解三角形(解析版)-2024年中考数学一轮复习

专题21解三角形

【专题目录】

技巧1：解直角三角形的五种常见类型

技巧2：求锐角三角函数值的常用方法

技巧3：“化斜为直”构造直角三角形的方法

技巧4：构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型

【题型】一、锐角三角函数的定义

【题型】二、利用正弦的相关知识求解

【题型】三、利用余弦的相关知识求解

【题型】四、利用正切的相关知识求解

【题型】五、特殊角的三角函数值

【题型】六、解直角三角形

【题型】七、利用解直角三角形解决实际问题

【考纲要求】

1、理解锐角三角函数的定义，会运用锐角三角函数解直南三角形.

2、掌握特殊锐角（30。，45°,60。）的三角函数值，并会进行计算.

3、了解直角三角形的定义，掌握边角之间的关系，并能进行有关计算.

4、利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.

【考点总结】一、锐角三角形函数与解直角三角形

在RtZXABC中，NC为直角，则NA的锐角三角函数为（NA可换成NB）

\

定义表达式取值范围关系

正.,乙4的对边0<sinZ<1

锐角三角函数sinA=--------------sin/=@sin4=cos8

斜边

弦c（NA为锐角）

cosA-sin5

余

,的邻边,b0<cosA<1

cosA=----——------cosA=—sin2+cos2A=1

斜边

弦c（NA为锐角）

正tan心邺驾tanA>0

tanA=—

的邻边b

切NA（ZA为锐角）

锐

角

【正弦和余弦注意事项】

角LsinA、cosA是在直角三角形中定义的，/A是锐角(注意数形结合，构造直角三角

形)。

形

2.sinA>cosA是一个比值(数值，无单位)。

函

3.sinA、cosA的大小只与/A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。

数

三角函数30°45°60°

与

sina

特殊角的三角函~2~r

解

数值cosa正

r~2~2

直

tana正iV3

~T~

角在中，ZC=90°,ZB,NC的对边分别为a,b,C.

(1)三边之间的关系:a2+b2—c2；

(2)锐角之间的关系:ZA+ZB=90°；

直角三角形的边

角(3)边角之间的关系:

角关系

..a.btan4=%

sin4=—，cosA=~f

形ccb

•n_bn—4

sinB——，cosB——，tan5=2

Ca

(1)已知一条直角边和一个锐角(如a,//),

其解法为：ZB=90°—ZA,6=」一（或

sinAtanA

解直角三角形的(2)已知斜边和一个锐角(如c,//),

几种类型及解法其解法为：N5=90。-N4,a=C-smA,b=c・cos4（或6=4（?一层）；

(3)已知两直角边Q,b,

其解法为：c=yla2+b2,

由tanZ=2,得N/,ZB=90°—ZA；

b

(4)已知斜边和一直角边(如c,Q),

22

其解法为：b=\jc—af由sin4=2，求出N4,ZB=90°—ZA.

c

【考点总结】二、解直角三角形的应用

当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处

观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角.

仰角与俯角f0

解直k

角三

角形坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或

更比），常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡.

的应

1更gAetana

用坡角与坡度ll\

城角，入

t*12-I-）

【技巧归纳】

技巧1:解直角三角形的五种常见类型

【类型】一'已知两直角边解直角三角形

1.如图，在比AABC中，NC=90。，a,b,c分别为NA,ZB,NC的对边，a=23,b=6,解这个直

角三角形.

【类型】二、已知一直角边和斜边解直角三角形

2.如图，ZACB=90°,AB=13,AC=12,ZBCM=ZBAC,求si”/BAC的值和点B到直线MC的距

离.

'A

MC

【类型】三'已知一直角边和一锐角解直角三角形

3.如图，在AABC中，ZB=90°,/C=30。，AB=3.

⑴求AC的长;

⑵求BC的长.

【类型】四、已知斜边和一锐角解直角三角形

4.如图，在比ZkABC中，NC=90。，ZB=45°,a,b,c分别为NA,ZB,NC的对边，c=10,解这个

【类型】五、已知非直角三角形中的边（或角或三角函数值）解直角三角形

题型1：化斜三角形为直角三角形问题（化斜为直法）

5.如图，在AABC中，点D是AB的中点，DC_LAC,MtanZBCD=-,求NA的三角函数值.

3

C

ADB

题型2：化解四边形问题为解直角三角形问题

6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点E,—/BAC=90。，ZCED=45°,ZDCE=30°,DE

=S，BE=2A/2.求CD的长和四边形ABCD的面积.

