考点巩固卷04 函数的性质（十大考点）（解析版）

考点巩固卷04函数的性质（十大考点）考点01：判断函数单调性1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（

）

A．是函数的增区间 B．是函数的减区间C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数【答案】C【分析】根据函数的图像结合函数单调性的含义，即可判断出答案.【详解】根据函数图像可知函数在上递增，在上递减，故A，B正确；函数在上也单调递增，但区间和不是连续区间，并且由图象可知，因此不能说函数在上是增函数，C错误；由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上是减函数，D正确，故选：C2．下列函数中，在区间上是减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；对于B：在定义域上单调递增，故B错误；对于C：定义域为，因为在上单调递减且值域为，又在定义域上单调递减，所以在上单调递增，故C错误；对于D：，函数在上单调递减，故D正确；故选：D3．在下列函数中：①，②，③，④，在上为增函数的有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．①④【答案】B【分析】根据范围直接去绝对值号，进而判断函数单调性，从而得解.【详解】因为，所以①在上单调递减，不符合题意；②在上为常函数，不符合题意；③在上单调递增，符合题意；④在上单调递增，符合题意；故符合题意的为③④.故选：B.4．已知函数同时满足性质：①；②当时，，则函数可能为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，确定函数的奇偶性和在上的单调性，再逐项判断作答.【详解】由，知函数是偶函数，由当时，，知在上单调递减，对于A，函数在上单调递增，A不是；对于B，指数函数不具奇偶性，B不是；对于D，当时，在上单调递增，D不是；对于C，函数是偶函数，当时，，而余弦函数在上单调递减，即在上单调递减，C是.故选：C5．（多选）奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（

）A．当时，B．函数在上递减C．D．函数在上递增【答案】ABD【分析】结合的图像，根据奇函数的对称性，分析函数的值域、单调性、函数值，由此确定正确选项.【详解】解：根据图像可知：时，，在递减，在上递增，所以根据奇函数性质，当时，，A正确；当时，在递减，在上递增，故BD正确.由于在上递增，所以，故C错误.故选：ABD6．下列命题正确的是（

）A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同【答案】C【分析】分别判断出，，和的单调性，即可判断．【详解】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误；对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误；对于C：在是增函数，在是减函数，，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确；对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数；设定义域为，取，则，当时，，即在上单调递减，当，，即在上单调递减，同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，故选：C．考点02：求函数的单调区间7．（2023·海南海口·统考）函数的单调递减区间是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求【详解】，则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；当，的单调递减区间为，故的单调递减区间是和.故选：B8．函数的单调增区间为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）【答案】D【分析】先分离常数，再结合复合函数的单调性求解即可．【详解】解：∵函数1，定义域为{x|x≠0}，且y的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故函数的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故选：D．9．定义域为的函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则：（1）函数的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________；（2）函数的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________．【答案】【分析】由的图象与的图象关于x轴对称和的图象是由的图象向左平移一个单位，再关于关于x轴对称得到，从而得解.【详解】解：因为的定义域为，且在区间上是增函数，在区间上是减函数，且的图象与的图象关于轴对称，所以的单调递增区间是；单调递减区间是；又的图象是由的图象向左平移一个单位，再关于关于x轴对称得到的，所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是.故答案为：，，，.10．函数的单调递增区间是（

