河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题含答案

郑州市2023年高中毕业年级第一次质量预测

文科数学试题卷(答案在最后)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合4=卜+引%€8,八3},5={0,1},则Ac3=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1}D.0

2.若z=l+2i+i3,则|z|=()

A.0B.1C.41D.2

3.设a,beR,则“lga+lgb=0”是=l”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.记S,,为等比数列{4}的前"项和.若%-%=12,4-4=24,则=()

A.32B.31C.63D.64

5.将2个1和3个0随机排成一行，则2个I不相邻的概率为()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

6.过抛物线丁=以的焦点F作直线交抛物线于4(玉,芳)、3(马，必)两点，若玉+々=4,则的值为

()

A.4B.6C.8D.10

7.已知函数=g(x)=sinx,下图可能是下列哪个函数的图象()

A.”x)+g(x)-2B.〃x)-g(x)+2

CD.得

8.已知函数/(x)=sin,x+$®〉0),下列说法正确的是()

A.若6y=2,则函数f(x)在(O.?)上存在零点

B.若。=2,则将函数/(X)的图象向左平移差个单位长度，所得图象关于原点对称

C.若函数/(x)在、=空上取到最大值，则。的最小值为:

D.若函数f(x)在(0,^)上存在两个最值，则。的取值范围是3<。45

9.设“X)是定义城为R的奇函数，且/(l+x)=/(l—X).若//牛;，则/界卜0

A-4B-4c-1D-1

10.在正方体ABCO-AgGQ中，P为耳。的中点，则直线OP与耳C所成的角为()

H.设耳，鸟为双曲线c：手一9=1的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点p(0,2).当|°制+归。

取最小值时，的值为o

A.>/3-yp2,B.>/3+>/2C.—2D.\/6+2

12.已知。<5且。/=5/,b<4且％4=4e",cv3且则()

A.a<c<hB.a<b<cC.c<h<aD.h<c<a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若两个非零向量b满足卜+匕|=卜一可=|2同，则a—6与日的夹角为.

P-XY<0

14.设函数/(x)=1；j，则满足〃x+l)<〃2x)的x的取值范围是.

15.已知圆柱的两个底面的圆周在体积为竽的球。的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为.

16.“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项

为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11;将描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2,

1个1”,则第四项为1211；将1211描述为“1个1,1个2,2个1”,则第五项为111221,…，这样每次从左

到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列{4},下列说

法正确的有.

①若q=3,则从&开始出现数字2;

②若4=a(4=1,2,3,…，9),则的最后一个数字均为“；

③{a,,}不可能为等差数列或等比数列；

④若q=123,则均不包含数字4.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都

必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）自主创新是我国经济发展的核心动力，科技自立自强已被赋予国家发展战略支点的功能.目前实

现科技自立自强我们仍面临巨大挑战，越来越多的企业主动谋划、加快发展，推动我国科技创新迈上新台阶.某

企业拟对某芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入亿元）与科技升级直接收益y（亿

元）的数据统计如下：

序号1234567

X234681013

y13223142505658

根据表格中的数据，建立了y与x的两个回归模型：模型①：y=4.1x+11.8；模型②：$=21.3«-14.4.

（I）根据下列表格中的数据，比较模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型；

（II）根据（I）选择的模型，预测对芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益.

回归模型模型①模型②

回归方程y=4.1x+11.8夕=21.3«-14.4

2(y-犷182.479.2

/=1

Z（X-名）2

（附：刻画回归效果的相关指数R2=l-々---------,V17*4.1）

E（x-y）2

i=]

18.（12分）如图，在四棱锥「一4500中，PA_L底面ABC。，AD±AB,AB//DC,AD=DC=AP-2,

A8=l,点E为棱PC的中点.

（I）证明：平面~BC_L平面PCD；

（ID求四棱锥£一ABC。的体积；

19.（12分）

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c且8+c=acos8+J§asin8.

（I）求角A的大小；

（H）若。是8c边上一点，且CD=2DB,若AT>=2,求AABC面积的最大值.

20.（12分）已知函数/（x）=lnx+l.

（I）若/（x）«x+c,求c的取值范围；

（II）设a>0时，讨论函数g（x）=♦（?1/（"）的单调性.

21.（12分）已知椭圆C：岑+£=1（。〉。〉0）的离心率为坐，直线4过椭圆C的两个顶点，且原点。

到直线4的距离为平.

（I）求椭圆c的标准方程；

PA

（II）当过点P（0,2）的动直线/与椭圆C相交于两个不同点A,B时，求f的取值范围.

PB

（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所写的第一题计分.

22.（10分）

.=1

人一，

在直角坐标系X。），中，曲线C的参数方程为《c0a（a为参数，a#kn吟）,以坐标原点。为极

、，>/3sina2

Iy—cosa,

点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕cos（8+q）=l.

（I）求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

（II）已知点P（2,0）,若直线/与曲线C交于A,B两点,求的值.

阿

23.(10分)已知/(%)=|2%+2|+|%—3|.

（I）求不等式/（x）<5的解集;

（11）若/⑺的最小值为向正实数b，，满足"，求证出+氏++？言.

