重难点18 三角函数中w取值范围问题八大题型汇总（解析版）-2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题18三角函数中w取值范围问题八大题型汇总

0UII

题型1单调性与3取值范围问题...................................................1

题型2图像平移伸缩与3取值范围问题............................................5

题型3对称轴与3取值范围问题...................................................9

题型4对称中心与3取值范围问题................................................12

题型5零点与3取值范围问题....................................................15

题型6最值与3取值范围问题....................................................23

题型7极值与3取值范围问题....................................................26

题型8新定义...................................................................30

题型1单调性与3取值范围问题

一我t点

已知函数y=Asin（a）x+@）（/1>0,3>0）,在［%,©］上单调递增（或递减），求3的取值范

围

第一步：根据题意可知区间出,全］的长度不大于该函数最小正周期的一半，

即犯一/W=工，求得。<3W

N3X?-X、

第二步：以单调递增为例，利用［3%+0,3X2+冋U［-］+2k再5+2kn］,解得3的范围；

第三步：结合第一步求岀的3的范围对k进行赋值，从而求出3（不含参数）的取值范围.

【例题1］（2023•全国•高三专题练习）规定：Max{a,b}={K2设函数/（x）=

Max{sino»x,cos3无}（3>0）,若函数/（x）在上单调递增，则实数3的取值范围是

【答案】停,l］u［果4］（注：可以用不等关系表示）

【分析】讨论/（X）=COS3X（3>0）和/'（x）=sincox（to>0）的条件，xe（黑）时，a）xe

儈苫），根据正余弦函数的单调区间解不等式即可.

【详解】函数/(%)=Max(sina)x,coso)x](6)>0),

当3%€卜乎+2klI,；+2knj(kEZ)时;/(%)=cosa)x(a)>0),

当srw[?+2fcn片+2fcrr](keZ)时，/(x)=sincox(a)>0),

Xe（黑）时，3X6（等，等），八X）在（甥）上单调递增,

3n3n.

—>---------Fn2fcn(―>-+2kn

则有《34(keZ阈為:(keZ),

等42m小/2/m

解彳量4-6/c<co<1+4fc(fcEZ),当k=0时,有解:<co<1；

或一+6fc<co<4k（k6Z）,当k=1时，有解f<co<4.

44

实数3的取值范围是艮1]U序41

故答案为:u样,可

【变式1-1]1.（2023•河南•统考模拟预测）若函数f（x）=sin（3x+》（3>0）在[。罔上

恰有两个零点，且在卜2盘上单调递增，则3的取值范围是（）

A..4]B.件4]C.序今D•《时

【答案】B

【分析】有函数在[0,引区间上有两个零点可知2n<<o-^+J<3n,由f（x）在卜2盘上

单调递增可求出3的取值范围，然后联立即可求出答案.

【详解】解：由题意得：

・•・函数/'（%）=sin（®x+以3>0）在閉上恰有两个零点,

...2TTW3皆+S<3n,

解得：3W3<?①,

又♦.•/（%）在卜已引上单调递增，

126-2

工3+1<2，解得：0<3S4②，

12612

（CD>0

由①②式联立可知3的取值范围是件,4

故选：B

【变式1-1】2.（2023秋•辽宁•高三校联考开学考试）已知函数/'（X）=sin（3X-+

>0）在（0《）上单调递增，在C,与上单调递减，则3的取值范围是（）

A・［羽B.层］C.［/D.展］

【答案】A

【分析】根据正弦型函数的单调性及已知区间单调性求参数范围即可.

【详解】当%£（03）时，3X—；£（―,

因为/（X）在（05）上单调递增,所以,解得0<34:

当％6（,习时，3X-;603—,

因为0<3S,所以3x—；e（一9,2TT）.

因为/'（x）在d）上单调递减，所以g3—^>T且,解得3

又0<3W,所以3的取值范围是由3

故选：A

【变式1-1］3.（2023•全国•高三专题练习）已知函数"X）=Isinwxl+|cos3x|@>0）在

区间弓刀）上单调递增，则3的取值范围是（）

A-（°-；］

C.（。白D鹏,l）

【答案】A

【分析】根据题意，化简/CO=1+产啓i,结合余弦型函数的性质，列岀不等式组，

即可求解.