）A． B．∪C．和 D．【答案】C【分析】先对函数化简，然后画出函数图象，结合图象可求出函数的增区间.【详解】，函数图象如图所示，由图可知函数的递增区间为和，故选：C11．函数的严格减区间为______．【答案】/【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数求出单调递减区间作答.【详解】函数的定义域为R，令，函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在R上是增函数，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的严格减区间为.故答案为：12．已知函数的单调增区间为__________．【答案】【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.【详解】解：令，由，可得，所以，解得，所以函数的定义域为，由余弦函数的性质可知：在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域上为单调递增函数，由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为.故答案为：考点03：函数的最值问题13．设，若函数，当时，的范围为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据的单调性可直接构造方程组求得结果.【详解】在上单调递减，，解得：.故选：B.14．函数的最小值为________.【答案】【解析】根据函数解析式，先令，将问题转为求函数在上的最值问题，根据单调性，即可求解.【详解】因为，，令，则，所以令，，因为指数函数与一次函数都是增函数，所以也是增函数，所以时，.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解函数最值（值域）的常用方法：1.单调性法：先判断函数的单调性，再由单调性结合端点值求出最值（值域）；2.图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点求出最值（值域），若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法求解；3.基本不等式法：先将解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后利用基本不等式求最值（值域）；4.导数法：先求出导函数，然后求出给定区间的极值，结合端点值，求出最值（值域）；适用于三次函数、分式函数及含，，，结构的函数，且可求；5.换元法：对比较复杂的函数先通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值（值域）；6.分离常数法：形如的函数的值域，经常使用“分离常数法”求解；7.配方法：求解二次型函数时，一般需要配方，结合二次函数的性质求解.15．函数y=+的最大值为__________.【答案】【分析】首先求出函数的定义域，然后将函数平方，利用二次函数的性质即可求解.【详解】由，解得，即函数的定义域为，，当时，取得最大值，即.故答案为：16．若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（

