上海实验东滩校区2022-2023学年九年级上学期数学期中试题

2022学年第一学期九年级学业质量调研数学

（完卷时间100分钟，满分150分）

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共25题.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，

在草稿纸、本试卷上答题一律无效.

2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计

算的主要步骤.

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.下列关于“相似形”的说法中正确的是（）

A.相似形形状相同、大小不同B.图形的放缩运动可以得到相似形

C.对应边成比例的两个多边形是相似形D.相似形是全等形的特例

【答案】B

【解析】

【分析】根据相似形的性质逐一判断即可.

【详解】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误；

B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确；

C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错

误；

D：全等形是相似形的特例，故选项D错误.

【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识.

2.已知三个数1,2,百，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数不可以的是（）

A.更B.殛C.石D.273

23

【答案】C

【解析】

【分析】能否构成一个比例式，根据“两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线

段”判断即可.

【详解】A.2XX3=1XJJ,能组成一个比例式，不合题意；

2

B.百=1x2,能组成一个比例式，不合题意；

3

C.1,2,拒,石，不能组成一个比例式，符合题意;

D.2Gxi=2x百，能组成一个比例式，不合题意；

故选：C

【点睛】本题考查了成比例的线段，熟知：两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比

例线段.

3.已知点P在线段AB上，满足AP2=BPA6,那么下列式子成立的是（）

AP>75-1APV5-1_BP石+1「BP石+1

A.-----D--

AB2BP2AB2AP2

【答案】A

【解析】

【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做

黄金分割，它们的比值（叵叫做黄金比.

2

【详解】解：•.•点尸在线段上，满足AP2=8PAB，

.•.点P把线段AB分割成钎和依两段，”是P8和AB的比例中项，

...根据线段黄金分割的定义得：丝="=避二1.

ABAP2

故选：A.

【点睛】考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键.

4.如果直线y=gx与x轴正半轴的夹角为锐角a,那么下列各式正确的是（）

.1111

A.sma=—B.cosa=—C.tana=—D.cota=—

2222

【答案】c

【解析】

【分析】在直线y=上任取一点p（”,；“），过点P作X轴的垂线，垂足为点8,则可求得a的正余

弦、正余切值，从而可得答案.

【详解】解：如下图，在直线y=上任取一点过点P作x轴的垂线，垂足为点8,

由勾股定理，可得OP=>JOB2+PB2

在直角一OBP中,

1।।0B|«|

PB刑1cota二=-^-=2

tan®=——==—PB-\a1\,1

0B1«12211

故选项C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了正比例函数的图像与性质、锐角三角函数等知识，关键是画出图形，并在直线任

取一点，作X轴的垂线构造直角三角形.

5.在^ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，8D=3,那么由下列条件能够判定DE//BC

的是（）

DE2AE2八AE2CE2

A.-----=—B.-—--—-c.-—--—-D.————

BC5AC5AD5AC5

【答案】B

【解析】

【分析】利用如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行

于三角形的第三边可对各选项进行判断即可.

AnAEADAE

【详解】当二=-----或----=----时L，DE//BC，

DBECABAC

,ADAE,iAE2

当——=—时.，可得----，

DBECEC3

”，ADAE.一/曰AE2

当——=——时，可得一=-

ABACAC5

pnAE23AE2

EC3AC5

所以B选项是正确的,

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

6.在工ABC和砂中，AB=AC,凡根据下列条件，能判断和/无尸相似的是（)

ABACABBC

___—___B.----------C.ZA=ZED.ZB=ZD

DE~DFDEEF

【答案】B

【解析】

【分析】利用两个三角形的三边对应成比例，两个三角形相似进行判定即可.

【详解】在△A8C和△£>£尸中，

..ABBCAC

,~DE~~EF~~DF'

：./\ABC^ADEF,

故选B.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

-八x+y

7.如果2x=3y,那么一-的值是.

x一丁

【答案】5

【解析】

【分析】根据分式的性质，分式分母同乘以2,结合题意，将2x=3y带入到分式中计算，即可得到答案.

x+y2（x+y）2x+2y

【详解】-~~广

x-y2（x-y）2x-2y

2x-3y

.x+y_2x+2y_3y+2y^5y

'x-y2x-2y?>y-2yy

故答案为：5.

【点睛】本题考查了分式的知识：解题的关键是熟练掌握分式的性质，从而完成求解.

8.计算：3。+2(。—b)=.

2

【答案】5a-b

【解析】

【详解】3a+21a-gb)=3a+2a-b=5a-b.

故答案为5a-b.

9.己知向量关系式24-6,+£)=0,如果用向量。、。表示向量x,可以表示为

【答案】-a-b

3

【解析】

【分析】根据运算法则可得6x=2a-6A，即可求解.

