2023年湖北省襄阳四中、五中特长生自主招生数学试卷

第1页（共1页）2023年湖北省襄阳四中、五中特长生自主招生数学试卷一.单项选择题（本题共10小题，每题5分，共50分）.1．（5分）当x＝8时，的值为（）A． B．﹣ C． D．2．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的表面积是（）A．6 B． C． D．3．（5分）从编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球中随机取出2个，则取出球的编号互不相同的概率为（）A． B． C． D．4．（5分）荆州方特东方神画主题乐园，于2019年9月12日在荆州盛大开园．该景点位于荆州纪南文旅区，为湖北地区规模最大、档次最高的历史文化主题乐园．游客要从景点C走到D，经测量∠CAB＝90°，AC＝，BD＝2CD，且AD＝20米（）米．A． B． C． D．305．（5分）x2﹣6x+8＝±k只有两个实根，则k的取值范围是（）A．k＝0 B．k＞1 C．0≤k＜1 D．k＞1或k＝06．（5分）在R上定义运算：a⊕b＝（a+1）b，当1≤x≤2时，存在x使不等式2⊕mx＜4成立（）A． B． C．m≤0 D．7．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变：④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．（5分）如图，等腰直角△ABC中，A为直角顶点，E分别在线段AB和BC上，且满足AD＝2BD，则CE：EB＝（）A．5：4 B．5：3 C．3：2 D．2：19．（5分）圆O半径为5，弦AB⊥CD，且AB＝CD＝5，阴影部分记为Ⅱ，设Ⅰ、Ⅱ的面积分别记为S1，S2，则S1+S2为（）A． B． C． D．10．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数y＝被称为狄利克需函数（以下命题中的A、B、C三点均在此函数上）：①存在三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）使得△ABC为等腰直角三角形；②存在三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）使得△ABC为等边三角形．③已知M（1，3），N（2，2），A（x1，y1），B（x2，y2）且为有理数，边无理数，则四边形MABN周长的最小值是．其中正确说法的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二.填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）.11．（5分）如图，在半径为10的圆O中，∠AOB＝90°，AC的延长线交圆O于点D，则线段CD的长为．12．（5分）如果方程x3﹣4x2+（3+k）x﹣k＝0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数k＝．13．（5分）若关于x、y的方程组无解，则实数k＝．14．（5分）如图，已知矩形ABCD顶点A（0，0）、B（1，0）（1，2），我们规定“把矩形ABCD先关于x轴翻转，再向x轴正方向滚动一次（无滑动），例如：第一次变换是从初始位置先翻转至Ⅰ处，再向x轴正方向滚动至Ⅱ处．如此这样，此时的A点坐标为．15．（5分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，点E在线段BC上运动，将△ABE沿AE翻折使点B落在B'处，则sin∠ADB'＝．16．（5分）设S＝+++…+则不大于S的最大整数[S]等于．三.解答题（本题共6小题，共70分）.17．（10分）一次函数y＝﹣x+3与的第一象限的图象交于A，B两点．（1）求k的取值范围；（2）若k＝2，求此时△OAB的面积．18．（10分）（1）求值：；（2）已知x2﹣x﹣1＝0，求的值．19．（12分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是（点P不与点A、B重合），连接AP、BP、CP，CP与AB交于点D（1）求证：△ACM≌△BCP；（2）若PA＝1，且AD：DB＝1：2．求⊙O的半径．20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+2与x、y轴分别交于A、B两点，直线y＝k2x﹣1与x、y轴分别交于C、D两点，点P（﹣6，﹣4）是这两条直线的交点．