2023-2024学年河北省秦皇岛市高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河北省秦皇岛市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知｛%｝为等差数列，％+〃2+〃3=-3,〃5=5,则α∣o=（）

A.5B.10C.13D.15

【正确答案】D

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】由等差中项得4+4+%=34=-3=4=T,所以%=5=勺+34,故d=2,

所以〃io=%+54=5+10=15,

故选：D

2.过点（（）,-2）且与直线x+2y-3=0垂直的直线方程为（）

A.2x-y+2=0B.x+2y÷2=0

C.2x—y—2=0D.2x+γ-2=0

【正确答案】C

【分析】设出该直线的方程，由点（0,-2）在该直线上，即可得出该直线方程.

【详解】设该直线方程为2x-y+机=O

由点（。,-2）在该直线上，贝∣j2x0+2+m=0,即m=-2

即该直线方程为2x-y-2=0

故选：C

本题主要考查了由两直线垂直求直线方程，属于中档题.

—>—>—>—>→

3.己知向量何,Ac｝是空间的一个单位正交基底，向量W+4α-Ac1是空间的另一个基底,

τ—>—>II->—>—>—>—>J

{〃也C下的坐标为(3,2,1),则它在卜+b,j,c下的坐标为()

⅛i-1)B∙住用C.与别D∙

【正确答案】C

—>—>—>—>—>)

{α+Aα-0,c下的坐标为(x,y,z),

贝Jp=3a+2b+c=X(α+b)+y(α-/7)+ZC=(X+y)α+(x-y)b+zc,

5

X=2'

x+y=3,

1

所以工-〉=2,解得,J=?

z=l,

z=l,

故7在基底上云下的坐标为（I，;』）.

故选：C.

本题解题的关键是设向量;在基底,+力下的坐标为（χ,y,z）,进而根据向量相等列

方程求解，考查运算求解能力，是基础题.

4.直线X-jSino+2=0的倾斜角的取值范围是（）

「C\「兀3π~∖「兀兀]「K兀、（兀3π

A.0,πB.C.-,-D.-,-U---T

[44」]42」[42）124」

【正确答案】B

【分析】先由直线方程得到直线斜率，确定斜率的范围，再由斜率的定义，即可得出倾斜角

的范围.

【详解】设口为直线的倾斜角，当Sine=O时，直线的斜率不存在，直线的倾斜角α=5,

当sind≠O时，直线的斜率k=tan<z=」；e（fo,-l][1,内），

Sln0、

itit（it3n

所以直线的倾斜角的取值范围是卜∣j,彳.

综上所述，ae—,1-.

44_

故选：B.

5.我国的航天事业取得了辉煌的成就,归功于中国共产党的坚强领导,这归功于几代航天人的

不懈奋斗.中国工程院院士、中国探月工程总设计师、巴中老乡吴伟仁先生就是其中最杰出

的代表人物之一,同学们应当好好学习航天人和航天精神.我国发射的第一颗人造地球卫星的

运行轨道是以地心（地球的中心）尸2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点M距

地面机千米,远地点（离地面最远的点）8距离地面“千米,并且F2、4、8在同一条直线上,地球

的半径为R千米,则卫星运行的轨道的短轴长为（）千米.

A.2λ∕(∕n+Λ)(rt+Λ)B.JW+R)("+R)C.2向D.而

【正确答案】A

[分析]根据椭圆的对称性,找到a,Ac与地球半径之间关系,解出即可.

【详解】解:由题知,记椭圆的长半轴,短半轴,半焦距分别为〃力,c,

由题可知=α-c①，

n+R=a+c®,

①X②可得：

(∕n+/?)(»+/?)=(α+c)(α-c)=α2-c2=b2,

故b=[(m+R)(n+R),

即短轴长为2yj(m+R)(n+R)

故选:A

6.在等差数列｛q｝中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新

的等差数列｛"｝.则47是数列｛q｝的第()项.