题型3：化解方程问题为解直角三角形问题

7.已知a,b,c分别是AABC中NA,ZB,/C的对边，关于x的一元二次方程a(l-x2)+2bx+c(l+x2)

=0有两个相等的实数根，且3c=a+3b.

(I)^IJWTAABC的形状；

(2)求sinA+s%B的值.

参考答案

1.解：：a=23，b=6,

.".c=^a2+b2=\/12+36=%/48=4^3.

tanA=2=R^=/,ZA=30°.ZB=60°.

b63

2.解：VAB=13,AC=12,ZACB=90°,

BC=^AB2-AC2=A/169-144=AJ25=5.

5

：.sinNBAC=^=上.过点B作BD±MC于点D.

AB13

设点B到直线MC的距离为d,则BD=d.

VZBCM=ZBAC,：.sinZBAC=sin.ZBCM.

:.sinZBCM=打=£,

BC13

即4=£.・・.d=丝,

51313

即点B到直线MC的距离为空.

13

3.解：(1)由题意知s%C=包，BP-=—,则AC=6.

AC2AC

(2)由题意知S〃C=包，即退=二，则BC=33.

BC3BC

4.解：VZB=45°,ZC=90°,c=10,

ZA=45°,a=b=5也.

5.解：如图，过点D作CD的垂线交BC于点E.

在7?/ACDE中，

1

,：tanZBCD=A=-,；.可设DE=x,则CD=3x.

3CD

VCDXAC,ADEAC.

又：点D为AB的中点，，点E为BC的中点.

.•.DE=-AC.

2

.•.AC=2DE=2x.

在比ZkACD中，NACD=90°,AC=2x,CD=3x,

AD=A/AC2+CD2=A/4X2+9X2=V13X.

..CD3x3'fl3

,・sinAA-......=/——=-------

ADA/13X13

.AC2x2-,.13

cosA=----=i——=-------，

ADA/13X13

CD3x3

tanA==

AC2x~2

方法技巧：本题中出现了柩〃NBCD=5由于/BCD所在的三角形并非直角三角形’因此应用正切的

定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解.

c

ADB

6.解：如图，过点D作DHLAC于点H.

AD

VZCED=45°,DH±EC,DE=/,

EH=DE-cos45。=缶［=1.

.•.DH=L

又•.•/DCEnBO。,

2已=收CD="2

：NAEB=NCED=45。，ZBAC=90°,BE=2也,

，AB=AE=2".AC=AE+EH+HC=2+1+他=3+3.

S四边用ABCD=^X2X(3+^3)+^X1x(3+3)=3彳+9.

方法技巧：题目中所给的有直角和30。，45。角，因此我们可以通过构造另一个直角三角形，然后运用

特殊角的三角函数值求.出某些边的长，进而求出四边形的面积.

7.解：(1)将方程整理，得(c—a)x2+2bx+(a+c)=0,则

A—(2b)2—4(c—a)(a+c)=4(b2+a2—c2).

・・•方程有两个相等的实数根，.・・A=0,即b2+a2=c2.

.,.△ABC为直角三角形.

(2)由3c=a+3b,得a=3c—3b.①

将①代入a2+b2=c2,得(3c—3b>+b2=c2.

4c2—9bc+5b2=0,即(4c—5bxe—b)=0.

由①可知，b#c,.•.4c=5b.；.b=gc.②

将②代入①，得a=$

,在瓦△ABC中，

sinA-\-sinB=~+—

cc555

点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到.一个关于a,b,c的等式.从解题

过程可以看出，求三角函数值时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值.

技巧2：求锐角三角函数值的常用方法

【类型】一'直接用锐角三角函数的定义

1.如图，在凡Z^ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD=5,AC=6,

。：

3

2.如图，在AABC中,ADXBC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tanZBAD=£,求s而C的值.

4

3.如图，直线y=3+；与x轴交于点A一,与直线y=2x交于点B.求:

（1）点B的坐标;

(2>mZBA0的值.

【类型】二、利用同角或互余两角三角函数间的关系

4.若/A为锐角，且s%A=；,则cosA的值为（）

A.1B也cfiD.-

222

17

5.若a为锐角，且cosa=!|,贝!Is%（90。一。）的值为（）

12

A.D.C.Un.

1313125

6.若a为锐角，且s%2a+005230。=1,贝Ua=.

