新高考数学-2023-2024学年高三年级上册期初调研数学D卷（解析版）

2023-2024学年第一学期高三期初调研测试

数学

注意事项：

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题〜第8题I多项选择题（第9题〜第12题、填空题

（第13题〜第16题X解答题（第17题〜第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.

答题结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡

的规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5

毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知复数2满足2。+。=|6-4（其中1为虚数单位），则复数2在复平面上对应的点在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

2

【解析】z（l+i）=2一•"=「=1—i,位于第四象限，选D.

2.设集合4={x|xeN},5={xeR|2v>16}，则=

A.[0,4]B.[0,4）C.{0,1,2,3}D.{0,1,2,3,4}

【答案】C

【解析】B={x\x>4},48={%[%<4},/018={0123}，选C.

TT

3.已知函数/(x)=ax-sinx(aeR)，则"a=l"是"/(x)在区间-,+oo上单调递增"

12J

的

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】Q=1时，f(x)=x-sinx,/'(x)=l-cosxNO,「./(x)在工,+oo]/，充分

12)

“X)在7,+8单调增，二7''(x)=a—COSX20,.'aNl,不必要，充分不必要，选B.

12J

4.在平行四边形48CD中，点E在线段/C上，fiJE=2EC，点/为线段的中点，

i己跖=%/8+4//)(/1,4£11)，则2+;/=

5115

A.----B.----C.-D.一

6626

【答案】A

【解析】EF^EA+AF^--AC+-Ab^--(AB+Ab)+-AD^--AB--Ab,

323236

A+//=--，选A.

6

5.已知事件48，且尸(/)=0.4,尸(3)=0.5.若4与3互斥，令。=尸(/8);若4与5相

互独立，令b=P(AB)，则分+a=

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

【答案】A

【解析】4B互斥，：.a=P(4B)=。,力与3独立，b^P(AB)^P(A)P(B)

=0.6x0.5=0.3,ba=0.3；选A.

6・若某圆柱体的底面半径与某球体的半径相等，圆柱体与球体的体积之比和它们的表面积之

比的比值相等，则该圆柱体的高与球体的半径的比值为

54C一

A.-B.一D.2

432

【答案】B

【解析】设圆柱底面半径为r，则球的半径为广，设圆柱的高为力，

4,

322

F]=7ir~h,V2--7rr,S}=2/rrh+2/rr,S2=4>rr,

兀户h27rrh+2%/h>3

——=——-~,:.-=2,选B.

—47.i3r4兀rr

3

7.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似

度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，3（%2，%），0为

坐标原点，余弦相似度为向量力,砺夹角的余弦值，记作cos（4,3）,余弦距离为

1一（\双45）.已知尸（35%5吊1）,Q（cos/?,sin广）,7?（cosa,-sin<z），若尸，。的余弦距

离为:,tana-tan^=y，则。,7?的余弦距离为

1111

A.-B.-C.-D.一

2347

【答案】A

【解析】cos(P,0)=—,/.cos(<z-/?)=—,costzcos/?+sinasiny9=—,

「csinasinB

又tancrtanp=--------=—,cosacos=7sintzsinP,/.sinasin/?=—,

cosacos(3

„7/八n、1coscrcos/?-sinasinB.(7I\I、.

cosacos=—,l-cos(P,7?)=l-------------------—=l-------=—，选A.

12IU2I2j2

8.已知双曲线。:5-2=1（。>0,6〉0）的右焦点为尸,过厂作直线分别与双曲线的两渐

ab

近线相交于/、3两点，且砺•济=0,AB=2BFf则该双曲线的离心率为

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】B

2b

【解析】OBVBF,:.OB=a,BF=b,AB=2BF=2b,tan44OB=—

a

bb

2Z-,卜'2•一(h\22

tan2ZF(95=——J,+——J=0，,？=2,.•.二=3,:.e=-j3,

1—⑶一01—⑶⑷。

选B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=；sincox+/COSGX(G>0)的最小正周期为冗,则

A.69=2

B.直线％=-二是曲线>=/(X)的一条对称轴

6

(7t\

C.点-7,0是曲线y=/'(x)的一个对称中心

(

D.7(幻在区间0,—内只有一个零点

16)

【答案】ACD

(4、27r

【解析】/i(x)=sin(DX+-,T=—一•.CO—1,A对.

