第八章 二元一次方程组（培优卷）（解析版）

第8章二元一次方程组（培优卷）一．选择题（每小题3分，共24分）1.方程是关于x、y的二元一次方程，则（）A．； B．，C．， D．，【答案】D【解析】解：∵是关于x、y的二元一次方程，∴，，，，解得：，，故D正确．故选：D．2.已知、是二元一次方程组的解，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：方程组中，左边加坐左边等于右边加右边，∴，合并同类项得，，∴，故选：．3.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤（等于两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，则列方程组为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，五只雀、六只燕，共重斤（等于两），∴，互换其中一只，恰好一样重，∴，即，联立方程组得，，故选：．4.如图，大长方形中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（

）A．143 B．99 C．44 D．53【答案】D【解析】解：设小长方形的长为x，宽为y，观察图形可得：，解得：，小长方形的面积为，大长方形的面积为空白部分面积为，故选：D．5.已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（

）A． B．1 C．或3 D．或【答案】D【解析】解：，得，解得，∵为整数，为整数，∴，∴的值为或．故选：D．6.两位同学在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，那么a和b的正确值应是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵两位同学在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，∴把代入②，得，解得：，把代入①，得，解得：，∴，故选：C．7.小江去商店购买签字笔和笔记本（签字笔的单价相同，笔记本的单价相同）、若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会差25元；若购买19支签字笔和16本笔记本，则他身上的钱会差15元，若小江购买17支签字笔和18本笔记本，则（