【类型】三、巧设参数

7.如图，在比Z\ABC中，ZB=90°,NA=30。，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D,分别以

点A,D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E,连接AE,DE,则/EAD的余弦值是（)

【类型】四、利用等角来替换

8.如图，已知在R/ZXABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB的中线，过点A作AE_LCD,AE分别与CD,

CB相交于点H,E且AH=2CH,求sinB的值.

参考答案

1.c

RD

2.解：VAD±BC,J勿〃NBAD=..

AD

aaRD

'：tanZBAD=-,AD=12,ABD=9.

4412

・・・CD=BC—BD=14—9=5.

，在^aADC中，AC=^AD2+CD2=A/122+52=13.

.\5mC=-

AC13

_1,3

y—XI,

3.解：(1)解方程组22

y=2x.

x=l,

得

y=2.

，点B的坐标为(1,2).

(2)如图，过点B作BC，x轴于点C,贝!JOC=1,BC=2.

1Q

由—xH■—=0,解得x=-3.

22

则A(—3,0).・・・OA=3.・・・AC=4.

AB='AC?+BC2=2"

_BC_2_弱

./•sinNBAC

一AB_23―5'

即s%.NBAO=1.

4.D5.B6.30°

7.B点拨.：如图，设BC=x.

在放aABC中，NB=90。，NBAC=30。,

AB=Sx.

根据题意，得AD=BC=x,AE=DE=AB=^3x.

如图，作EM_LAD于M,

则AM..=-AD=-x.

22

AE

瓜6

故选B.

8.解：；CD是斜边AB的中线，

/.CD=AD=BD.

；./DCB=NB.

ZACD+ZDCB=90°,ZACD+ZCAH=90°,

.,.ZDCB=ZCAH=ZB.

.在无△ACH中，AH=2CH,

厂CHyIS

：.AC=\l5CH.：.sinB=s沅ZCAH=^-=火.

限H5

技巧3：“化斜为直”构造直角三角形的方法

【类型】一'无直角、无等角的三角形作高

1.如图，在AABC中，已知BC=1+W，ZB=60°,ZC=45°,求AB的长.

【类型】二、有直角'无三角形的图形延长某些边

2.如图，在四边形ABCD中，AB=2,CD=1,/A=60。，/D=/B=90。，求四边形ABCD的面积.

【类型】三、有三角函数值不能直接利用时作垂线

3.如图，在AABC中，点D为AB的中点，DC_LAC,sinZBCD=-,求的值.

3

ADB

【类型】四、求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形

4.如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=8.^ZBPC=-ZBAC,求tanZBPC的值.

2

参考答案

1.解：如图，过点A作ADLBC,垂足为点D.

设BD=x,在必ZSABD中，AD=BD7anB—xtan60。=而x.

在比zXACD中，VZC=45°,

.,.ZCAD=90°-ZC=45°.

：.ZC=NCAD".CD=AD=3X.

VBC=1+A/3,；.3X+X=1+3.

解得x=l,即BD=1.

RD

在7??AABD中，'：cosB=~,

AB

2.解：如图，延长BC,AD交于点E.

•.,ZA=60°,ZB=90°,：.ZE=30°.

在用ZiABE中，BE=)^-=---=2后

tanEtan30°

在用4CDE中，EC=2CD=2.,

DE=EC-cos30°=2乂?=亚

.••S四边彩ABCD=S&AABE-S&AECD=：AB-BE—gcD-ED=；x2x23—^<1X韵=#.

点拨：本题看似是四边形问题，但注意到/B=90。，ZA=60°,不难想到延长BC,AD交于点E,构

造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决.

3.解：如图，过点B作BE_LCD,交CD的延长线于点E.

:点D是AB的中点，，AD=DB.

又：NACD=NBED=90°,NADC=NBDE,

.♦.△ACD之△BED.；.CD=DE,AC=BE.

在R/ZXCBE中，sinZBCE=—

BC3

.•.BC=3BE.

CE=A/BC2-BE2=2/BE.

/.CD=^CE=啦BE=啦AC.

方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键.

4.解：如图，过点A作AEJ_BC于点E,

：AB=AC=5,.

.,.BE=-BC=-X8=4,NBAE=】NBAC.

222

VZBPC=-ZBAC,

2

.•.ZBPC=ZBAE.

在比ABAE中，由勾股定理得

AE=^AB2-BE2=A/52-42=3,

BE4

tanNBPC=S〃NBAE==

AE3

技巧4：构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型

【类型】一、构造一个直角三角形解实际问题

1.如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8加，已知

小汽车车门宽AO为1.2机，当车门打开角度/AOB为40。时，车门是否会碰到墙？请说明理由(参考数据:

sin40°»0.64,cos40°»0.77,tan40°»0.84).