【详解】由函数/（%）=|sintox|+|costox|=J（|sinex|+|cos3%|）2=-y14-2|sincox||cosa）x|

=Jl+2|sin3xcos3x|=y/1+|sin2ajx|=Jl+,

令2kli<4a）x<2kn+n,kEZ,解得竺<x<丝已"，kGZ,且a>0,

2（i）4a）

即函数f（x）的单调递增区间为爲殁円,keZ且3>0,

要使得f（x）在区间©刀）上单调递增，

'knn

-W-

则满足（2凿）；4，k€Z,解得2k<0）<^l,fceZ,其中3>0,

、4a）一

（2k11

又由2k+i，解得因为keZ,所以k=0,

|>026

所以0<3W即实数3的取值范围为（O,；］.

故选：A.

【变式1-1J4.（2023春安徽阜阳•高三校考阶段练习）已知函数f（x）=cos（3X-媒（3>

0）在［册］上单调递增，且当xe［若］时，"%）>0恒成立,则3的取值范围为（）

A.（喝喑罔B./U階］C•（词U階］D*咼喑,8］

【答案】B

【分析】由已知，分别根据函数”X）在区间总用上单调递增，在xe吟图时"⑺>0恒成

立，列岀不等关系，通过赋值，并结合3的本身范围进行求解.

【详解】由已知，函数fG）=cos刖T）（3>0）在管用上单调递增，

所以2k］Tt—TT<a>x-<2自71（自GZ）,解得：―^―<x<—^―+（k】GZ）,

3333333

n2k1n2n

:一：］，解得：W—4--

（4-a）3a）

8kl+g（*i£Z）①

又因为函数f(%)=cos即Y)(3>0)在Xe[*]上/⑺>。恒成立,

所以2k2n——^<2k2T［十］也26Z),解得：-£-<x<把p+費出€Z),

ZoL(i)633660

由于借田等T，等+部行Z)所以；］&+3解得%-詳3W6k2+

\3—36co

|出“)②

o>>0

—4v〃)vq

又因为3>o,当心=心=。时，由①②可知：/解得3E(0,［

2//5

------V3V-

3一一2

{3>0

28

8-W-T,解得36［8,V

—232<.0)<.1—27­LL-

所以3的取值范围为(0曰u[8,3

故选：B.

【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整

体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行

求解.

题型2图像平移伸缩与3取值范围问题

、I,

，上則重点

结合图象平移求3的取值范围

L平移后与原图象重合

思路1:平移长度即为原函数周期的整倍数；

思路2:平移前的函数“X)=平移后的函数g(x).

2、平移后与新图象重合：平移后的函数/(x)=新的函数g(x).

3、平移后的函数与原图象关于y轴对称：平移后的函数为偶函数；

4、平移后的函数与原函数关于x轴对称：平移前的函数/(*)=平移后的函数-g(x);

5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。

【例题2](2023春・江西赣州•高三校联考阶段练习)将函数g(x)=sin3%(3>0)的图象向

左平移生(0<<P<n)个单位长度得到函数“X)的图象，/(0)=|，/'(X)为"切的导函数，

Ci)N

且/'(0)<o,若当Xe[0,TT]时，/Q)的取值范围为卜1彳],则3的取值范围为()

22

A.-<co<1B.-<6)<1

33

2,21

Cr.-<0)<-D,-<w<-

【答案】D

【分析】根据三角函数平移变换原则可得f(x),结合f(0),r(0)可求得⑺；利用整体代换的

方式，结合余弦型函数的值域可求得结果.

【详解】/(x)=g(X+?)=sin[3(x+()]=sin(<ox+<p),f'[x}=3cos(3K+<p),

/(0)=sing=；,/'(0)=3cos(p<0,

,・,3>0,・,・cosq)<0,又0V@<Tl,・・・0=史，

6

・•・/(x)=sin(3%+等=sin(1+3%+；)=cos；

当。E时，a)x+jG1，

•."(%)6[—1,^1,•,•!(<TlCO4-,解得：：W3W

LMJOOJO

故选：D.

