第27讲 几何图形背景下的相似三角形的存在性（原卷版）

第27讲几何图形背景下的相似三角形的存在性【技巧点拨】二次函数背景下的相似三角形考点分析：1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。【中考挑战满分模拟练】1．（2023浦东新区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，点D是斜边AC上的动点，联结BD，EF垂直平分BD交射线BA于点F，交边BC于点E．（1）如图，当点D是斜边AC上的中点时，求EF的长；（2）联结DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的长；（3）当点F在边BA的延长线上，且AF＝2时，求AD的长．2．（2023杨浦区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，AC＝3，BC＝4，点Q是CB延长线上的一动点，过点Q作QP⊥CD，交CD的延长线于点P．（1）当点B为CQ的中点时，求PD的长；（2）设BQ＝x，PD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BDF和△ABC相似时，求BQ的长．3．（2022徐汇区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．4．（2022•徐汇区二模）如图，AB为半圆O的直径，点C在线段AB的延长线上，BC＝OB，点D是在半圆O上的点（不与A，B两点重合），CE⊥CD且CE＝CD，联结DE．（1）如图1，线段CD与半圆O交于点F，如果DF＝BF，求证：；（2）如图2，线段CD与半圆O交于点F，如果点D平分，求tan∠DFA；（3）联结OE交CD于点G，当△DOG和△EGC相似时，求∠AOD．5.（2022青浦一模24）．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值；（3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．6.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线y＝x上，如图．二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象也经过点A、B两点，并与y轴相交于点C，如果BC∥x轴，点A的横坐标是2．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数图象的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B所组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标；（3）设这个二次函数图象的顶点是M，求tan∠AMC的值．7.（202崇明一模）24.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；（3）如果以B、P、N为顶点的三角形与△ABO相似，求点M的坐标．8.（2022宝山一模）已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；（2）联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；（3）抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．9.（2022静安区一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D．（1）求直线AB的表达式；（2）求tan∠ABD的值；（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．10.（2021年宝山二模24）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；（2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积；（3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标．11.（2021崇明二模24）（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限