累乘法计算即可；

（2）结合（1）的结论，及分组求和法计算即可.

n

【详解】(1)'-'anan+1=16,«!=2,则a?=8,

■-aa=16n+1,两式相除得：皿=16,

n+1n+2an

当n=2k—1时，也x色x%x…x誓=16八1,

ala3aSa2k-3

-'ta2k-i=2x16"T=24k~3,即=22n-1,

当n=2k时，幺x%x但x-x4=16%T,

a2a4a6a2k-2

4k-12n-1

：.a2k=8x16"T=2,即a”=2,

综上所述，｛册｝的通项公式为：即=22"-1；

(22"T,n为奇数

(2)由题设及(1)可知：为=,

(b-1+&71为偶数

s2n=瓦++b4T---卜b2n-i+b2n

=(瓦+b3+b5-i---(■b2n-!)+(i>2+/■+---Fb2n)

—(瓦+%+b5T---F62n-i)+(瓦+2+仇+4+b+6+…+b2n-i+2n)

=2(&+63+%+…+^2n-i)+(2+4+6+…+2n)

=2(21+25+29+…+24n-3)+(2+4+6+…+2n)

2(1-16n)n(2n+2)4(16n-1)

2X----------------F-------------=---------+---n--(--n+1)

1-16215

【变式3-1】2.(2023秋•云南•高三云南师大附中校考阶段练习)已知｛5｝为等差数列，｛%｝

为等比数列，&=2%=2,a5=5(a4-«3)«%=4(九一么)(数列｛5｝满足cn=

为奇数

Janan+2

Ib“,n为偶数

(1)求｛即｝和｛e｝的通项公式；

(2)证明：£鲁生2号.

n

【答案】(1)厮=n；bn=2

(2)证明见解析

【分析】(1)设等差数列｛即｝的公差为d，等比数列｛3｝的公比为q,根据题意列式求d,q,

进而可得结果；

(2)利用分组求和以及裂项相消法求得〃=-进而根据数列单调性分析证

明.

【详解】(1)设等差数列5｝的公差为d,等比数列｛%｝的公比为q,

a

由的=1,a5=5(a4-3)>可得1+4d=5d,解得d=1

所以｛即｝的通项公式为“=l+n-l=n；

32

因为瓦=2,优=4(b4-b3),则2q4=4(2q-2q),

因为q丰0,可得q2_4q+4=0,解得q=2,

所以｛%｝的通项公式为%=2X2"-1=2n.

(2)由(1)可得：当n为奇数时，—=/=定一击)，

anan+2n(.n+2j2\nn+2/

n

当n为偶数时，cn=g=2,

设「2n=XF=1G=G+C2+C3+C4+…+c2n-i+c2n

=(Q+©3+C5+-----F)+(c+c+cd--------F

C2n-1246c2n)

11111111

1-3+3-5+5-7+，，，+2n-1-2n4-1+(22+24+26+-+2Zn)

2

4（1一4与1।4n+1_5

=2-4+1-44n+2十36

即〃=_焉+三I

因为y=—?在（6+8）上单调递增，则y=——7—+—--?在9+8）上单调

4X+Z6o4X+Z36

递增，

可得72n关于血eN*）单调递增,所以%=£设1ct>T2=学

【变式3-1]3.（2023秋•天津北辰•高三天津市第四十七中学校考阶段练习）已知等差数

列｛斯｝与等比数列｛%｝满足的=1,。3=5/2=4,且既是的+瓦和劣-的等差中项，

又是其等比中项.

（1）求数列｛即｝和｛b｝的通项公式；

1

TJ—2k1

⑵记0=anan+2),其中k6N*,求数列｛0｝的前2n项和S2“；

0n•bn,n=2k

⑶记d=|守二,其前n项和为7；，若4<7；-*WB对neN*恒成立，求B-A的最小

nNDn-iln

值.

n

【答案】⑴即=2n-1,bn=2；

(12n-7)-4n+1+28

(2)S2n

9+品

⑶H

【分析】（1）由已知条件，列方程组求出等差数列5｝的公差和等比数列也｝的公比，可得

数列的通项;

（2）根据数列的特征，运用分组求和法求前2n项和；

（3）利用函数思想，求出A的最大值和B的最小值，可得8-A的最小值.

【详解】（1）设等差数列｛即｝的公差为d,等比数列｛九｝的公比为q,

a1=1,Qg—5,所以a】+CI3—2a2=6,彳辱a?=3,d=a?—a1=2,

。2既是的+瓦和久-。3的等差中项，又是其等比中项，

彳mpa?=(%+瓦)+(/?3-。3)［10=瓦+坛

g

1l«2=(%+瓦)•(久一a3)'(9=(1+瓦)•(b3-5)

解得I］，晒若=2,

n-1n-1n

所以an=%+(九一l)d=1+2(n-1)=2n—1zbn=br-q=2•2=2.

._、(--——,n=2k—1(-------3-------,n=2k-1

(2),=jaa=<(2n-l)(2n+3),

-Cnnn+2

n

Ian-bn,n=2k((2n-1)-2,n=2k

••S2n=(C1+C3+C5H----F+(C2+C4+C64------F

C2n-1)C2n)•

又+C3+Cs+…+C2"_1=*+壶+高+.“+("3；4n+1)

=乂(1_3+(*)+(2_*)+—+3_焉)1=焉，

.Q+C4+。6+…+c2n=3•2?+7•24+11,2‘+…+(4n-1),22n①

22n+2

.,.2(C2+C4+C6+…+Qn)=3•24+7•26+11・28+…+(4n—1)•2②

2+C4+C6+…+24682n

①减②得：-3(。c2n)=3-2+4•2+4•2+4•2-+4-2-

(4n-1)-22n+2

4-24(1-22n-2),、源上,(一12n+7)・22n+2_28

=3-229+------；--z——--(4n-1)•22n+2=--------------―.....................

1-2273

_(1271-7>4"1+28

••C2+C4++…+C

2n9