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文档简介
3.4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理推论2及圆的内接四边形九年级下
北师版1.了解并证明圆周角和直径的关系及圆内接四边形的性质.2.能应用圆周角定理的推论解决相关问题.学习目标重点难点1.什么叫做圆周角?什么叫做圆心角?2.圆周角定理是什么?3.圆周角定理的推论1的内容是什么?顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.如∠ACB顶点在圆心,并且两边都和圆相交的角叫圆心角.如∠AOB同弧或等弧所对的圆周角相等.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.新课引入一
直径所对应的圆周角是直角
如图,线段AB是☉O的直径,点C是☉O上的一个动点(除点A、B外),你能求出∠ACB
的大小吗?·OACB解:∵AB是直径,点O是圆心,∴∠AOB=180°.∵∠ACB是直径AB所对的圆周角,∴∠ACB=∠AOB=90°.探究新知学习推论2:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.归纳几何语言∵AC为直径,∴∠ABC=90°几何语言∵∠BAC=90°,∴BC为直径.针对训练1.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,若∠OBC=60°,则∠BAC的度数是(
)A.75°
B.60°
C.45°
D.30°D2.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.如图5所示的四种圆弧形,你能判断哪个是半圆形吗?为什么?解:(2)是半圆形,理由:90°的圆周角所对的弦是直径.3.如图,⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上的一点,∠B=30°,求AC的长.ABCO解:∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ACB中,∴AC的长为5cm.sin∠ABC=
,∴AC=ABsin∠ABC=10×sin30°=10×=5(cm).4.如图,△ABC的三个顶点都在⊙O上,直径
AD=2,∠ABC=30°,则
AC的长是__________.OACBD解:连接
CD,∵∠ABC、∠ADC
是
所对的圆周角,∴∠ABC=∠ADC=30°又∵AD为直径,∴△ADC为直角三角形,∠ACD=90°,∴AC=AD=1(直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半).1(1)如图,A,B,C,D
是⊙O
上的四点,AC为⊙O
的直径,∠BAD与∠BCD之间有什么关系?为什么?·ODBCA解:∠BAD与∠BCD互补∵AC为直径,∴∠ABC=90°,∠ADC=90°.∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°,∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD与∠BCD互补.二
圆内接四边形及其性质探究(2)如图,点C
的位置发生了变化,∠BAD与∠BCD之间关系还成立吗?为什么?·ODBCA解:∠BAD与∠BCD的关系仍然成立连接OB,OD,则∵∠1+∠2=360°,∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD与∠BCD互补.12探究四边形ABCD
的四个顶点都在⊙O
上,像这样的四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.·ODBCA·ODBCA归纳思考根据前面的探究,圆内接四边形的四个角之间有什么关系?推论
圆内接四边形的对角互补.·ODBCA·ODBCA几何语句:∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠BAD+∠BCD=180°(圆内接四边形的对角互补).思考如图,∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角,∠A与∠DCE的大小有什么关系?ABCODE解:∠A=∠DCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠BCD=180°(圆内角四边形的对角互补).∵∠BCD+∠DCE=180°,∴∠A=∠DCE.结论:圆内接四边形的外角等于它邻角的对角.针对训练1.在圆内接四边形ABCD中,若∠A=70°,则∠C等于(
)A.20°B.30°C.70°D.110°D2.在圆内接四边形ABCD中,∠A与∠C的度数之比为4∶5,求∠C的度数.解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°(圆内接四边形的对角互补).∵∠A∶∠C=4∶5,
即∠C的度数为100°.∴随堂练习1.(2022山东济宁)如图,点A,C,D,B在⊙O上,AC=BC,∠ACB=90°.若CD=a,tan∠CBD=
,则AD的长是________.ABCOD2.如图,在⊙O中,∠BOD=80°,求∠A和∠C的度数.解:∵∠BOD=80°,
所对弧上的圆心角的度数的一半).∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠DAB+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-40°=140°(圆内接四边形的对角互补).∴(圆周角的度数等于它∵AB为直径,∴∠BCA=90°(直径所对的圆周角为直角).∴∠BCD+∠DCA=90°.∵∠ACD=15°,∴∠BCD=90°-15°=75°.∴∠BAD=∠BCD=75°(同弧所对的圆周角相等).3.如图,AB是⊙O的直径,∠C=15°,求∠BAD的度数.ABCOD解法一:连接BC.ABCOD∵∠ACD=15°,∴∠AOD=2∠ACD=30°(圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半).∵OA=OD,∴∠
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