A.32B.33C.34D.35

【正确答案】B

【分析】根据等差数列的通项公式进行求解即可.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,等差数列｛2｝的公差为4，

等差数列｛%｝各项为：al,a,+d,ai+2d,,

等差数列也｝各项为：al,al+dl,at+2dl,at+3Jl,αl+4dl,,

显然有«i+d=al+3"∣=>d=34=4=；</,

b97=4+96dl=q+32d=43,

故选：B

7.已知正项数列｛〃〃｝满足q=,a；+]=a；+2",n∈N∖则“见+生。3+%。4++%4o=

()

A.1022λ^B.1022√2C.空©D.220-8

33

【正确答案】B

【分析】利用累加法求出数列的通项公式，再列出a/+，%+/%++Wm利用等比数

列求和公式计算可得.

n,

【详解】解：正项数列｛4｝满足4=&,<,=¾+2,tteN,即°3-d=2",«eN\

可得a；-a；=2,,

⅛-⅛=22,

a；=23,

dY=2”T,

22)

累加可得4=2+2+2?+2、…+2"T=2+0~7'=2",

所以4%+aIaS+a3a4++a9a∖0

ɪ33557799

=2^∙2+2∙2i+2i-22+22-25+22-23+23∙2i+-24+24∙2≡+2Ξ•25

ɪ

=25∙(2+22+23+24+25+26+27+28+29)

12(l-29)

=22∙-^------^=1022√2∙

1-2

故选：B

8.已知过抛物线C：V=4x的焦点f且倾斜角为45的直线交C于AB两点，。为弦AB的

中点，尸为C上一点，则IP尸∣+∣PQl的最小值为()

A.4B.5C.6D.7

【正确答案】A

【分析】根据给定条件，求出直线48的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借

助几何意义求解作答.

【详解】抛物线V=4x,焦点尸(1,0),准线/：x=-l,直线AB的方程为y=χ-l,

Iy=X-I2

由<,“消去y并整理得：X-6Λ+1=0,设4(x∣,χ),B(X2,y2),则为+々=6,

[y-=4x

弦Ag中点Q的横坐标XQ=受产=3,过点。作准线/的垂线，垂足为点W,如图,

令。。交抛物线于点尸'，在抛物线上任取点P,过P作PDL/于点。，连接22,PGQO,

即有IPq=IP4,|PTHPz)[,

∣PF∣+∣PQl=IPD∖+∖Pβ∣≥∣Qq>∖QD'∖=∖P'D'∖+∖P'Q∖=∖P'F∖+∖P'Q∖,

当且仅当点P与P重合时取等号，

所以IpFl+∣P0l的最小值为∣QD'bχ°-(T)=4.

故选：A.

二、多选题

9.如图，E,尸分别是长方体ABCf>-AbC77的棱A8,Co的中点，化简下列结果正确的是

()

B.AA'-AB+B'C'^BD'

C.AB,-AD+B'D'=0D.AB+CF=AF

【正确答案】AB

【分析】根据空间向量线性运算的性质逐一判断即可.

【详解】A：AA'-CB=AA1+AD=AD1,因此本选项正确；

B：AA'-AB+B'C'=BA!+A'D'=BD'.因此本选项正确；

C：AB'-AD+B'D'=AD'-AD=DD'≠0因此本选项不正确；

D：AB+CF=AB-EB=AE≠AF»因此本选项不正确，

故选：AB

10.已知《，尸2是双曲线及/=l(α>0,10)的左、右焦点且出凰=2c,过6作倾斜

角为夕的直线与y轴交于点M,与双曲线右支交于点尸，且IMH=IM制，下列判断正确的是

6

()

TT

A.ΛFxPFi=-B.E的离心率等于2月

C.双曲线渐近线的方程为y=±√∑xD.APBB的内切圆半径是［I-半

【正确答案】ACD

【分析】根据三角形中位线可得耳心，进而根据锐角三角函数以及焦点三角形即可判

断AB,根据a,b,c的关系即可求解渐近线，根据等面积法即可求解D.

【详解】由于IMH=IM娟可知M是P耳的中点，又。是耳心的中点，所以Pg//OM,故

TTTT

P鸟，片鸟，由于NP4居=B，因此N6PK=g,故A正确，

63

由于NPT笆=去的q=2c,故IP用=怨CjP周=苧C,由双曲线的定义

可知IP周-1PKl=^^C=2αne=£=G,故B错误，

由e=2=G=C=Ga=√2=V∑4,因此渐近线方程为y=±-x=>y=±y∣2x,故C正确，

aa

设AP尸/巳的内切圆半径为r,根据等面积法得

g(∣W∣+IP周+忻段)/■=；忻矶P图=；(2辰+2C)r=；x2cx半nr=(l-曰］c,故D

\/

正确，

故选：ACD

11.已知圆C:(x+1)?+V=9,则下列四个命题表述正确的是()