）A．他身上的钱会不足5元 B．他身上的钱会剩下5元C．他身上的钱会不足10元 D．他身上的钱会剩下10元【答案】B【解析】解：设签字笔的单价为元，笔记本的单价为元，根据题意得：，整理得：，小江购买17支签字笔和18本笔记本的钱为，∴，即小江身上的钱会剩下5元；故选：B．8.如图，若三角形面积为1，，求阴影四边形的面积（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：如图，设与交于N，与交于P，连接，，，，设的面积为x，的面积为y，则有的面积为2x，的面积为2y，∵面积为1，，∴、的面积是，的面积是，∴，解得，∴的面积是，设的面积为u，的面积为v，，∴即，即四边形的面积是，∴阴影四边形的面积=．故选：C．二．填空题（每小题2分，共16分）9.已知，则_____（用含有x的式子表示）．【答案】【解析】解：∵，去分母得：，去括号得：，移项合并得：，∴，故答案为：．10.若方程组的解是，则方程组的解为_____．【答案】【解析】解：由题意得：，解得：，故答案为：．11.若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为______．【答案】【解析】解：∵，∴，∵关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，∴把代入①②得：，整理得：，得，解得，故答案为：．12.整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值：0123048则关于的方程的解是___________．【答案】【解析】解：由；可得，解得，关于的方程为，即，解得，故答案为：．13.年初，某公司准备预留一笔资金用于开发A、B、C三个项目．1月份，公司分别向A、B、C项目投入比值为的资金．2月份，公司将剩余资金的再投入到A项目中，此时，A项目获得的总投资金额占公司已投入项目资金的．3月份，公司继续向B、C项目投入资金，B、C项目3月份获得公司投资比值为，此时，B项目获得的总投资金额占公司已投入项目资金的，则C项目获得的总投资金额与公司预留的总投入资金的比值为______．【答案】【解析】解：设某公司准备预留的资金为a，1月份，公司分别向A、B、C项目投入资金分别为，3月份，公司分别向B、C项目投入的资金分别为，根据题意得，解得，∴1、2月总投资为，∵B项目获得的总投资金额占公司已投入项目资金的，∴，解得，∴C项目获得的总投资金额与公司预留的总投入资金的比值为．故答案为：．14.如图①，有若干片相同的拼图，若将其沿相同方向无缝隙拼在一起，它们的底部位于同一条直线上．当分别用3片，10片拼图拼时（如图②，③所示），对应的长度分别为14，35（单位：cm），则图①中的拼图长______cm．【答案】8【解析】如图，设每个拼图的长由x和y两部分组成，则根据图二和图三可列出两个方程：解得：所以拼图长为：故答案为：815.小南帮同学小开点了一份外卖（售价小于100元），小开给小南转账还钱时，不小心将支付金额的整数部分与小数部分数字看倒置了（例如：把27．96元看成96．27元），并按看错的数字将钱转给了小南，小南收到后加上原有余额13．7元后，恰为外卖售价的5倍，于是将多收的金额退还给了小开．若售价的整数部分是一位数，小数部分数字为两位数，那么小南退还给小开的金额是___________．【答案】【解析】解：设售价的整数部分的数字为，小数部分的数字为，则：，整理得：；∵售价的整数部分是一位数，小数部分数字为两位数，∴，且为整数，∴，∴外卖的售价为元，小开转了元，小南退还给小开的金额为元；故答案为：．16.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，已知型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元．若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则不同的购买方案共有种___________．【答案】3【解析】解：设购进A种型号的汽车为a辆，B种型号的汽车为b辆，根据题意得，，整理得：，∴，∵为正整数，当，，，符合题意，∴共有3种方案，故答案为：．三．解答题（共60分）17.（6分）解方程组(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：，得，解得把代入①，得，解得原方程组的解为（2）解：把①代入②，得，解得把代入①，得，解得原方程组的解为18.（8分）已知关于x，y的方程组与有相同的解．(1)求a，b的值；(2)求的立方根．【答案】(1)；(2)2【解析】（1）∵关于x，y的方程组与有相同的解，∴，解方程组得：．∴是方程组的解，∴，解方程组得：．∴；（2）∵，∴=-8，∵8的立方根为2，∴的立方根为2．19.（8分）已知一个长方形草坪，若它的长增加米，宽减少米，则面积保持不变；若它的长减少米，宽增加米，则面积仍保持不变．(1)求：长方形草坪的长和宽；(2)如图，在长方形草坪内部修两条互相垂直，宽为1米的小路，求原长方形草坪剩余部分的面积．【答案】(1)长方形草坪的长为米，宽为米(2)原长方形草坪剩余部分的面积为14平方米【解析】（1）解：设长方形草坪的长和宽分别为米，根据题意，得即解得：答：长方形草坪的长为米，宽为米（2）解：依题意，平方米，答：原长方形草坪剩余部分的面积为14平方米．20.（8分）某商场用相同的价格分两次购进A型和B型两种型号的电脑，前两次购进情况如下表．A型（台）B型（台）总进价（元）第一次2030210000第二次1020130000(1)求该商场购进A型和B型电脑的单价各为多少元？(2)已知商场A型电脑的标价为每台4000元，B型电脑的标价为每台6000元，两种电脑销售一半后，为了促销，剩余的A型电脑打九折，B型电脑打八折全部销售完，问两种电脑商场获利多少元？【答案】(1)A型电脑单价为3000元，B型电脑的单价为5000元(2)两种电脑商场获利44000元【解析】（1）解：设A型电脑单价为x元，B型电脑的单价为y元，，解得：，答：A型电脑单价为3000元，B型电脑的单价为5000元．（2）A型电脑获利：（元），B型电脑获利：（元），两种电脑总获利：（元），答：两种电脑商场获利44000元．21.（10分）去年年底，重庆疫情形势严峻，除了医务人员和志愿者们主动请缨走向抗疫前线，众多企业也纷纷伸出援助之手．某公司租用A、B两种货车向重庆运送抗疫物资，已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运物资吨；用1辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运物资吨．(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运送多少吨物资？(2)现有吨抗疫物资需要运往重庆，该公司计划同时租用A型车和B型车（两种型号车均要租用），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金元/次，B型车每辆需租金元/次．那么该公司有哪几种租车方案，并且哪种方案租车费用最少．【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资(2)该公司有三种租车方案，方案一租车费用最少【解析】（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资，根据题意，可得：，解得：，∴1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资；（2）解：设租辆型车，辆型车，根据题意，可得：，∵、均为正整数，∴或或，∴该公司有三种租车方案：方案一：租辆型车，辆型车；方案二：租辆型车，辆型车；方案三：租辆型车，辆型车，∴方案一所需费用为（元），方案二所需费用为（元），方案三所需费用为（元），∵，∴方案一租车费用最少．22.（10分）阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．解方程：解：①-②，即③③×16，得④②-④，得．把，代入③，得．解得．所以原方程组的解为：(1)请仿照上面的方法解方程组：；(2)请猜想关于x，y的方程组的解，并利用方程组的解加以验证【答案】(1)；(2)，验证见解析【解析】（1），由①②，得，即③，③，得④，②④得，把代入③，得，∴，原方程组的解是．（2）根据题干和（1）的结果，猜测方程组的解是．验证：将代入方程，左边，所以左边=右边．将代入方程，同理可得左边=右边，∴此方程组的解是．23.（10分）【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．（1）解方程组解：（1）把代入得：解得：．把代入得：．所以方程组的解为（2）已知，求的值．解：（2）得：得；【类比迁移】（1）若，则______．（2）运用整体代入的方法解方程组．【实际应用】（3）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买瓶消毒液、支测温枪、