【详解】解：2"6,+，=0,

2。—6〃—6x=0，

**•6x=2a—6b，

故答案为：-a—b

3

【点睛】此题考查的是平面向量，掌握平面向量法则是解决此题的关键.

10.如果a为一锐角，且cosa=1,那么a的度数是.

2

【答案】600##60度

【解析】

【分析】根据特殊角的三角函数值即可得出答案.

【详解】解：：a为一锐角，且cosa='，

2

的度数是6()。，

故答案为：60°.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握“30。,45。,60。”的正切值、正弦值、余弦值是解本

题的关键.

11.已知在RtZXABC中，ZC=90°,AB=6,BC=2,那么sinA的值是

【答案】-

3

【解析】

【分析】画出图形，直接利用正弦函数值的定义进行求解即可.

故答案为：

3

【点睛】本题考查了三角函数值的定义，解题的关键是熟练掌握正弦函数值的定义.正弦函数值等于对边

比斜边.

12.如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的.如果直线/上的三个点A、3、C都在横线上，且

A5两点间的距离为4,那么B、C两点间的距离为.

【答案】2

【解析】

【分析】过点A作平行横线的垂线，交点8所在的平行横线于点。，交点。所在的平行横线于点E，根

据平行线分线段成比例定理列出比例式，求解即可.

【详解】解：如下图，过点A作平行横线的垂线，交点8所在的平行横线于点O,交点C所在的平行横线

于点E，

ABAD4

贝|J一=一，即Hn——=2,

BCDEBC

解得BC=2.

故答案：2.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理，找准等量关系是

解题关键.

13.如图，在_43。中，点£）在边AB上，如果AC?=AO.A5，那么图中一定相似的三角形是

【答案】AAQC和"。鸟

【解析】

【分析】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，以此为依据判定即可；

【详解】解：

.ADAC

AC-AB

VZA=ZA

；•AADC^AACfi

故答案为：AADC和△ACB

【点睛】本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

14.如果两个等腰直角三角形斜边的比是1：3,那么它们的面积比是.

【答案】1:9.

【解析】

【分析】根据等腰直角三角形都是相似三角形可知相似比是1：3,再由相似三角形的面积比等于相似比的

平方，即可求解.

【详解】；两个等腰直角三角形是相似三角形，

，这两个相似三角形的相似比是1:3,

...它们的面积比是1：9.

故答案为：1：9.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解

题的关键.

15.在中，是8C边上的中线，G是重心.如果AG=6,那么线段AO的长为.

【答案】9

【解析】

【分析】由重心的性质求解.

【详解】解：•••AD是BC边上的中线，点G是重心，

AG:DG=2:1,

•：AG=6,

DG=3,

AD=AG+£)G=6+3=9.

故答案为：9

【点睛】本题考查了重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1,根据题目条件准确画出对应

图形是解题的关键.

16.如图，梯形ABC。中，AB//CD,对角线AC、BD相交于点O，如果△A3。的面积是△BC£＞面

积的2倍，那么△D0C与MC的面积之比是_____.

【答案】1:2

【解析】

［分析诜根据DC//BA得至ijBN=DM,根据SABD=2SBCD得到段=：,再根据S的,=gDO.CH,

BO22

1sDO1

s可得到三*“------

23BO2,

【详解】解：过点。作ZWNAB，垂足为M,过点B作&V_LOC,交。C的延长线于点N,过点C

作CH_LDB与点H,

・,DC//BA,

•・BN=DM,

•'SABD=2SBCD，

'.-ACxDM=2x-DCxBN,

22

•.AB=2DC,

：DC//BA,

,•NCDO^NOBA,NDCO=NOAB,

ADCOSRAOB,

.DCDO

：S…(DO.CH，SBoc=gBO.CH，

.SDOC_D°_1

"SBOC~B0~2,

故答案为：1:2.

【点睛】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形

添加适当的辅助线是解题的关键.

17.如图是由边长为1的8个小正方形组成的矩形网格，A、B、C、。四个点都在小正方形的顶点上，如果

A、8的连线与C、。的连线交于E，那么AE的长度是.

【答案甘

【解析】

【分析】根据相似三角形的性质得出AE与鸵的数量关系，从而得出AE与AB的数量关系，根据勾股定

理求出AB的长度，进一步计算即可；

【详解】解：由题意可得：AC//BD

：./XACES/XBDE

.AEAC_2

.AE2

••-

AB5

AB=V22+42=2后

.2.475

••AE=—AB=---

55

A……4A/5

故答案为：士■

5

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点；熟练运用相似三角形的性质寻找线段

之间的数量关系是解题的关键.