【变式2-l】l.(2022秋河北石家庄•高三石家庄市第十五中学校考期中將函数/(x)=sinx

的图象先向右平袱个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的丄(3>0)倍，纵坐标

O(1)

不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在&堂上没有零点，则3的取值范围是()

A・(/U務B.(O,|]C.(O,|)U[|,1]D,(O,1]

【答案】A

【分析】先由三角函数图象平移规则求得函数g(x)=sin(3x-?),再利用正弦曲线的零点即

可求得3的取值范围

【详解】将函数/(x)=sinx的图象先向右平移三个单位长度，得到产sin(无《)

再把所得函数图象的横坐标变为原来的丄(3>0)倍，纵坐标不变，

3

得到函数g(x)=sin(3x《)

由函数g(x)在頂，岑)上没有零点，则江则722n

S->2TI,可得0<341

假设函数9(%)在頂浮)上有零点,

则侬工-^二/nr,/ceZ,则无=丝+3，/ceZ

3co3a)

由六场+白<孚,可得g+(<co<2k+

233323933

又0<341,则36&|)“拉]

则由函数g(x)在国学)上没有零点，且0<341,可得36(0,|]U[|,|]

故选：A

2

【变式2-1]2.(2023秋•山西运城•高三统考阶段练习)已知函数/。)=2sinWxcos(^-

》-siMaxQ>0),现将该函数图象向右平绘个单位长度彳导到函数g(x)的图象，且g(x)

在区间G，号)上单调递增，贝必的取值范围为

【答案】(0,1]ug3

【分析】根据给定条件，化简函数/"(X),结合图象平移求出函数g(x),进而求出单调递增区

间，再列出不等式求解作答.

【详解】函数/(x)=sina)x[l+cos(tox—)]—sin2o)x=sino)x(l+sintox)—sin2tox=

sincox,

因此g(%)=f(x—J=sin(cox一；)，3>0,

由2kn--<tox--<2fcn+-,fcGZ,解得旳--<x<—4--,/cGZ,

242(i)43343

即函数g(x)在呼-强等+书(keZ)上单调递增,

2詳.黑[KkeZ,

--------1-------N-

3434

1/81

>4k>

3・

一----

2239

由

應

或

布

3即

k6Z1:-k6Z<f<fGZO

8<-c--c=

—

<k+114/cO88

3-1>

C，

k=1,

当k=0时，0<3W1,当k=1时，：Wto4?，

所以3的取值范围为（0,1]U£号.

故答案为：（0刀U[|,y]

【变式2-1]3.（2023春・广东珠海•高三珠海市第一中学校考阶段练习）将函数y=sinx的

图象向左平就个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的（⑷>0）倍，纵坐标

不变得到函数/。），已知函数/（©在区间&引上单调递增，则3的取值范围为.

【答案】36（0尚U[|,3]

【分析】根据函数图像平移变换，写出函数y=/（x）的解析式，再由函数y=/（%）在区间

怎，手）上单调递增，列出不等式组求出3的取值范围即可

【详解】将函数y=sinx的图象向左平移9个单位长度得到y=sin（x+的图象，

再将图象上每个点的横坐标变为原来的丄（3>0）倍（纵坐标不变），

3

得到函数y=/（x）=sin（ax+以的图象，

・••函数y=/⑺在区间&乎）上单调递增，

T処nnn

以

即

所>->-①

----

24234

nnn

+-<+<

3X--

4444

处nn

+->

--

4231^

以

解得

所+<<+-②

---3--

丝n24k33

TT

+--

4.42

由①②可得3W(0尚U[1/3j,

故答案为：3€(*]U[|/3j.