A.圆C上有且仅有3个点到直线/:X-by-l=O的距离都等于1

B.若圆C与E"2+y2-4χ-8),+∕√=O相外切，贝IJ加=4或7

C.过点43,4)作圆C的两条切线，切点分别为M,N,直线M/V的方程为4x+4y-5=0

D.一条直线与圆C交于不同的两点P,Q,且IGIlCP+CQITPQl≥0,则NPCQ的最小值为

2π

T

【正确答案】BC

【分析】根据直线与圆的位置关系判断A,根据圆与圆的位置关系判断B,利用两圆公共弦

的求法理解判断C,根据向量和垂径定理判断D.

【详解】圆C[x+iy+V=9的圆心为(T0),半径r=3,

H-Il_

圆心到直线X-Gy-I=O的距离为JJ+卜石)2=∣<T,所以圆上有4个点到直线

X-Gy-I=O的距离等于1,选项A错误；

圆£(》-2)2+(k4)2=20-病的圆心为(2,4),因为圆C与圆E相外切，所以

222

λ∕(-l-2)+(0-4)=3+√20-∕n,解得加=±4,选项B正确；

过点A(3,4)作圆C的两条切线，切点分别为",N,

A

则A,C,M,N四点共圆，且AC为直径，所以方程为W+y2-2x-4y-3=0,MN是其与圆C

的公共弦，所以直线脑V的方程为4x+4y-5=0,选项C正确；

设P。中点为O,则COLP。，

PD

因为网ICP+国一闸≥0,gp√3∙2CD22PD,所以石》——，则Nf)CP≤二，故NPCQ

CD3

的最大值为M，D错误：

故选：BC

12.任取一个正整数相，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.

反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1-4→2→1.这就是数学史上

著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数%=3,根据上述运算法，则得出

3→10→5→16→8→4→2→l,共需经过7个步骤首次变成1（简称为7步，雹程”），现给

出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列｛《,｝满足4=机（利为正整数），

”,α为偶数

。向=2",则下列叙述正确的是（）

.34+l,α“为奇数

A.当加=12时，经过9步雹程变成1

B.当机=2*（ZeN*）时，经过k步雹程变成1

C.当,”越大时，首次变成1需要的雹程数越大

D.若〃?需经过5步雹程首次变成1,则，〃所有可能的取值集合为｛5,32｝

【正确答案】ABD

【分析】根据“冰雹猜想”的定义，一一判断求解.

【详解】当m=12时，12→6→3→10→5→16→8→4→2→l

经过9步变成I,A正确；

m=2*（GwN*）时,2k→2k-l→2*-2→----->22→2,→1

经过了左步雹程变成1,B正确：

当帆=12时，经过9步变成1,当加=16时，经过4步变成1,故C错误；

〃?需经过5步雹程首次变成1,则1—2—4—8—16・5

或1―2—4—8—16—32,所以m所有可能的取值集合为｛5,32｝,D正确，

故选:ABD.

三、填空题

13.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角

垛”.“三角垛''最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第”层有册个球,

则«5=.

【正确答案】15

【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到

q=l+2+3+...+”=四罗，即可得解.

【详解】由题意可知，4=1,θ2=βl+2=1+2,%=%+3=1+2+3,…，

an=an_x+〃=1+2+3+...+”,

故a“=1+2+3+…,

所以a5=5x'+D=i5,

故15

14.圆V+V_4=o与圆Y+J_4x+4y-12=O的公共弦长为.

【正确答案】26

【分析】两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程，计算圆/+V-4=0的圆心到公共弦所

在直线的距离，再利用圆的弦长公式即可得出答案.

【详解】解：由圆χ2+V-4=0与圆V+y2-4χ+4y-12=0,

两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为χ-y+2=o,

圆χz+y-4=o的圆心O(0,0),半径-2,

则圆心。(0,0)到直线x-y+2=0的距离d=JRL=

所以公共弦长为2∕≡二万=20.

故答案为∙2夜

15.如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B,线段AC、8力分别在这个二面角的两

个面内，并且都垂直于棱AB,AB=4cm,AC=6cm,BD=Scm,Co=8cm.则这个二面角的余

弦值为.

【分析】根据空间向量数量积的运算律求解.