18.如图，矩形ABCD,AB=3,8c=5.点E在边£>C上，将矩形ABCO沿3E所在直线翻折，顶点人

。的对应点分别为M,N,联结A/N.如果线段MN恰好经过点C,那么CE的长是.

【答案】I

3

【解析】

CEEN

【分析】设CE=x,则Z)E=£N=3—x,证明BMCsCNE,根据相似比一=——建立方程，解

BCMC

方程即可得到答案.

【详解】解：如下图所示,

设C£=x,则OE=EN=3—x,

：NBCE=90。,

：.NBCM+ZECN=90°,ZBCM+ZMBC=90°,

ZECN^ZMBC,

,/ZBMC=NCNE=90。,

.•jBMCs_CNE,

.CEEN

••茄一荻’

VBM=AB^3,BC=5,

：.MC=4,

.x_3-x

••一二,

54

故答案为：

3

【点睛】本题考查矩形、直角三角形和相似三角形的性质，解题的关键是证明_3MCs二CNE,根据相似

比建立方程.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

,］

▲型2cos-30°——tan45°

1in9.计算：2•

cot230°+4sin45°

【答案】3-2^2

【解析】

【分析】根据特殊角度三角函数、分式、平方差公式、二次根式的性质计算，即可得到答案.

,1

,2cos-30°——tan45°

［详解］2

cot230°+4sin45°

2x————xl

一⑺2

（可+普

3+272

3+2亚

3-2四

9-8

=3-2万

【点睛】本题考查了三角函数、二次根式、分式、乘法公式的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数、分

式、二次根式的性质，从而完成求解.

20.如图，在RtzXABC中，ZACB=90。，CDVAB,垂足为O,AC=4,BC=3.

（1）求BD的长；

（2）求/AC。的余切值.

9

【答案】（I）-

⑵3

4

【解析】

【分析】（1）先根据勾股定理求出A8的长，再根据三角形面积公式，利用等面积法可得8的长，再根据

勾股定理求解即可；

916

（2）由（1）得：BD=£从而得到AO=AB-80=一，再由余切值等于邻边与对边的比，即可求

55

【小问1详解】

解：•.•在R/&ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,

•,AB=AC2+BC2-J42+32=5,

••,CD是AB边上高，

：.-ABCD^-ACBCB|J-x5C£）=-x4x3,

2222

C£>=—,

5

在RtBOC中，由勾股定理得

BD=4BC?-CD?=

【小问2详解】

9

解：由（1）得：BD=~,

：,AD=AB-BD=—,

5

12

cotZAC£>=—=4-3

AD164

J

【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，求余切值，熟练掌握勾股定理，利用等面积法求线段长是解答

的关键.

21.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、D4的中点.

（1）如果设48=。，BC=b，AD=c>那么，DC=，HE=（含力、b、

c的式子表示）；

（2）求作：BC-DG-（请在原图上作图，不要求写作法，但要写出结论）

1.1

【答案】（1）c—a•b—c+a：5a一5。

（2）BC-DG=BG>图见解析・

【解析】

【分析】（1）根据向量三角形法则及中位线定理即可得到答案;

（2）先根据相等向量找到DG的相等向量GC，再根据三角形法则即可的到答案.

【小问1详解】

解：根据向量三角形法则，得

BA+AD=BD'BD+DC=BC，

,•*AB=a，BC—b»AD-c，

••BA=—AB=-a，

BD=—AB+AD=c—a，DC=BC—BD=h—c+a，

V£>”分别是边AB、D4的中点，

Z.EH=-BD=-c--a,

222

JHE=-EH=-a--c.

22

1-1.

故答案为：c—a；b—c+a；~c.

【小问2详解】

解：.rG分别是边8的中点，

DG=GC=-DC,

2

根据向量三角形法则可得，

BC—DG=BC—GC=BG，

如图所示：

【点睛】本题考查平面向量的知识，解题的关键是掌握相等向量定义，向量三角形法则及中位线定理.

22.学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆A8的高度，做了如下的探索：

他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的

镜子放在距离旗杆底部（B）8.4米的点E处，然后沿着直线后退到点。处，此时恰好在镜子里看到旗

杆顶部A,即NCE£>=NAEB.再用皮尺测得为2.4米，观察者目高CO为1.6米.

根据上述测量方案及数据，求旗杆A3的高度.

【解析】

【分析】根据题意可得NABE=NCDE=90。，可证得△AB£S^CDE,即可求解.

【详解】解：根据题意得：ZABE=ZCDE-90°,

,：ZCED=ZAEB,

△ABE—ACDE,

BEAB8.4AB

：.---=----,即Hll——=----,

DECD2.41.6

解得：AB=5.6米，

答：旗杆AB的高度为5.6米.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

23.已知：如图，在中，点D,E在边BC上，ZDAE=ZACB,过点B作AE的平行线，交AO

的延长线于点F,连接CF.

