第一章 集合与常用逻辑用语单元复习提升（3大易错与2大拓展）（解析版）

集合与常用逻辑用语单元复习提升（易错与拓展）易错点1忽略集合中元素的互异性【指点迷津】集合中的元素具有确定性、无序性和互异性．在求有关集合问题时，很多同学因为忽略元素的互异性导致出错，所以大家在处理集合问题时尤其要注意元素的互异性．典例1.1已知集合，，则（）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可.【详解】∵，∴或．若，解得或．当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，集合，满足题意，故成立．若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，．故选：D．典例1.2已知集合，，若，则a等于（

）A．－1或3 B．0或1C．3 D．－1【答案】C【分析】根据集合相等即元素相同解出a，再根据集合元素互异性求出a值.【详解】由有，解得，.当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去.当时，，满足题意.故选：C.跟踪训练1.1若，则a的值为.【答案】【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答.【详解】因为，则当，即，此时，矛盾，若，解得，此时，，符合题意，即，而，即，所以a的值为.故答案为：跟踪训练1.2设a，，若集合，则.【答案】2【解析】由集合相等的定义，分类讨论求出，，代入求解即可.【详解】由易知，由两个集合相等定义可知若，得，经验证，符合题意；若，由于，则方程组无解综上可知，，，故.故答案为：2【点睛】本题主要考查了根据集合相等求参数，属于基础题.易错点2忽略空集【指点迷津】空集不含任何元素的集合，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.（1）对于任意集合,有，所以如果,就要考虑集合或可能是;如果，就要考虑集合可能是.（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.典例2.1已知，若，求实数a的值.【答案】1或4【分析】根据一元二次方程，解得集合，根据根的判别式以及根与系数关系，可得答案.【详解】由已知可得，因为，则或或或，当时，，无解，当时，则，解得，当时，则，无解，当时，则，解得，综上，实数a的值为1或4.典例2.2已知集合，若，则m的取值范围为．【答案】【分析】分和讨论结合条件即得．【详解】∵，∴当时，，所以，当时，，解得，综上所述，的取值范围是．故答案为：.典例2.3已知，，且，则a的取值范围为．【答案】【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解.【详解】由题意，集合，当时，即，解得，此时满足，当时，要使得，则或，当时，可得，即，此时，满足；当时，可得，即，此时，不满足，综上可知，实数的取值范围为.故答案为：.跟踪训练2.1设，若，求所有满足条件的的集合.【答案】【分析】先求出，再就分类求出，根据即可求的取值集合.【详解】因为，，若，则，此时满足；若，则，因为，故或，解得或，所以的取值集合为.跟踪训练2.2已知：，且，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据给定的条件，借助集合的包含关系列出不等式，求解作答.【详解】因集合，，由得：，当，即时，，则，当时，则，解得，综上，即实数的取值范围是.故答案为：.跟踪训练2.3已知集合，且，则实数m的取值范围是.【答案】.【分析】根据集合间的包含关系，分和，两种情况讨论，即可求解.【详解】由集合，若时，可得，此时满足；若时，要是得到，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.易错点3p是q的充分条件与p的充分条件是q【指点迷津】基本概念对于若则类型中，为条件，为结论若充分性成立，若必要性成立若，，则是的充要条件若，，则是的充分不必要条件若，，则是的必要不充分条件若，，则是的既不充分也不必要条件在若则类型中，p是q的充分条件指，而此时说“p是q的充分条件，或说q的充分条件是p”，而p的充分条件是q，指的是，即p是q的必要条件，而在做题时，如不能清晰理解概念，则会导致做题错误.典例3已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可.【详解】由题意得，所以，且等号不能同时成立，解得.故选：D.跟踪训练3若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可．【详解】若不等式的一个充分条件为，则，所以，解得.则实数的取值范围是.故选：D.拓展1德摩根公式典例1.1已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据补集和并集的定义运算即得.【详解】全集，集合，，所以，因此，.故选：D.典例1.2设集合，，则（