2023年高中毕业年级第一次质量预测

文科数学评分参考

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

l.A2.C3.A4.B5.C6.B7.D8.C9.C10.Dll.A12.B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

jl

13.y；14.（-oo,0）;15.2万；16.②④.

三、解答题：共70分。

17.解析：（I）由表格中的数据，182.4>79.2,

182.479.2,182.4,79.2

.------->--------1--7-------<1--7-------，

22>2

*'E（x-y）E（x-y）E（x-y）E（X-7）2

i=li=li=li=l

...模型①的相关指数R2小于模型②的相关指数所2,

.•.回归模型②的拟合效果更好

（II）当x=17亿时，科技升级直接收益的预测值为：

y=21.3«-14.4»72.93（亿元）

18.解析：⑴在四棱锥P—ABC。中，巳4_1底面48。,4。_14民/3//。。,

由AO=DC=AP=2,AB=1,得PB=BC=6

又点E为棱PC的中点，BE工PC,

由AO=DC=AP=2,AC=20,PC=2g，得AE=M,BE=6,AB=1，

由AE2=BE2+AB2,得又CD,CDCP=C,

故BE，面PC。,又BEu面PBC,所以平面PBC1平面PCD.

（H）点E为棱PC的中点，

Vss=；%g=gg；（l+2）22=1

19.解析：（1）因为4+£=&（：0$6+迅〃$1113,

所以sin8+sinC=sinAcosB+V3sinAsinB，

又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB4-cosAsinB,

所以sin3+cosAsin3=>/3sinAsinB,

而Bs(0,7i),sinAw0,

式]

所以6sinA-cosA=1，即sin(A-")=—,

62

又因为0<4<〃，所以---<A-----<—，故A-----=—,解得A=—.

666663

21

(II)因为8=203,AD=-AB+-AC

339

)21142

由AZ/=(±AB+LAC)2,所以4=±〃+2。2+4力仁

33999

,1小422—4,2入2,

4--b~+—c+—hc>—bc+—bc--bc,

999993

解得力cW6,当且仅当人=2c=2G时取“=”，

所以A8C的面积为S='-AC-AB-sinBAC=3bcW3叵，

242

当且仅当力=2c=2百时，A3C的面积有最大值为竽.

20.解析：(I)/(x)“x+c等价于lnx-Kc-1.

设/7(x)=lnx_x,则=«.

xx

当Ovxvl时,//«>(),所以〃(x)在区间(0,1)内单调递增；

当X>1时，”(X)<0,所以人(外在区间(1,+8)内单调递减.

故也初皿=3)=7,所以。-12一1,BPc>0,所以c的取值范围是［0,+8).

(nJx+Thw+l)=(lnlM(x>o且=公，

x-ax-a

E”，/、(x-a-xlnx+xln〃)zKz1，

因止匕g(x)=-------;-----2-------------，设加(x)=(x-a—xlnx+xlni),

x(x-a)

则有加(x)=(InQ-Inx),

当x>〃时，lnx>lntz,所以加(x)〈0,〃0)单调递减，因此有皿幻v/〃(a)=0,

即g<x)<0,所以g(x)单调递减；

当0cx<〃时，Inxvlna,所以加(幻>0,祖(力单调递增,因此有加x)vm(a)=0,

即g'(x)<0,所以g。)单调递减,

所以函数g(x)在区间(()，〃)和3位)上单调递减，没有递增区间

21.解析：(I)由题意得0=£=、1一4=且，所以。=如，

a\a22

不妨设直线4的方程为2+==1,成+q=1,即x+2y-2b=0,

ah

2b275

所以原点。到直线乙的距离为d

忑=~T

2

解得6=1,所以。=2,故椭圆C的标准方程为三+尸=1.

4

/、/、x,+Ax,y,+2y,

(1[)设人(%,乂)、3(w，%)，设AP=4尸8(4~1),------^=0,------=2,

(1+2)(1+4)

J

9+短=1，%城=1,

于是：<2故V

匕+%=1，分今+丸2%2=矛.

得，生上孕^装+(必-办2)(%+4)=1-力，

4

（X也）（工+&2）+（x-+2月）=1_x

4（1+A）1+4

1-2

将点P坐标代入，（%一4%）=F又（必+义当）=2（1+4）,

得乂="^，又必6［-1，1］，故法〔V，T）上，且行-1.

所以圜="*』）（1,3］.

（-）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所写的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

1

x二,

（1）曲线C的参数方程为(a为参数，a#br+马,

v3sincr2

y=，

cosa

2•2

所以v=—Vy_sin-a，所以f—£=L

-0

cos-a3cos'a3

2

即曲线C的普通方程为£-±=1.（3分）

3

直线I的极坐标方程为夕cos[6+1)=1,则p(cos0cos-sinsinyj=1,

转换为直角坐标方程为x-6y-2=0.（5分）

x=2+与

（2）直线/过点尸（2,0）,直线/的参数方程为2（f为参数）

令点A,8对应的参数分别为乙，芍，

X=241