）A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是【答案】A【分析】根据题意得到函数在区间为增函数，结合选项，即可求解.【详解】由题意，奇函数在区间上是增函数，则函数在区间也为增函数，所以函数在区间上的最大值为，最小值为.故选：A.17．已知函数（x>0），若的最大值为，则正实数a=___________.【答案】1【分析】依据题意列出关于a的方程即可求得正实数a的值.【详解】令，则，则令当时，在上单调递增，则，即的最大值为则，解之得.当时，（当且仅当时等号成立）则，即的最大值为则，解之得（舍）综上，所求正实数故答案为：118．已知函数在区间上的最大值为，则实数的值为______．【答案】【分析】将函数化为，,，讨论，和时函数的单调性，运用单调性可得最大值，解方程即可得到所求值．【详解】解：函数，即，,，当时，不成立；当，即时，在,递减，可得为最大值，即，解得，成立；当，即时，在,递增，可得为最大值，即，解得，不成立；综上可得．故答案为：.考点04：恒成立问题与存在性问题19．不等式对满足的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围．【答案】【分析】构造函数，原不等式等价为对于任意恒成立，从而只需满足即可，进而解不等式可得答案.【详解】不等式化为：对于任意的恒成立，令，要使对于任意恒成立，由于函数是关于的一条直线，则有，解得，故x的取值范围为.20．如图所示，定义域和值域均为R的函数的图象给人以“一波三折”的曲线之美．（1）若在上有最大值，则a的取值范围是______；（2）方程的解的个数为______．【答案】；【分析】（1）利用数形结合思想，结合最大值的定义进行求解即可；（2）利用换元法，结合数形结合法进行求解即可.【详解】（1）由图象可知：该函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，要想在上有最大值，则有，a的取值范围是；（2）令，，或，若，根据函数图象，可知该方程有三个不相等实根；若，根据函数图象，可知该方程有一个实根，所以方程的解的个数为，故答案为：；21．若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分离参数将问题转化为有解，计算即可.【详解】由题知，而，所以，又，所以.因为关于的不等式有实数解，即有实数解，所以，即.故选：A22．若存在实数，使得不等式成立，求x的取值范围．【答案】或【分析】原不等式可化为.设，根据的符号讨论，结合一次函数的单调性，即可得出答案.【详解】原不等式可化为.设，当时，恒成立，满足题意；当时，恒成立，不满足题意；当时，函数单调递增，要使不等式成立，则应有，即有，解得，或；当时，函数单调递减，要使不等式成立，则应有，即有，解得，.综上所述，x的取值范围为或.23．对于任意，函数的值恒大于零，则x的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】将函数的解析式变形为，并构造函数，由题意得出，解此不等式组可得出实数的取值范围【详解】对任意，函数的值恒大于零设，即在上恒成立.在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.则只需线段的两个端点在轴上方，即，解得或.故选：C.24．在区间上，函数的图象恒在直线上方，则实数m的取值范围是__________．【答案】【分析】依题意在区间上恒成立，设，则只要其最小值大于即可，根据二次函数的性质求出其最小值，即可得到不等式，解得即可.【详解】由题意得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，则只要其最小值大于即可，因为的对称轴为直线，所以当时，取得最小值，则，解得，即的取值范围是.故答案为：.考点05：利用函数的单调性求参数的取值范围25．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.【详解】由题意，，在中，函数单调递增，∴，解得：，故选：C.26．函数，对且，，则实数的范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先判断函数在区间的单调性，再结合二次函数的对称轴，列式求实数的范围.【详解】因为对且，，所以函数在区间单调递减，函数的对称轴是，所以，得.故选：B27．函数在上是增函数，则实数a的值为__________．【答案】0【分析】根据一次函数及二次函数的单调性即可得到结论．【详解】当时，函数，在上单调递增，符合题意；当时，函数，其对称轴为，若，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；若，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，综上，.故答案为：0.28．函数在上是减函数，则的取值范围是__________．【答案】【分析】依题意函数是由向右平移个单位得到，再由幂函数的性质判断的单调性，即可得到的单调性，从而求出参数的取值范围.【详解】因为函数是由向右平移个单位得到，函数为偶函数，且函数在上单调递增，则在上单调递减，所以函数在上单调递增，则在上单调递减，又函数在上是减函数，所以，即的取值范围是.故答案为：29．函数，若对于任意，，当时，都有，则实数a的取值范围是________．【答案】【分析】首先将不等式变形，并构造函数，讨论的正负，结合函数在区间的单调性，求实数的取值范围.【详解】∵对于任意，当时，都有，∴，令，则在上单调递增，又∵，当时，满足题目条件，此时；当时，，时，，当时，等号成立，根据对勾函数单调性可知，有，∴，综上可知，.故答案为：．30．“”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据函数的单调性与导数的关系和必要不充分条件的判断即可求解.【详解】若在区间（1，2）上单调递减，所以在区间（1，2）上恒成立，所以在区间（1，2）上恒成立，所以，所以，所以“”是“”的必要不充分条件，所以“”是函数在区间（1，2）上单调递减”的必要不充分条件，故选：C.考点06：判断函数的奇偶性31．已知函数，则（