【类型】二'构造形如的两个直角三角形解实际问题

2.黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高.已知电线

杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处

测得电线杆顶端A的仰角为30。，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45。，斜坡与地面成60。角，CD=4机,

请你根据这些数据求电线杆的高(AB)(结果精确到1处参考数据：也句.4,3句.7).

A

【类型】三、构造形如“NA”的两个直角三角形解实际问题

3.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗DC测得教学楼顶部D的仰角为18。，教学

楼底部B的俯角为20。，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30九

(1)求/BCD的度数.

(2)求教学楼的高BD(结果精确到0.1加,参考数据:tan20°»0.36,tan18°~0.32).

【类型】四、构造形如“4”的两个直角三角形解实际问题

4.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5相；上面五层居住，

每层高度相等.测角仪支架离地1.5加，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60。，在B处测得四楼顶部点E

的仰角为30。，AB=14〃?.求居民楼的高度（结果精确到0.1仅，参考数据：舟1.73）.

D

□、

□

□M

60°/、A'30°

2.5m~C,11.5m

CAB

参考答案

1.解：如图，过点A作ACLOB,垂足为点C,

在4△ACO中，VZAOC=40°,AO=1.2m,

：.AC=AOsinZAOC-0.64x1.2=0.768(m).

・・•汽车靠墙一侧OB与墙MN.平行且距离为0.8m,

・•・车门不会碰到墙.

2.解：延长AD交BC的延长线于点G,作DH_LBG于点H,如图所示.

在放△DHC中，NDCH=60。，CD=4加,

贝I」CH=CDc0sNDCH=4xg60。=2(冽

DH=CDsinZDCH=4^sin6。。=2am).

VDH±BG,又易知NG=30。,

・口DH_2A/5、

..HG-------------------6(m).

tanGtan30°

••・CG=CH+HG=2+6=8(M.

设AB=x加，

VABXBG,NG=30。，NBCA=45。,

・・・BC=x加，BG

tanGtan30°

VBG-BC=CG,

**A/3XX=8.

解得x-ll.

答：电线杆的高约为11九

3.解：（1）如图，过点C作CEJ_BD于点E,则有NDCE=18。，NBCE=20。,

mm

mm

mm

mm

・・・NBCD=ZDCE+ZBCE=180+20°=38°.

(2)由题意得，CE=AB=30m,

在放ZiCBE中，BE=CE•320。，

在放ZkCDE中，DE=CE-S〃18°,

・•・教学楼的高BD=BE+DE=CE•tan20°+CE-tan18°~20.4(m).

答：教学楼的高约为20.4九

4.解：设每层楼高为x冽，由题意得MC=MC—CC=2.5—1.5=1("),

则DC'=(5x+l)m,EC'=(4x+l)冽.

在此△口€?"中，ZDAV=60°,

(5x+l)m.

在此AEC吁中，ZEBV=30°,

•・・A'B'=C'B'—C'A'=AB,

・・・3(4X+l)-y(5x+1)=14.

解得x=3.18.

・•・DC=DC+CC=5x+1+1.5句8.4(").

答：居民楼的高度约为18.4八

【题型讲解】

【题型】一、锐角三角函数的定义

例1、在及以/5。中，N/=90°,AB=6,SC=10,那么下列结论正确的是（）

44.34

A.tanC=-B.cotC=—C.sinC=-D.cosC=一

3545

【答案】D

【分析】

先根据勾股定理解出AB,再逐项根据三角函数的定义判断即可.

【详解】

根据勾股定理可得：AC=yjBC2-AB2=8'

「4B3AC4.八AB3AC4

则tanC二二=—；cotC=---=—；sinC=---=—；cosC=---=—

AC4AB3BC5BC5

故选：D.

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义，熟悉基本定义是解题关键.

【题型】二、利用正弦的相关知识求解

例2、如图，在Rt△4C8中，ZC=90°,sinB=0.5,若/C=6,则的长为（

A.8B.12C.6A/3D.12V3

【答案】C

【提示】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.

AT

【详解】解：VsinB=—=0.5,

AB

AAB=2AC,

VAC=6,

AAB=12,

•••BC=J/B2—=66,

故选C.