（1）求k1和k2的值；（2）若Q是直线AB一动点（不与P重合），若△PBC和△PDQ相似时，求点Q的坐标．21．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，如图1，点A在x轴的负半轴，点C在y轴的正半轴上（1）若A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣1），C（0，2），直接写出点D的坐标；（2）如图2，在直线EF上有点A，分别引两条射线AB、AC．∠BAF＝110°，射线AB、AC分别绕A点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，是否存在某时刻，使得AC与AB在同一条直线上？若存在（3）在（2）的条件下，是否存在某时刻22．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣6，0），B（2，0）两点（0，c）．（1）若此函数当﹣1≤x≤3时，函数值y的最大值是1，求a；（2）已知C（0，8）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），连接CE，设AE的长为m，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）已知c＞0，若O为△ABC的外心，平面内存在点D使得OADB四点共圆且D点关于x轴的对称点恰好为△OAB的内心

2023年湖北省襄阳四中、五中特长生自主招生数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题（本题共10小题，每题5分，共50分）.1．（5分）当x＝8时，的值为（）A． B．﹣ C． D．【解答】解：把x＝8代入得：原式＝＝＝＝﹣＝﹣．故选：B．2．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的表面积是（）A．6 B． C． D．【解答】解：由三视图可得原多面体如图：此多面体的表面是由3个边长为1的正方形，3个腰为1的等腰直角三角形和1个边长为，此多面体的表面积＝3×13+3××12+××＝，故选：B．3．（5分）从编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球中随机取出2个，则取出球的编号互不相同的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：列表如下：红1红2红4红4红5黑8黑2黑3黑8黑5红1（红8，红2）（红1，红4）（红1，红4）（红2，红5）（红1，黑4）（红1，黑2）（红4，黑3）（红1，黑5）（红1，黑5）红3（红2，红1）（红6，红3）（红2，红4）（红2，红5）（红3，黑1）（红2，黑4）（红2，黑3）（红4，黑4）（红2，黑3）红3（红3，红3）（红3，红2）（红4，红4）（红3，红2）（红3，黑1）（红6，黑2）（红3，黑5）（红3，黑4）（红6，黑5）红4（红7，红1）（红4，红3）（红4，红3）（红3，红5）（红4，黑2）（红4，黑2）（红5，黑3）（红4，黑4）（红4，黑5）红8（红5，红1）（红7，红2）（红5，红6）（红5，红4）（红7，黑1）（红5，黑8）（红5，黑3）（红8，黑4）（红5，黑3）黑1（黑1，红7）（黑1，红2）（黑6，红3）（黑1，红4）（黑1，红5）（黑5，黑2）（黑1，黑6）（黑1，黑4）（黑4，黑5）黑2（黑5，红1）（黑2，红4）（黑2，红3）（黑7，红4）（黑2，红5）（黑2，黑1）（黑3，黑3）（黑2，黑3）（黑2，黑5）黑6（黑3，红1）（黑6，红2）（黑3，红4）（黑3，红4）（黑4，红5）（黑3，黑5）（黑3，黑2）（黑4，黑4）（黑3，黑6）黑4（黑4，红2）（黑4，红2）（黑6，红3）（黑4，红3）（黑4，红5）（黑7，黑1）（黑4，黑6）（黑4，黑3）（黑3，黑5）黑5（黑6，红1）（黑5，红2）（黑5，红3）（黑5，红4）（黑5，红7）（黑5，黑1）（黑6，黑2）（黑5，黑7）（黑5，黑4）共有90种等可能的结果，其中取出球的编号互不相同的结果有80种等可能的结果，∴取出球的编号互不相同的概率为＝．故选：D．4．（5分）荆州方特东方神画主题乐园，于2019年9月12日在荆州盛大开园．该景点位于荆州纪南文旅区，为湖北地区规模最大、档次最高的历史文化主题乐园．游客要从景点C走到D，经测量∠CAB＝90°，AC＝，BD＝2CD，且AD＝20米（）米．A． B． C． D．