<3Jco

.(JI、j[(；A。)是对称中心,B错，C对.

f(.V)—sin2x+—,x=——不是对称轴,--

I6I

c5八c5TC—7T—(7t\

0<x<一兀,0<2x<—TC.—<2xH—<27r.y=sinx在—,2^只有一个零点,

633313/

・•・/(x)在10,-^r|有且只有一个零点，D对.

k6；

10.若一组不完全相同的数据%,马,…,Z的平均数为X，极差为。，中位数为6,方差为Y,

在这组数据中加入一个数据后得到一组新数据京西,马，…，/，其平均数为F，极差为储，中

位数为"，方差为S'?,则下列判断一定正确的是

A.x'—xB.a'—aC.h'=hD.s'2=s2

【答案】AB

【解析】互不相等的数据加入一个数提，则极差不变，平均数不变，中位数有可能改变，

方差一定改变，选AB.

11.如图，在棱长为2的正方体中，点瓦厂分别是线段4c,4〃上的动

点,，4E=24C,A}F=piAiD，且九从c(0,1)记与441所成角为a，既与平面/BCD

所成角为万，则

A.当4时，四面体歹-的体积为定值

2

B.当〃=；时，存在2，使得跖〃平面区”今

TT

C.对于任意2,4，总有«+/?=—

D.当丸=4=；时，在侧面内总存在一点P，使得尸

【答案】ABC

【解析】方法一：

/；时5_为定值/到平面胡3的距离为定值,为定值,A对.

4时，歹为4,中点，取4。中点〃，则-

4=；时，ME〃0D,则平面ME尸H平面8DD[B],.•.EF〃平面8DZ）同，

JT

AAXV^ABCD,则&+尸=彳，C对，选ABC.

方法二：对于A,2=工时，/到平面AEB的距离为定值，E为/C中点，

2

/加=3”鼠2为定值，A正确.

对于B,〃=3时，尸为4〃的中点，设/C与8D交于点。，当月为04中点时，取。。中

点G,此时，EG/FD一：.EFHD、GnEFH噫BDD、B\,B正确.

对于C,过/作于点/，二月平面Z3CQ,:.{3=Z.FEM,

JT

a=ZEFM,a+/3=—,C正确.

对于D,如图建系,.-.£(1,1,0),/(1,0,2),

设。(x,2,z),0Wx,zW2,~PE=(\-x-\-z),PF=(1-x,-2,2-z)

P^-PF=(1-X)2+2+Z(Z-2)=(1-X)2+(Z-1)2+1>1>0,

.•.PE与PE始终成锐角，D错，选ABC.

12.已知函数/(x)定义域为R,7(x+1)是奇函数，g(x)=(x—l)/'(x),f\x),g'(x)分

别是函数/(x),g(x)的导函数，函数g(x)在区间(-8,1］上单调递增，则

A.(1)=0B./'(1+X)=八1一%)

C.g,(l+x)=g,(l-x)D.g(e01)<g(l-lnl.l)<0

【答案】ABD

【解析】对于A,•・•/(x+1)是奇函数，.•./(1)=0,A正确.

对于B,/(%+1)是奇函数=f(-x+\)=-f(x+1)x+l)=—/'(X+1),

/./，(l+x)=/，(l-x),B正确.

对于c,g(l+x)=V(l+x),g(l-x)=-xf(l-x)，,g(l+x)=g(l—x),

.•.g'(l+x)+g'(l—x)=0,C错.