【题型】三、利用余弦的相关知识求解

3

例3、在放AA8C中，ZC=90°，如果ZC=3,cosZ=—,那么45的长为（）

4

9=25

A.—B.4C.5D.—

44

【答案】B

【分析】

AQ3

根据COSA=--=即可得出AB的值

AB4

【详解】

解:在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=3,

pAC3

又,/cosAA=-----=—,

AB4

/.AB=4

故选：B.

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【题型】四、利用正切的相关知识求解

例4、如图，在△4BC中，ZC=90°,设NB,NC所对的边分别为a,b,c,则（

A.c=bsinBB.b=csinBC.a=bt^nBD.b=danB

【答案】B

【提示】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题.

【详解】中，ZC=90°,乙4、£）8、NC所对的边分别为a、b、c

AsinB=~,即3=csin5,则A选项不成立，B选项成立

c

tan5=—,即力=atan5,则C、D选项均不成立

a

故选：B.

【题型】五、特殊角的三角函数值

例5、如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于。。，则：45=()

A.2VL3B.亚:6C.V3：V2D.73:272

【答案】B

【提示】过点。作。M,ONLAD,设圆的半径为r,根据垂径定理可得AOBM与AODN是直角

三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果.

【详解】如图，过点。作(WLBC,ONVAD,设圆的半径为r,

与AODN是直角三角形，OD=OB=r,

•.•等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于QO,

：.40BM=3b°"ODN=ADON=45°，

•••DN=⑺・tan45°=—r>BM=OB・cos30°=—r>

22

•*-AD=2DN=，BC=2BM=4lr，

/.AD:AB=后:底=V2：V3.

故答案选B.

【题型】六.解直角三角形

例6、比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示.设塔顶中心点为点B,塔身中心线与垂直中

心线/C的夹角为NZ,过点3向垂直中心线NC引垂线，垂足为点。.通过测量可得43、BD、/£»的

长度，利用测量所得的数据计算NZ的三角函数值，进而可求NZ的大小.下列关系式正确的是（）

A.sin八也C.tan八四D.sin心卫

B.

ABADBDAB

【答案】A

【提示】确定NZ所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解;

【详解】由题可知，4ABD是直角三角形，ABDA=90°,

,sin人吗AD,BD

cAosA=----,tanA=-----

ABABAD

，选项B、C、D都是错误的,

故答案选A.

【题型】七、利用解直角三角形解决实际问题

例7、如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度Z3,在观测点。处测得大桥主架顶

端/的仰角为30。，测得大桥主架与水面交汇点3的俯角为14。，观测点与大桥主架的水平距离为60

米，且48垂直于桥面.（点48,在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度■；（结果保留根号）

（2）求大桥主架在水面以上的高度48.（结果精确到1米）

（参考数据sin14°它0.24,cos14°它0.97,tan14°它0.25,6^1.73）

【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度4位为20百米；（2）大桥主架在水面以上的高度48约为50米.

【提示】

（1）在RtZkACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度.

（2）在Rt^BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可.

【详解】

解：（1）Q48垂直于桥面

AAMC=/BMC=90°

在RtAJMC中，CM=60,ZACM=30°

，…，AM

tanZACM=----

CM

巧

AM=tan30°-CM=60x—=2073（米）

3

答：大桥主架在桥面以上的高度加为20G米.

(2)在中，CM=6Q,ZBCM=14°

MB

•：tanZBCM=---

CM

.­.W=tanl4°-01=60x0.25^15

•••AB^AM+MB

y45«15+20V3«50(米)

答：大桥主架在水面以上的高度43约为50米.

解三角形（达标训练）

一、单选题

1.如图，在放ZX/BC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,将△/BC绕点/逆时针旋转得到△/B'C',使点C'

落在48边上，连结33',贝Ucos/B'BC'的值为（）

B

.3n4V5„2A/5

5555

【答案】C

【分析】在必ZUBC中，由勾股定理可得48=5.根据旋转性质可得NC=/C=3,C'B'=CB=4,C3=2.利

用勾股定理可求出55',从而求出cos/3'BC'.

【详解】解:在R/ZX/8C中，

AB=y)AC2+BC2=5,

由旋转旋转性质可得/C'=/C=3,C'B'=CB=4,

：.C'B=AB-AC'=2,

BB'=^C'B'2+C'B2=2V5，

._2_V5

••cos/BBC-------------产-------.

BB'2#>5

故答案为：C.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键.

2.2sin45。的值等于（）

A.—B.2C.1

D.V2

23

【答案】D

【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.

【详解】解：2sin45o=2x«l=^.

2

故选：D.