30【解答】解：∵AC＝CD，设CD＝x，∴AC＝CD＝x，∴BC＝3x，∴＝＝＝，而∠C公共，∴△ACD∽△BCA，∴∠CAB＝90°＝∠ADC，而AC＝CD米，∴AC2＝AD3+CD2，∴3CD4＝400×3+CD2，∴CD＝10．故选：B．5．（5分）x2﹣6x+8＝±k只有两个实根，则k的取值范围是（）A．k＝0 B．k＞1 C．0≤k＜1 D．k＞1或k＝0【解答】解：若x2﹣6x+6＝±k只有两个实根，则x2﹣6x+7﹣k＝0有两个实根，x2﹣2x+8+k＝0无实根，∴（﹣8）2﹣4（4﹣k）＞0，（﹣6）2﹣4（8+k）＜6，解得k＞1，∵x2﹣7x+8＝0时，Δ＝（﹣3）2﹣4×3×8＞0，∴x3﹣6x+8＝3只有两个实根，故k的取值范围是k＞1或k＝0，故选：D．方法二：∵函数y＝x4﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，∴抛物线y＝x7﹣6x+8开口向上，顶点为（7，∴若抛物线y＝x2﹣6x+5与直线y＝﹣k无交点，则k＞1，∵y＝x2﹣2x+8＝（x﹣4）（x﹣5），∴抛物线y＝x2﹣6x+3与x轴有两个交点为（4，0）和（8，故x2﹣6x+3＝±k只有两个实根，则k的取值范围是k＞1或k＝0，故选：D．6．（5分）在R上定义运算：a⊕b＝（a+1）b，当1≤x≤2时，存在x使不等式2⊕mx＜4成立（）A． B． C．m≤0 D．【解答】解：∵2⊕mx＜4，∴7mx＜4，∵当1≤x≤2时，存在x使不等式2⊕mx＜4成立，∴m，∴m＜，故选：D．7．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变：④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解答】解：由图可知，点A的纵坐标的相反数表示成本．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本，②正确；图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变，④错误．故选：C．8．（5分）如图，等腰直角△ABC中，A为直角顶点，E分别在线段AB和BC上，且满足AD＝2BD，则CE：EB＝（）A．5：4 B．5：3 C．3：2 D．2：1【解答】解：过B作BN⊥AE于N，∵等腰直角△ABC，AE⊥CD，∴AC＝AB，∠ACD＝∠BAE＝90°﹣∠EAC，∴△ACM∽△DCA，∴，∵AD＝2BD，∴AC＝AB＝3BD，∴，∵BN⊥AE，∴∠CAD＝∠N＝90°，∴△ACM≌△BAN，∴AM＝BN，∴，∵AE⊥CD，BN⊥AE，∴∠CME＝∠N＝90°，∴△CEM∽△BEN，∴，故选：C．9．（5分）圆O半径为5，弦AB⊥CD，且AB＝CD＝5，阴影部分记为Ⅱ，设Ⅰ、Ⅱ的面积分别记为S1，S2，则S1+S2为（）A． B． C． D．【解答】解：作OE⊥AB，垂足为E，垂足为点F、OC，由垂径定理可得：BE＝＝，CF＝，∵AB＝CD，AB⊥CD，∴OF＝OE，在Rt△OBE和Rt△OCF中，由勾股定理得：OE＝OF＝＝，∴∠BOE＝∠COF＝60°，∴∠BOC＝360°﹣2×60°﹣90°＝150°，∴S扇形BOC＝＝，S△BOE＝＝，S空白＝S正方形+2S△BOE+S扇形BOC＝+2×+＝++，∴S1+S2＝25π﹣﹣﹣＝．故选：B．10．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数y＝被称为狄利克需函数（以下命题中的A、B、C三点均在此函数上）：①存在三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）使得△ABC为等腰直角三角形；②存在三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）使得△ABC为等边三角形．③已知M（1，3），N（2，2），A（x1，y1），B（x2，y2）且为有理数，边无理数，则四边形MABN周长的最小值是．