）A．或 B．C．或 D．【答案】C【分析】先求出和，再求交集即可.【详解】由已知得或，或，或.故选：C.典例1.3已知集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，.设集合中有个元素，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析可得至少有个元素，至多有个元素，由，由补集的定义即可求解.【详解】集合中有10个元素，中有6个元素，因为，至少有个元素，至多有个元素，所以至多有个元素，至少有个元素，集合有个元素，则且为正整数.即的取值范围是，故选：.跟踪训练1.1若全集，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由补集与并集的概念求解，【详解】由题意得，，故选：B跟踪训练1.2已知全集，集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，结合集合的运算，求解即可.【详解】由题可得：，，故．故选：.跟踪训练1.3已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解集合与集合的补集，利用交集运算求解即可.【详解】解：因为全集，集合，，则，，故.故选：B.拓展2容斥定理容斥问题涉及到包含与排除原理，也叫容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分.典例2.1某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有（

）A．98人 B．106人 C．104人 D．110【答案】B【分析】根据韦恩图可求高一年级参加比赛的同学的人数.【详解】由上述韦恩图可得高一年级参加比赛的同学的人数为：，故选：B.典例2.2某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（

）A．120 B．144 C．177 D．192【答案】A【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，则不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为即由容斥原理：解得：故选：A跟踪训练2.1为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（

）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】C【分析】先画出韦恩图，根据荣斥原理求解.【详解】画出维恩图如下：设：只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人，则：，；故答案为：32人.跟踪训练2.2某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（

）名A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生.【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，所以单独参加数学的有人，单独参加物理的有人，单独参加化学的有，故参赛人数共有人，没有参加任何竞赛的学生共有人.故选：D.

一、单选题1．设集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由补集和交集的概念即可求解.【详解】由题可知：，，所以.故选：C2．若集合则值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】由集合相等和集合中元素的互异性，可得出结果.【详解】由题意可知，，且，故选：C3．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可得，进而即得.【详解】因为不等式的一个充分条件为，所以，由可得，所以，所以，解得.故选：A.二、多选题4．若集合，，且，则满足条件的实数a可以为（

）A． B．0 C． D．【答案】ABC【分析】分和两类情况讨论即可求解.【详解】，当时，，满足；当时，，若，解得；若，解得.所以满足条件的实数a可以为.故选：ABC三、填空题5．已知全集，集合，，则．【答案】【分析】可以直接利用德摩根定律求解，也可以先求两个集合的补集，再求交集.【详解】法一：，，.法二：，则.故答案为：.6．若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】先化简不等式，再根据充分条件的定义求解.【详解】解：由题意知：，由不等式得，因为不等式的一个充分条件为，所以，解得，所以实数a的取值范围是，故答案为：7．已知集合由，，组成，且，求．【答案】【分析】根据元素与集合的关系，分情况讨论计算即可作答.【详解】根据题意，，，，因，于是有：若，则，此时集合中元素为，，2，不满足集合元素的互异性，不符合题意，若，即，解得或，时，此时集合中元素为，，，符合题意，显然不符合题意；若，无解，综上得：．故答案为：8．设集合，，若，则实数t的取值范围为．【答案】【分析】由可知，讨论与，即可求出答案.【详解】因为，所以，当时：，满足题意；当时：，无解；所以实数t的取值范围为.故答案为：9．已知为实数，，.当时，则的取值集合为.【答案】【分析】解方程确定集合，再根据真子集的定义求解参数值．【详解】时，，，不合题意，时，，若，则，满足题意；时，，若，（舍去），若时，不合题意．所以的取值集合是．故答案为：．10．国内某地为进一步提高城市市花一桂花知名度和美誉度，促进城市品牌的建设提速强效，相关部门于近期组织开展“蟾宫折桂，大学生认养古桂花树”系列活动，以活动为载体，带动桂花产业、文化、旅游、经济发展．着力打造以桂花为主题的城市公共品牌和城市标识，力争通过活动和同步的媒体宣传，实现从“中国桂花之乡”到“中国桂花城”的转变．会上，来自该市的部分重点高中共计100名优秀高中应届毕业生现场认养了古桂花树，希望他们牢记家乡养育之恩，不忘桂乡桑梓之情，积极对外宣传推介家乡，传播桂花文化．这100名学生在高三的一次语数外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有15人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人，既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人，1人三项都没有参加，则三项都参加的有．【答案】7【分析】根据集合的交与并的元素个数之间的关系列式计算即可.【详