【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

3.如图，表示一条跳台滑雪赛道，在点力处测得起点2的仰角为35。，底端点C与顶端点2的距离为

50米，则赛道N3的长度为（）米.

5050

50cos35°D.

sin35°cos35°

【答案】C

【分析】根据锐角三角函数即可解决问题.

【详解】解：在放中,

VZA=35°,5C=50米,

sin35°=——

AB

50

：.AB=（米）•

sin35°

故选：c.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，掌握仰角俯角的意义是解决本题的关键.

4.2tan300的值等于（）

e

A.百D.

22

【答案】B

【分析】tan30°=代入式子即可.

V3

【详解】tan30°=V3

则2tan30。=38

3

故选B.

【点睛】本体考查了锐角三角函数值相关计算，比较简单，熟练掌握特殊角三角函数值是解题的关键.

5.如图，点力为边上的任意一点，作力。_L5C于点C,。。_1力5于点。，下列用线段比表示tana的值,

错误的是（）

A

B

CDACCDAD

A.----D.----

BDBCAC-----------------------CD

【答案】c

【分析】根据CDrAB,可得=90°ZACD+ZA=90°,从而得N/CD=/a,再根据正

切的定义，即可求解.

【详解】解：：/C_LBC,CDLAB,

：.NACB=NBDC=NADC=9Q。,

：.ZA+Za=90°ZACD+ZA=90°,

AACD=/.a,

ACCDAD

..tana=,tana=,tana=tanAACD=,

BCBDCD

二・选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意.

故选：C

【点睛】本题主要考查了求正切值，余角的性质，熟练掌握直角三角形中，锐角的正切值等于它的对边与

邻边的比值是解题的关键.

二、填空题

6.北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素.如图，赛道剖面图

的一部分可抽象为线段N8,已知坡的长为30m,坡角约为42。，则坡48的铅直高度47约为

m.（参考数据：sin42°»0.67,cos42°«0.74,tan42°«0.90）

【答案】20.1

【分析】根据正弦函数的定义计算，得到答案.

【详解】解：在无△488中，NABH=42°,AB=30m,

*.*sinAABH=,

AB

：.AH=AB'smZABH-30x0.61=2,0.1(m),

故答案为：20.1.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义

是解题的关键.

7.如图斜坡的坡比为1:2,竖直高度8c为1米，则该斜坡的水平宽度/C为.・米.

【分析】根据坡比的定义和正切三角函数计算求值即可;

【详解】解：：斜坡的坡比为1:2,

,/BC1

・・tanN4==—

AC2

'：BC=\米,

：.AC=2米,

故答案为：2；

【点睛】本题考查了坡角、坡度（坡比）：坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡面的铅直高度和水平宽度的比

叫做坡度，即坡角的正切；掌握相关定义是解题关键.

三、解答题

8.某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带

着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小

明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60。,在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30。.测

量可知平台的纵截面为矩形DCFE,。£=2米，DC=20米，求大树N3的高.（精确到1米，参考数据:

V2a1.41,6®1.73,76«2.45)

【分析】延长所交A3于点G,设48为x,利用三角函数解直角三角形用x表示出EG、根据CD=EG

-/C列出方程求出x即可.

【详解】延长斯交于点G,如图，

设AB=x米，贝UBG=AB-2=(x-2)米，

在RtABGE中，EG=(AB-2)-tanZ5£G=±^=®x-2),

tan30

A

在RtABAC41CA=AB^anAACB=—^=—x,

tan6003

贝l|CD=EG-AC=瓜x-2)-gx=20,

解得：x=10V3+3«20.

答：大树的高约为20米.

【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的概念是解题的关键.

解三角形(提升测评)

一、单选题

1.在△N3C中，ZA=90°,若tanS=0.75,则cosC的值为()

A.0.5B.0.6C.0.8D.—

2

【答案】C

【分析】根据tan5的值，把48边长设为3h4Z,勾股定理求出5。边，再利用三角函数的定义求解

cosC.

【详解】在4△ZBC中，N4=90。，

4c3

tanB=-----=0.75=—,

AB4

设4C=3f,AB=4t,贝!]5C=5f,

,,ACM

故，cosC=——=一=0.8.

BC5t

故选C.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的计算、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

2.如图，在A48C中，/C=90°,cos/=¥，NC=4g,则25长为（）

A.4B.8C.873D.12

【答案】B

【分析】根据余弦的定义即可求解.

【详解】解：；NC=90°,cos/=@,/C=4jL

2

“工照=8

cosAV3

2

故选B.

【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键.

3.如图’在