其中正确说法的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①当A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y5）不共线，即A、B、C三点中有两点在直线y＝0上，或者一点在直线y＝0上，两点在直线y＝7上，不妨设A（x1，y1），B（x7，y2）在直线y＝0上，C（x2，y3）在直线y＝1上，则A（x2，0），B（x2，8），C（x3，1），且x4、x2为无理数，x3为有理数，若△ABC为等腰直角三角形，则C必为直角顶点，即，|x1﹣x2|＝7，当x1、x2为无理数时，x8也为无理数，故①错误；②同理，不妨设A（x1，y1），B（x6，y2）在直线y＝0上，C（x5，y3）在直线y＝1上，则A（x7，0），B（x2，3），C（x3，1），且x7、x2为无理数，x3为有理数，若△ABC为等边三角形，则，，可令，，x7＝0，故②正确；③由题意可知，点A（x1，y3）在x轴上运动，点B（x2，y2）在直线y＝5上运动，作点N（2，2）关于x轴的对称点N′（2，则C四边形MABN＝MB+BA+AN+MN＝MB+BA+AN′+MN≥MN′+MN＝+，故③正确；综上，正确的个数为2个，故选：C．二.填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）.11．（5分）如图，在半径为10的圆O中，∠AOB＝90°，AC的延长线交圆O于点D，则线段CD的长为3．【解答】解：过点O作OH⊥AD于H，∴AH＝DH＝AD，∵C为OB的中点，∴OC＝OB＝5，∵∠AOB＝90°，∴AC＝＝＝5，∵S△AOC＝OA•OC＝，∴10×5＝5OH，∴OH＝2，∴AH＝＝4，∴AD＝2AH＝4，∴CD＝AD﹣AC＝8﹣3．故答案为：3．12．（5分）如果方程x3﹣4x2+（3+k）x﹣k＝0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数k＝．【解答】解：∵关于x的方程x3﹣4x2+（3+k）x﹣k＝0有三个根，∵x4﹣4x2+（2+k）x﹣k＝0，∴x3﹣6x2+kx﹣x2+4x﹣k＝0，∴x（x2﹣5x+k）﹣（x2﹣3x+k）＝7，∴（x﹣1）（x2﹣4x+k）＝0，∴①x﹣1＝6，解得x1＝1；②x8﹣3x+k＝0，∴Δ＝7﹣4k＝0，即k＝，∴k的值是k＝．故答案为：．13．（5分）若关于x、y的方程组无解，则实数k＝﹣3．【解答】解：把方程组变形为，若关于x、y的方程组，则方程组无解，则直线﹣kx+y﹣2+k＝0与直线5x+y﹣5+k2＝2平行，∴＝≠，∴k＝﹣3，故答案为：﹣3．14．（5分）如图，已知矩形ABCD顶点A（0，0）、B（1，0）（1，2），我们规定“把矩形ABCD先关于x轴翻转，再向x轴正方向滚动一次（无滑动），例如：第一次变换是从初始位置先翻转至Ⅰ处，再向x轴正方向滚动至Ⅱ处．如此这样，此时的A点坐标为（3035，0）．【解答】解：经过1次变换后，A的坐标为（1，经过5次变换后，A的坐标为（4，经过3次变换后，A的坐标为（4，经过4次变换后，A的坐标为（6，经过3次变换后，A的坐标为（7，经过6次变换后，A的坐标为（10，……，3次为一个周期，∵2023÷4＝505……3，505×6＝3030，3030+5＝3035，∴经过2023次变换后，此时的A点坐标为（3035，故答案为（3035，0），）．15．（5分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，点E在线段BC上运动，将△ABE沿AE翻折使点B落在B'处，则sin∠ADB'＝．【解答】解：在▱ABCD中，AB＝3，∴AD＝BC＝5，以A为圆心，AB为半径作圆，∴AB′＝AB＝5，当DB′与⊙A相切时，∠ADB′达最大值，此时AB′⊥DB′，∴sin∠ADB'＝＝，故答案为：．16．（5分）设S＝+++…+则不大于S的最大整数[S]等于2014．【解答】解：1++＝＝＝＝＝＝，∴＝＝1+﹣．∴S＝+++…+＝1+7﹣+3+﹣﹣+••••••+5+﹣＝2015﹣，∴不大于S的最大整数[S]等于2014．故答案为：2014．三.解答题（本题共6小题，共70分）.17．（10分）一次函数y＝﹣x+3与的第一象限的图象交于A，B两点．（1）求k的取值范围；（2）若k＝2，求此时△OAB的面积．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+3与的第一象限的图象交于A∴﹣x+3＝，即x2﹣3x+k＝2有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣8k＞0，∴k＜；（2）设直线y＝﹣x+3与x轴的交点为点C，如图，在直线y＝﹣x+3中，令y＝8，∴C（3，0），解得或，∴A（4，2），1），∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×3×4+．18．（10分）（1）求值：；（2）已知x2﹣x﹣1＝0，求的值．