【变式2-1]4.(2023・河南开封•统考模拟预测)将函数/(x)=cos2x的图象向右平阴个

单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的丄(3>1),得到函数g(x)的图

(1)

象，若在区间[0JI)内有5个零点,则3的取值范围是()

A23〉,29D23,729

12121212

r29.,35K29,,35

C.一<(JI)<一D.—<o)<一

12121212

【答案】D

【分析】根据三角函数图象的平移变换可得g(x)=C0S(23X-f,再根据余弦函数的图象

可得?<2am-上等，求解即可.

【详解】将函数/G)=cos2%的图象向右平移W个单位长度，得到/[-2)=cos[2(x-

]]=cos(2x-5的图象，

再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的5(3>1),得到函数g(x)=COS(2s-以的

图象.

xG[O,TT)时,2a)x—G[—；,23TT—,

y=cosx在y轴右方的零点为x=?当，.，T，?，等，”.

因为函数g(x)的图象在区间[O,TT)内有5个零点，

所以费<23TT—]W手，解得"<0;<g.

故选:D.

题型3对称轴与3取值范围问题

屮，.卜、r則・1王•6、、、

三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为5,相邻的对称轴和对

称中心之间的“水平间隔"为]也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期

性，进而可以研究3的取值。

【例题3］（2023秋•福建福州•高三统考开学考试）若定义在R上的函数f（x）=sinwx+

COS3X（3>0）的图象在区间［0,加上恰有5条对称轴，则3的取值范围为（）

A・空9B.停用C.［鍔）D.［碧）

【答案】A

【分析】求出函数的对称轴方程为X=空処,kEZ,原题等价于0<怨MWTT有5个整

4a）43

数k符合，解不等式4X4+1<46）<4X5+1即得解.

【详解】由已知，（）伝（

fx=in3%+'

令3%+-=fcn+-；kEZ得无=,kEZ,

42t43""一

依题意知，有5个整数k满足0<华妙Wn,即0W4k+1W43,

4co

所以k=0,1,2,3,4，则4X4+1W4o）<4x5+1,故?S®m，

故选：A.

【变式3-1］1.（2022秋广东深圳•高三校考阶段练习）已知函数/"（x）=sin（3%+9（3>0）

在区间［0,川上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（）

A./（x）在区间（0,n）上有且仅有3个不同的零点

B.正）的最小正周期可能置

C.3的取值范围是样片）

D.f（x）在区间（0,自上单调递增

【答案】C

【分析】根据已知，利用整体代换技巧以及三角函数的性质进行求解判断.

【详解】因为函数/（X）=sin（3X+9（3>0）在区间［0,TT］上有且仅有4条对称轴，

所以04月¥5有4个整数k符合，

由04^2115得，o<^^<l,0<l+4/c<4(o,

则k=0,123,所以1+4X3443<1+4x4,所以％3守,故C正确；

对于A,当xe(0,n),a)x+EG/3TT+,因为曰,所以3n+之W(9患)<

当5+沪糖,阴时，/(x)在区间(0,n)上有且仅有3个不同的零点，

当s+旨K，引时，/(X)在区间(0,TT)上有且仅有4个不同的零点，故A错误；

对于B,周期T=空，因为白43<匕则《<丄44，所以芻VT4冷

O)44176)131713

因为江偌图，故B错误;

对于D,当xe(0送),3X+"&患+：)<因为上31,

所以*+*雷,智)，因为智W,所以/(X)在区间(0,白上不一定单调递增，故D错误.

故选：C.

【变式3-1]2.(2023•广东深圳•校考一模)将函数y=sin(2%+§的图像上所有点的纵

坐标保持不变，横坐标变为原来的巳3eN*)倍后，所得函数gQ)的图像在区间(0,TT)上有目

3

仅有两条对称轴和两个对称中心，则3的值为.

【答案】2

【分析】先求函数g(x)的解析式，画出大致图像，再结合已知条件即可求出3的值.

【详解】由题可知g(x)=sin(2x=sin(a)x+；).

因为xe(0,n),所以3x+Ee偉3n+g).