【详解】VBDLAB,ACA.AB,

UllUUUUllUllIU

∙*∙DB-BA=BA∙AC=O^

IlUUlLlUSl

设二面角C-AB-O为e，贝∣Jr>3∙AC=8x6xcos(τι-e)=-48cose,

,UUULlUUUUUUUI

由题意可得：DC=DB-^-BA+AC则

Uuil2/UUUUirUUUχ2Injn2Uir2uuuɔUUUUlrUiiIIILnlUIrIlUU

DC=∣DB+BA+AC∣=DB+BA+AC+2DBBA+2DBAC+2BAAC,

1313

,⅛82=82+42+62-96COS6?,整理得COSe=三，即这个二面角的余弦值为三.

故答案为.芝13

22

16.如图，点F为椭圆C』+方=l(α>6>0)的左焦点，直线y=丘分别与椭圆C交于A,

B两点,且满足E。为坐标原点，若tanZAFO=2tanNABF,则椭圆C的离心率

【正确答案】

2

【分析】根据题意，利用图中几何关系，再几何椭圆的定义，即可得解.

【详解】

由题知:

令IOAI=IOBl=x,∣AFl=yntanZAFO=-=2tanZABF=2上n

y2x

X=y=>∣OF∖=y[lx

连接An玛,所以IBFl=6=∣A用n24=∣AF∣+∣A国=x+6x,

且2c=∣FK∣=2√Σr,

√10-√2

从而e=

2

故巫产

四、解答题

17.己知数列｛4｝满足q=2.且4M=奈

(1)证明：为等差数列，并求数列｛4｝的通项公式；

1q

(2)设5“为数列｛4q,+J的前〃项和，求满足不等式5“＜亍的最大正整数〃的值.

2

【正确答案】(1)证明见解析，⅛=-

n

⑵〃二4

illil.I

【分析】(1)由已知可得-------=τ,则一为等差数列，且首项为：，公差为:，求出

-a,,2[a,J22

ɪ,从而可求出数列｛4｝的通项公式；

4,11、13

⑵由⑴可得4•%=-7~~ʌ=4--------7,再利用裂项相消法可求出S,,,从而由s“＜三

n[n+∖)∖nn+∖)4

可求出最大正整数〃的值.

2a,,111

【详解】(1)证明：：数列｛%｝满足4=2,且4用七」，两边同时取倒数得——=—+ɔ

2+q,al,+lall2

111

即-------=T,

aa

,,+ln2

11

又一=不

aλ2

.∙.1,］为等差数列，且首项为g,公差为3,

18.已知点P(l,-2)和以点Q为圆心的圆Q.(x-4y+(y-2)2=9

(1)若。'为PQ的中点，则求出以PQ为直径的圆。'的方程；

(2)设圆Q和圆。'相交于A,B两点，则直线用，PB是圆Q的切线吗？为什么？(需画出草

图，但图不占分)

【正确答案】(i)[χ-∣)+y2=^-(或J+y2-5x=o)

(2)答案见解析

【分析】(1)根据中点坐标公式球圆心，再求半径，即可求圆的方程;

(2)首先作图，并利用几何关系，确定垂直关系，即可判断.

【详解】(1)己知圆的方程为(*—4)2+(y—2)2=32,

.∙∙β(4,2),且尸(1,-2),P。的中点为Q'(∣∙,0),

2

半径为r=IPQ∖=(-2-O)=|

故圆Q，的方程为(X—|)+/=日或丁+/一5》=0

(2)连接A。，BQ,

,.∙PQ是圆。的直径，得ZPAQ=90

.∙.∕¾J"AQ（如图所示）.

.∙.∕¾是。Q的切线，同理PB也是。Q的切线.

19.如图，已知直线与抛物线V=2*5>0）交于A,B两点，且OAJ_O8,ODLAB,交

AB于点。，点D的坐标为（4,2）.

（1）求P的值；

（2）求AAOB的面积.

【正确答案】（I）P=I

⑵国

4

【分析】（1）利用垂直关系及点斜式写出直线AB的方程，联立抛物线，应用韦达定理及

OAOB=Q列方程求P的值；

（2）弦长公式求∣AB∣,两点式求IOq,即可得三角形面积.