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝＝﹣2；（2）∵x4﹣x﹣1＝0，∴x7＝x+1，x2﹣x＝3，∴＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝﹣1．19．（12分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是（点P不与点A、B重合），连接AP、BP、CP，CP与AB交于点D（1）求证：△ACM≌△BCP；（2）若PA＝1，且AD：DB＝1：2．求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；∵CM∥BP，∴∠M+∠APB＝180°，∴∠M＝∠ACB；又∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC，∴∠M＝∠BPC；在△ACM与△BCP中，，∴△ACM≌△BCP（AAS）；（2）解：过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，连接OB，DT⊥PB于点T．∵∠APC＝∠BPC＝60°，DT⊥PB，∴DT＝DK，∴＝＝＝，∴＝，∵PA＝8，∴PB＝2，∵∠APC＝∠BPC＝60°，∴∠BPQ＝60°，∴∠PBQ＝30°，∴PQ＝PB＝1，在Rt△BPQ中，BQ＝＝，在Rt△AQB中，AB＝＝＝，∵△ABC为等边三角形，∴AN经过圆心O，∴BN＝AB＝，∴AN＝＝，在Rt△BON中，设BO＝r﹣r，∴（）2+（﹣r）7＝r2，解得：r＝．即⊙O的半径为．20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+2与x、y轴分别交于A、B两点，直线y＝k2x﹣1与x、y轴分别交于C、D两点，点P（﹣6，﹣4）是这两条直线的交点．（1）求k1和k2的值；（2）若Q是直线AB一动点（不与P重合），若△PBC和△PDQ相似时，求点Q的坐标．【解答】解：（1）将点P的坐标代入两个函数表达式得：，解得：，即k1和k3的值分别为：1、；（2）由（1）知，直线AB的表达式为：y＝x+2①x﹣1，则点A、B、C、D的坐标分别为：（﹣2、（7、（2、（0，则PB＝，PD＝；当△PQD∽△PBC时，则BD∥BC，由点B、C的坐标得，则直线QD的表达式为：y＝﹣x﹣3②，联立①②得：x+2＝﹣x﹣1，解得：x＝﹣，则点Q（﹣，）；当△PQD∽△PCB时，则，即，解得：PQ＝4，由直线AB的表达式知，其和x轴的夹角为45°，则xQ﹣xP＝5，则xQ＝﹣3，即点Q（﹣1，1），综上，点Q的坐标为：（﹣，，1）．21．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，如图1，点A在x轴的负半轴，点C在y轴的正半轴上（1）若A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣1），C（0，2），直接写出点D的坐标；（2）如图2，在直线EF上有点A，分别引两条射线AB、AC．∠BAF＝110°，射线AB、AC分别绕A点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，是否存在某时刻，使得AC与AB在同一条直线上？若存在（3）在（2）的条件下，是否存在某时刻【解答】解：（1）点D的坐标（1，1），理由：如图8，作BE⊥x轴于E，DF⊥CF，∵A（﹣3，0），﹣5），2），∴E（﹣2，5），∴AE＝﹣2﹣（﹣3）＝4，BE＝0﹣（﹣1）＝6，∵CF∥x轴，∴∠FCD+∠ACD+∠CAE＝180°，由平移得CD∥AB，CD＝AB，∴∠EAB+ACD+∠CAE＝180°，∴∠FCD＝∠EAB，∴△FCD≌△EAB（AAS），∴CF＝AE＝1，DF＝BE＝1，∴F（2，2），∴D（1，2）．（2）存在某时刻，使得AC与AB在同一条直线上，如图2，∵∠BAF＝110°，∴∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝170°，当AC与AB在同一条直线上，且AC在直线EF的左侧时，解得t＝5；当AC与AB重合时，则3t＝t+（360﹣170），解得t＝95，综上所述，存在某时刻，时间t为5秒或95秒．（3）存在某时刻，使得射线AC平分∠EAB，如图2，∠CAE＝180°﹣∠CAF＝120°，如图8，AC平分∠EAB，∴70+t＝2（3t﹣120），解得t＝62，∴存在某时刻，使得射线AC平分∠EAB．22．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣6，0），B（2，0）两点（0，c）．（1）若此函数当﹣1