）A．为奇函数 B．为偶函数C．为奇函数 D．为偶函数【答案】B【分析】方法一：可得，即可得到函数关于对称，从而得到为偶函数；方法二：求出的解析式，即可判断.【详解】方法一：因为，所以，所以函数关于对称，将的函数图象向左平移个单位，关于轴对称，即为偶函数.方法二：因为，，则，所以为偶函数；又，故，，所以，，故为非奇非偶函数；又，故，，所以，，故为非奇非偶函数；又，故，，所以，，故为非奇非偶函数.故选：B32．函数的奇偶性为（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【答案】C【分析】求出的定义域不关于原点对称，即可判断为非奇非偶函数.【详解】函数的定义域为，则，由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.故选：C.33．若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐项判断即可.【详解】若，则，则是偶函数，故A错误；若，则,则是偶函数，故B错误；若，则，则是奇函数，故C正确；若，则，则是偶函数，故D错误.故选：C34．判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（常数）．【答案】(1)既是奇函数，又是偶函数(2)偶函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数(5)奇函数【分析】（1）（2）（3）（4）（5）求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义判断可得出结论.【详解】（1）解：对于函数，，解得，所以，函数的定义域为，此时，满足，，故函数既是奇函数，又是偶函数.（2）解：函数的定义域为，对任意的，，所以，函数为偶函数.（3）解：对任意的，，则，所以，函数的定义域为，对任意的，，所以，，所以，，故函数为奇函数.（4）解：对于函数，有，解得，故函数的定义域为，所以，函数为非奇非偶函数.（5）解：因为，对于函数，有，解得或，所以，函数的定义域为，此时，，则，所以，函数（常数）为奇函数.考点07：利用奇偶性求函数值或参数值35．若函数为奇函数，则___________.【答案】【分析】根据奇函数的性质，得到，求得，结合奇偶性的定义，即可求解.【详解】由函数为奇函数，可得，即，解得，当时，，此时函数为奇函数，符合题意；当时，，则，即，此时函数为奇函数，符合题意，综上可得，实数的值为.故答案为：.36．设，则“”是“为奇函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据为奇函数，可得，即可求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】若为奇函数，则，，解得，经检验，符合题意，“”是“为奇函数”的充分不必要条件.故选：A．37．函数是偶函数，当时，，则________.【答案】【分析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解.【详解】因为当时，，所以当时，，所以，函数是偶函数，所以，所以，故答案为：.38．若是奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解即可.【详解】由题意得，解得，则的定义域为，又为奇函数，所以，可得，当时，，其定义域为，，所以是奇函数，故.故选：A.考点08：利用奇偶性求解析式39．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．求函数的解析式.【答案】【分析】由奇函数的性质可得出的值，利用奇函数的定义可求得函数在时的解析式，综合可得出函数在上的解析式.【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，当时，，当时，，则，所以当时，，所以.40．校联考阶段练习）已知函数满足为奇函数，则函数的解析式可能为______________（写出一个即可）．【答案】(答案不唯一)【分析】根据奇函数的定义选择函数的解析式即可.【详解】取，则符合题意．故答案为：.41．已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为__________.【答案】【分析】根据奇函数性质可得定义域关于原点对称求出，，再利用函数单调性和奇偶性即可求出不等式的解集.【详解】根据奇函数定义可知，可得，函数定义域为；又，可得，所以；易知函数在上单调递增，所以不等式即为，根据函数单调性和奇偶性可得，解得.故答案为：42．已知函数为上的奇函数，当时，，则时，_________．【答案】【分析】由奇函数性质可得时，，由条件求可得结论.【详解】因为函数为上的奇函数，所以对任意的，，所以当时，，，因为当时，，，所以，所以，故答案为：.考点09：函数周期性的应用43．在如图所示的的图象中，若，则_____.【答案】3【分析】根据图象确定函数周期，利用函数的周期求值即可.【详解】由图象知：周期为0.02，所以.故答案为：344．函数是以4为周期的周期函数，且当时，，试求当时，的解析式.【答案】【分析】根据函数的周期性求得正确答案.【详解】依题意，函数是以4为周期的周期函数，当时，，所以，当时，，所以，综上所述，.45．已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则_______.【答案】/【分析】先求出函数的周期，再通过周期以及时的解析式可得.【详解】由得的周期，，又当时，，.故答案为：.46．写出一个最小正周期为6的奇函数______．【答案】（答案不唯一）【分析】此题答案不唯一，只要满足最小正周期为6且为奇函数即可.【详解】的最小正周期为,且定义域为，同时满足题意.故答案为：47．若的定义域为，对任意的，都有，且，则_________.【答案】1【分析】根据已知等式得函数的周期性，即可求得的值.【详解】，即是周期为4的函数..故答案为：.48．已知是定义在上的偶函数，并且满足，当时，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，结合函数的周期性和奇偶性可求得的值.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，并且满足，则，所以，函数是周期为的周期函数，且当时，，则.故选：B.考点10：单调性与奇偶性的综合问题49．已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.【详解】依题意，函数的大致图像如下图：因为是定义在上的偶函