【详解】（1）VODlAB,

∙*∙^OD,^ΛK=-1，乂MD=—,

kAB=-2,则直线AB的方程为y=-2x+10,

联立方程消y可得2χ2-(20+p)x+50=0①

设A(X/X2)，B(X2J2)，

∙*∙x∣÷X2=1。+~9%，尤2=25,

由OA±OB=>OA∙OB=0^>x1x2-^yly2=O,

χχ+-+

又NX2+y%=↑2(2x1+10)(-2/+10)=5中2-2O(Xl+x2)*θθ»

将代入可得P=3,且当P=3时方程①有解.

...P=-5.

(2)由IABI=J(l+.3)[(x∣+X2)J4χd2]=^-

V∖OE∖=2√5,

∙∙SAOB=∙^∣AB∣∙∣OD∣=-

20.如图，在直三棱柱ABC-ABCI中，C4=C3=1,ZBC4≈90o,AA=2,M是ABI的

中点，求：

(1)求异面直线AM与B1C所成角的余弦值;

(2)点B到平面ACM的距离;

(3)求AM与平面BICM所成角的正弦值.

【正确答案】(1)题

IO

(2)1

⑶半

AMB1C

【分析】⑴建立空间直角坐标系，利用kos<AM,8Q∣=求解即可;

AM忸C

∖CB-n∖

(2)设平面8cM的法向量为“，利用1=-」求解即可;

H

(3)设AM与平面BCM所成角为6,利用Sine=卜os<AM,〃>|求解即可.

【详解】(1)因为直三棱柱ABC-AB£,所以CC，平面A3C,又因为/36=90。，所

以CA,CB,CG两两垂直,

以C为坐标原点，分别以CA,CB,CC1所在直线为％>',Z轴建立如图所示空间直角坐标系,

,β1(0,l,2),C(0,0,0),

UUU

Il21——/、

所以AM=-2'2')'B1C=(0,-1,-2),

3√10

所以∣cos<AM,B1C>|=

AΛ∕∣∣βlC10

即异面直线AM与8(所成角的余弦值为噜.

(2)设平面瓦CM的法向量〃=(x,%z),

IlUlI

因为4C=(0,-L-2),4。,

B}Cn=-y-2z=0

所以解得〃=(2,2,T),

BIM∙n=ɪuʃɪo

22

∖CB-n∖心2|2

又因为CB=((U,O),所以点B到平面BCM的距离d=^√=

Hy∣22+22+(-I)23

(3)设AM与平面4CM所成角为巴

AMn|—1+1-2∣_2V2

则sinΘ=∣cos<AM,n>|

AM∣∣∏

即AM与平面BCM所成角的正弦值为还.

9

21.已知数列｛%｝的前〃项和为S,,且满足5z,=2",,-l("eN*):等差数列也｝满足々=1,且

b2,⅛3+l,d+6成等比数列.

⑴求数列｛叫与也｝的通项公式；

(2)记数列｛allb,,｝的前〃项和为Tn,求T1,.

【正确答案】⑴4,=2"T,b,,=3n-2

⑵7>5+(3〃-5>2"

【分析】(1)根据递推公式得出4川=2耳，进而求出数列｛q｝的通项公式，再利用已知条件

列出方程求出数列也｝的公差，进而求出数列物“｝的通项公式即可；

(2)结合(1)的结论，利用错位相减法求解即可.

【详解】(1)V5,,=2a,,-1,

:∙Sn+,=2an+1-l

∙,∙¾+∣=Sm-S,=2an+l-l-(20,,-l)=20,,+1-2an

∙^∙¾÷l=2a”,

又X=1,

所以数列｛5｝是首项为1,公比为2的等比数列，则%=2"T,

设等差数列｛，｝的公差为d，则由他+1)2=伪也+6))得(2+2d)2=(l+d)(7+3d),

解得：d=—1(舍)，或d=3,

所以勿=3,L2.

(2)由(1)可知:anbn=(3n-2)×2"-',令c,=α也,

T=C+c+c++c+C

则„\23n-∖n

：.7；=1+4x2+7x22++(3H-5)×2"^2+(3∕J-2)×2,,^I

.∙.27；=2+4χ2?+7×23++(3n-5)×2,,^1+(3n-2)×2π

.,.7；,=(3n-2)×2,,-3×(2+22÷+2n^l)-l

2×(l-2,,^l)

=(3n-2)×2,,-3×-1

1≡2^

=(3rt-2)×2,,-3×