2024届高考考前冲刺系列数学模拟试卷02（新高考、新结构、新情境）（含答案）

届高考考前冲刺系列数学模拟试卷02（新高考、新结构、新情境）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，且，则（

）A． B．C．或 D．2.已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（）A. B. C. D.4.已知函数的图象如图所示，那么该函数可能为（）A. B.C. D.5.下列说法错误的是（）A.若随机变量、满足且，则B.样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为C.若事件、相互独立，则D.若、两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强6.已知圆台上、下底面的半径分别为3和5，母线长为4，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则面积的最大值为（）A. B. C. D.7.已知数列的前项和为，，，且是，的等差中项，则使得成立的最小的的值为（）A.8 B.9 C.10 D.118.已知函数，，其中是函数的导函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在一次数学测试中，老师将班级60位同学的成绩按照从小到大的顺序进行排列后得到的原始数据为（数据互不相同），其极差为，平均数为，则下列结论中正确的是（

）A．的平均数为B．的第25百分位数与原始数据的相同C．若的极差为，则D．的平均数大于10.已知点为圆：上的动点，点的坐标为，，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列结论正确的有（）A.的最大值为2B.曲线方程为C.圆与曲线有两个交点D.若，分别为圆和曲线上任一点，则的最大值为11.如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形内包含边界的动点，则（）A.满足平面的点的轨迹为线段B.若，则动点的轨迹长度为C.直线与直线所成角的范围为D.满足的点的轨迹长度为第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为.13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________.14.若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为__________．．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知，.(1)求角的大小;(2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.16．（本小题满分15分）如图，四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是矩形，，，且平面PAB⊥平面PCD．E、F分别是AB、CD的中点．．（1）求证：△PEF是直角三角形；（2）求四棱锥P―ABCD体积的最大值；（3）求平面PEF与平面PBC的夹角余弦值的范围．17．（本小题满分15分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，讨论曲线与曲线交点个数．18．（本小题满分17分）已知，设动点满足直线的斜率之积为4，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线方程；（2）点为直线上的动点，直线与曲线交于点（不同于点），直线与曲线交于点（不同于点）．证明：直线过定点．19．（本小题满分17分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”．（1）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；（2）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；（3）（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”；（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．2024届高考考前冲刺系列数学模拟试卷02（新高考、新结构、新情境）参考答案一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.12345678DBDBDADC二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.91011ACCDAD三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12． 13．14．①②④三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.15．（本小题满分13分）【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和，得到，从而求出角；（2）由三角形面积公式和余弦定理得到，从而求出周长.【详解】（1）由已知，得，根据正弦定理，得，即，即，由于，，所以，所以；(7分）（2）因为，所以，因为直线为的平分线，所以，所以，则，即，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍），故的周长为.(13分）（本小题满分15分）【解析】（1）设平面PAB平面PCD，由于AB∥DC，平面ADC，CD平面ADC，因此∥平面PDC，而AC平面APB，平面PAB平面PCD，因此AB∥l，而AB⊥PE，因此l⊥PE．而平面PAB⊥平面PCD，平面PAB平面PCD，PE平面PAB，因此PE⊥平面PDC，而PF平面PDC，因此PE⊥PF，故△PEF是直角三角形．（6分）（2）由于PE⊥PF，，因此P是以EF为直径半圆上的点．而AB⊥EF，AB⊥PE，，PE，EF平面PEF，因此AB⊥平面PEF，而AB平面ABCD，因此平面PEF⊥平面ABCD．故P到平面ABCD的最大距离为，四棱锥P―ABCD体积最大为．（9分）（3）设EF中点为O，作过O垂直EF的直线m．设平面PEF与平面PBC夹角为．以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．则，，，，并设．平面PEF的一个法向量为，，，设平面PBC的法向量为，因此，可取，不妨设，，，因此随增大而增大因此．（15分）17．（本小题满分15分）【答案】（1）；（2）2．【解析】【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【小问1详解】依题意，，故，而，故所求切线方程为，即．(5分）【小问2详解】令，故，令，，令，．①当时，，在上为减函数，即在上为减函数，又，在上有唯一的零点，设为，即．在上为增函数，在上为减函数．又，在上有且只有一个零点，在上无零点；②当时，单调递减，又，在内恰有一零点；③当时，为增函数，，单调递增，又，所以存在唯一，当时，递减；当时，递增，，在内无零点．综上所述，曲线与曲线的交点个数为2．(15分）【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.18．（本小题满分17分）【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设点，由题意直接列方程,化简即可求解.（2）（方法一）设，，，联立方程求得，，求得直线的方程，进而求得结果；（方法二）设，由及三点共线得；，及，均在曲线上，化简整理可得，设与曲线联立，利用韦达定理可得，进而求得结果；（方法三）设，，，易知直线不垂直于轴，所以设直线的方程为，由及三点共线，及，在曲线上，化简可得，，进而求得结果.【小问1详解】设，则，由整理得【小问2详解】证明：（方法一）设，，，则即联立与曲线方程得且解得（舍去）或将代入得所以，其中同理，可解得，其中当时，即时，此时，所以此时直线的方程为；当时，直线的方程为整理得，所以直线过定点(17分）（方法二）设，则由及三点共线得；将上面两式相除，再平方可得：①因为，均在曲线上，故满足；②将②代入①可得整理可得③当直线的斜率存在时，设将直线的方程代入曲线得且由韦达定理得，将上式代入③式可得解得（舍去）或，故直线的方程为当直线垂直于轴时，易求得此时的方程为，所以直线过定点(17分）（方法三）设，，，易知直线不垂直于轴，所以设直线的方程为由及三点共线得；由上式可得，即将，代入可得①因为，为曲线上的点，由（1）可知，，所以，即将，代入可得②①②式相减可得又易知，所以，所以直线的方程为，故直线过定点(17分）19．（本小题满分17分）【答案】（1）1、2、3、18；（2）50不是“佳幂数”，理由见解析（3）（ⅰ）1897；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）由数列的“佳幂数”的定义求解即可；（2）由题意求出，由“佳幂数”的定义判断即可；（3）(i)根据（2）中的分组先确定时，所分组数的范围，结合新定义配出的形式，确定出的最小值；(ii)根据(i)中的结论证明即可.【小问1详解】因为，所以1为该数列的“佳幂数”；又因为，，所以2、3、18也为该数列的“佳幂数”；所以该数列的前4个“佳幂数”为：1、2、3、18；(7分）【小问2详解】由题意可得，数列如下：第1组：1；第2组：1，2；第3组：1，2，4；…第组：，则该数列的前项的和为：，①当时，，则，由于，对，，故50不是“佳幂数”．(12分）【小问3详解】（ⅰ）在①中，要使，有出现在第44组之后，又第