对于D,由g(l+x)=g(l-x)知g(x)关于直线x=l对称，•・•g(x)在(-8,1]上/,

・•.g(x)在(1,+00)上/,g(x)<g(l)=0,当且仅当x=l时取"=：

而卜°」一1卜——,.-.g(e0l)<g(l-lnl.l)<0,D正确.

选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.jx+」+l](x+l)6的展开式常数项是_______.(用数字作答)

\xJ

【答案】7

【解析】(x+以展开式第尸+1项7；+]=C"6-『J=6,1-C：=1,

r=5,—C^x'=6,1+6=7.

X

14.已知S〃是等差数列｛4｝的前〃项和，且%+%=-8,S5=10,则与=.

【答案】-55

a,+2d+tz,+6d——8(-«八八

卬=8o10x9

【解析】5x4，二.，S=10x8+^—x(-3)=-55.

H———d-10[d=-3l02

15.请写出一条同时满足下列两个条件的直线方程：.

①过抛物线必=4x的焦点；

②与圆X2+/-4X-2岛-2=0相交所得的弦长为472.

【答案】x=l或x-Gy-l=0

【解析】圆(X—2)2+3—6)2=9,圆心(2,6),厂=3,弦长为4后

圆心到直线距离为1,斜率不存在，x=l满足条件.

2k—y/3—k

斜率存在，设歹=女(％—1)，即而_y_£=0,-/=1,左=一

“2+13

此时-1=0，，/:x=1或x-VJy-1=0.

16.已知函数/(x)=(lnx)2-axlnx+a/有三个不同的零点%,9,X3,且玉<项，则

3]1——"I的值为________

实数a的取值范围是_________;1-%1-

<玉JI%2八%3)

【答案】-二一,0；1

ke-eJ

【解析】由(lnx>-Glnx+af=00----a—_+a-Q

xJX

.Inx八，、

v---=ti.t~7—at+ci=Q(*)

x

令g(x)=---，g'(x)=--5—=0nx=e

xx

当0<x<e时，g'(x)>0,g(x)/；当》〉6时，g'(x)<0,g(x)/

作出g(x)大致图象如下，要使原方程有三个不同的零点，

(*)式关于/的一元二次方程有两个不等的实根/"2，其中。/2G(-8，0)

Iej

h(O)-a<0

令//(，)=厂—at+Q,.，.<(1)1e—---<a<0

h—=-..ba>0e--e

)ea

(1、

应填：一二一,0;1.

Ve--e)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在△ZBC中，内角4民C的对边分别为a,b,c,且满足2a—6=2ccos3

(1)求角C；

(2)若△/8C的面积为3百，点。为力8中点，且CQ=Ji5，求c边的长.

【解析】

(1)2sin-sin5=2sinCcosB

n2sin5cosC+2cos5sinC-sinB=2sinCeos5

cosC--,C--.

23

(2)C5=|(G4+C5),:.4x[3=b2+a2+2ab-^,a2+b2+ab=52

B

D

i^—ab——=3A/3=>ab=\2,a2+b2=40,c=y/a2+b2—ab=V40-12=2y/l.

22

18.(12分)已知等比数列｛%｝中，a“+a“M=3-2"T(〃eN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式及它的前〃项和;

(2)设”=慨吁1,数列｛»｝的前八项和为7；,求证：7；<1.

S"5"+i

【解析】

(1)设｛%｝公比为9,;%+%+产3・2〃T

.q+%=3,①②一o.；21

T

an=2',二S,,=10—2")=2"一1.

""1-2

2"11

(2"-l)(2rt+1-1)_2H-1_2W+I-1

1--------1-1---------11-.・♦+1-------

22-l22-l23-l-------2n-l

19.(12分)如图，四棱锥P—/3CQ的底面是矩形，底面Z3CQ,40=2五,

PD=DC=2,"为3c的中点.