（1）求证：DADF=DBDC；

（2）如果AB=AC,求证：ZAFB=ZAFC.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）首先根据AE/377得到NZME=NZ）EB，然后结合NQ4E=NACB得到

ZDFB=ZACB,然后结合NADC=ZBO尸证明出最后根据相似三角形的性质求

解即可；

(2)首先根据△AOCsAg。/和AB=AC得到一=—和NABPu/COF,然后证明出

DFCD

ABFs.CDF,最后根据相似三角形的性质求解即可.

【小问1详解】

AE〃BF

；•ZDAE:/DFB

•/ZDAE^ZACB

/.ZDFB=ZACB

又：ZADC^ZBDF

•••AADCS^BDF

ADDC

*,--=---->即oDA-DFDB-DC；

BDDF

【小问2详解】

AADC^ABDF

.BFDF

*'AC-CD

AB^AC

.BFDFBFAB

«<---------,即Hn----=----

ABCDDFCD

dADCs^BDF

：.AFBD=ADAC

•；AB^AC

•••ZABC=ZACB

：.ZABC+ZFBD=ZACB+ZDAC

/.ZABF=ZCDF

"ABFsjJDF

ZAFB=ZAFC.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理.

24.如图1,在中，AC=BC,。是腰BC的中点，延长A3至点E，使。E=ZM，延长ED交

CF

AC于点尸，求上一的值.

AC

c

c

(l)先研究特殊等腰三角形.如图2,当Nfl4C=60。时，求一的值；

AC

(2)再研究一般等腰三角形.如图1,证明在等边三角形中得到的结论在•般等腰三角形中仍然成立.

【答案】(1)-

4

(2)见详解

【解析】

【分析】(1)取AC中点G,连接。G,利用等边三角形的性质可得点尸为CG中点，从而得出答案；

AE3

(2)取A8中点“，连接首先证明可得到=可推导——=—，然后

EH2

根据£>H〃AC,可知EDHsEFA，利用相似三角形的性质即可获得结论.

【小问1详解】

解：如下图，取AC中点G,连接OG,

♦..点。是8C的中点，

•••DG是中位线，

DG//AB,

VAC=BC,ZBAC=60°,

.ABC为等边三角形，ZACB=ZABC=ZBAC=6()°,

•.•点。是的中点，

/.NZMB」NBAC=30。，

2

*.•DE=DA，

二N£;=NZMB=30。，

ZE+ZBAC=300+60°=90°,

/.ZAFE=180°-ZE-ZBAC=9()°,即AF_LM，

DG//AB,

•••ZCDG=ZCGD=NBAC=60°,

_CDG为等边三角形，

：.CF=-CG,

2

•••CG=-AC,

2

/.CF=-AC,

4

CF4AC1；

~AC~AC~4

【小问2详解】

取A5中点，，连接£)〃，如下图，

•.•点。是3C的中点，

：.DH//AC,且

2

AC=BC,

：.DH=DB,

•••ZDHB=ZDBH，

DE=DA，

；•ZZMB=ZE，

:•ZDHB—NDAB=ZDBH-/E,即ZADH=NEDB，

:…ADHAEDB(SAS),

；•AH=EB,

.AE_3

••丽-5'

,/DH//AC,

...,EDHs*EFA，

.AFAE3

•AF_3

"AC-4'

.CF_1

"~AC~4'

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性

质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题

关键.

4

25.如图，在平行四边形A8C0中，AB=\O,BC=T2,sin6=—.点E在边3c上，过点E作边3C

的垂线，交平行四边形的其它边于点F,在EF的右侧作正方形EFG”.

(1)如果点G在对角线AC上，求正方形EFG”的面积;

(2)设EF与对角线AC交于点P,如果点G与点O重合，求AP:CP的值;

(3)如果点尸在边AB上，且△GC7/与相似，求此的长.

【答案】(1)-

25

(2)2:1

18Tl08

(3)一或——

537

【解析】

4

【分析】(1)过A作A/，5c垂足为M,根据sinB=g计算出40=8,根据勾股定理计算出

BM=yjAB2-AM2=6-从而得到AW垂直平分BC，再证明一得到B£="C,设

FE=x,分别得到6/=』x,根据5。=5£+团+”。建立方程，解方程即可得到答案；

4

(2)根据矩形的性质推到得防=40=8,得出AF=AO-ED=12-8=4,再根据勾股定理计算出

CH=6,通过AF|EC证明AFPsCEP,通过三角形的相似