(1)求证：4WJ_平面PD8;

(2)求平面以河与平面尸8M夹角的余弦值.

£B

【解析】

(1)证明：在矩形43CQ中，/DAB=ZABM=90°,

AnA/?r~

—=—=V2,:.^ABD^/\BMA,ABAM=AADB

ABBM

设4M与BD交于。点，二/DOM=ZADB+ADAM=/BAM+/DAM=90°

AM1BD，又•.•P。，平面/SCO，:.PDLAM,BDCPD=D,

平面PQB.

(2)如图建系，?.P(0,0,2),4(2立,0,0),M(V2,2,0),8(20,2,0).

.•.苏=(2后,0,-2),丽=(后,2,-2),W=(-72,0,0)

设平面与平面P8W的一个法向量分别为々=区,必，4),n2=(x2,y2,z2),

彳—2Z1=0

=>〃|=(V2,l,2)

+2必—2Z1=0

Z

Jy/2x2+2y2-22=0

=>/72=(0,1,1)

1—A/2X2=0

设平面p4M与平面pg/所成角为e,

2=叁33V14

,x/l-V214

%n2

20.(12分)某校为了弘扬中华优秀传统文化，在校艺术节上举办班级"古诗词双人团体赛"，

每班限报一队，每队两人，每队通过回答多个问题的形式进行竞赛.现甲，乙两队进行竞答比

赛，比赛规则是：每轮比赛中每队仅派一人代表答题，两人都全部答对或者都没有全部答对则

均记1分；一人全部答对而另一人没有全部答对，则全部答对的队伍记3分，没有全部答对的

32

记。分.设每轮比赛中甲队全部答对的概率为一，乙队全部答对的概率为一，甲，乙两队答题

43

相互独立，且每轮比赛互不影响.

(1)经过1轮比赛，设甲队的得分为X,求X的分布列和期望；

(2)若比赛采取3轮制，请计算第3轮比赛后甲队累计得分低于乙队累计得分的概率

【解析】

(1)X的所有可能取值为0,1,3,

12132117311

尸(X=0)=—x—=—,P(X=l)=-x-+-x-=—,0(X=3)=^x_=_

436434312434

・•・X的分布列如下：

X013

7

P

6124

73_16_4

双丫)=丘+

4-12-3,

(2)甲队累计得分低于乙的情形为：①甲至少有2场负于乙；

②甲有一场负于乙，另两场打平.

/1A3(\A25，7Y1?11

所求概率为：P=-+C]—X-+CJ—x-=——

⑷3⑹6\12j6864

x2y2

21112分)已知椭圆£:=1（。>6>0），四点Z,C（V2,0）,

Q(l,l)中恰有三点在椭圆E上.

(1)求椭圆£的方程;

(2)点尸为椭圆E上的一动点，设直线尸/,总的斜率分别为尢,%2・

①求占42的值；

②若不与坐标轴垂直的直线/交椭圆E于M,N两点、,0为坐标原点,OMHPA,ONHPB,

求△(?的的面积.

【解析】

(1)显然48在石上,。不可能在石上,。在E上,

f-11V-2

"=五,：+7y=ln6=l,.•.椭圆上的方程为j+/=i.

2lb12

2

（2）①设尸（不，为），+M=l,

e后2ii京

%一亏%+三V1

@\'OMHPA,ONHPB,--koM-koN=-^，设"（』,,），MX，%）

・小£=一,即小=-/Z

X；2_1

另+M=%2211

且V:n牛+卜工+?源+y/=]

技+£=1

xxI19[-

受+必％+不(再>2-％2%)2=1=|%防一％2%|=02

2)乙

=；X%一%2必卜浮

・q

…"AMON

22.(12分)已知函数/(x)=aln(x+1)+(x+1)2,g(x)=e2A+ax,aGR.

(1)若函数/(x)与g(x)有相同的极小值点，求。的值；

(2)若对任意XG[0,+OO)，恒有g(x