所以y=sinx,xe(或311)的图像大致如图所示,

2兀5n3Kx

要使g(x)的图像在区间(0,TI)上有且仅有两条对称轴和两个对称中心,

则2TT<3TT+^<^,解得三<(i><^,

因为3GN*,所以3=2.

故答案为：2

【变式3-1]3.(2023秋•浙江•高三浙江省普陀中学校联考开学考试)已知函数“支)=

2COS+9(3>0),若/(x)在区间[0，m内有且仅有3个零点和3条对称轴，则3的取

值范围是()

A•(謂B.燈片C.R則D.(消

【答案】A

【分析】利用整体换元法,结合余弦函数的性质即可求解.

【详解】函数/'(x)=2cos(a)x+?)(3>0).

当XG[O,TI)时,令1=O)X+],则t6,

若f(%)在[0,m有且仅有3个零点和3条对称轴，

则y=2cost在te[23n+5有且仅有3个零点和3条对称轴，

则3TT<3TI+—<-IT,解得“<CO<—.

6263

故选：A.

题型4对称中心与3取值范围问题

*卜塾重点

三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与X轴的交点

（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可

以确定3的取值.

【例题4]（2020秋•陕西宝鸡•高三校考阶段练习）已知函数/（x）=sin（3Y+-）（3>0）的

图象的一个对称中心为頂,0），且/'（力=]贝必的最小值为

A.-B.1C.-D.2

33

【答案】A

【分析】由函数图象的对称中心为偿,o）列方程，由/■（9=g整理出方程并求解，联立方

程组表示出3,结合kGZ及3>0得到3的范围，从而求解.

【详解】因为函数/0）=/3工+0）（3>0）的图象的一个对称中心为《，0），所以

/Q）=0,整理得：sin（3/+0）=0,

所以3]+。=kn（kEz）,

又/（9=9'即：sin（3?+0）=J

所以3?+0=2自尢+€z）或3：+（/）=241兀+譬（k£z）

co]+0=kn（kEz）

=2/Ci7T+?（k6Z）得：3=4（/c-2fcx）-|>y,

（co>0

co-+0=kn（kEz）

3»（p=2比兀+<&ez）得:3=4（卜一2后）一日之|,

{co>0

所以的最小值为g

故选A

【点睛】本题主要考查了三角函数性质，及解三角方程，注意kez及3>0这个要求

【变式4-1]1.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/⑺=3tan偿+或（3>0）的图

象的两个相邻对称中心之间的距离为m，则3=（）

4

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】由正切函数的性质得出7==,继而由周期公式得出3.

【详解】解:设/⑺的最小正周期为T,由函数"X)=3tan管+以(3>0)的图象上相

邻两

个对称中心之间的距离为》，知£=,7=9

4242

又因为7=気所以]=着，即気=?=2,则3=4.

222

故选：B.

【变式4-1]2.(2022・四川绵阳・统考模拟预测)若存在实数se(-=,0),使得函数y=

sin(g+勺(3>0)的图象的一个对称中心为®,0),则3的取值范围为()

A.出+8)B.&1)

C.&+8)D.[l,g

【答案】C

【分析】根据正弦型函数的对称性逬行求解即可.

【详解】由于函数y=sin(3x+5(a>0)的图象的一个对称中心为0),所以3伊+==

,Jin

eZ),所以0=,

(i)

.TT

由于we(—泉0),则一5cm<0,

(kn<^(k<]

因为3>0,所以可得：13>-2k+|>0=13>-2k+[=3>]

IfcezIkeZ

故选：C

【变式4-1]3.(2023•四川成都•川大附中校考模拟预测)已知函数"%)=

2岳OS3XSin(3X+》的图象在„上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数3的取值范

围为

【答案】(-斗，-争U空斗)

【分析】根据两角和的正弦公式和二倍角公式化简/(X)，再根据正弦函数的对称轴和对称中

心可求岀结果.

【详解】/(%)=2V2cos6)xsin(o>x+：)=2&cos3x(sin3xcos；+coscoxsin

=sin2wx+cos2wx+1=&sin(23尤+；)+1,

当3=。时，f(X)为常数，不合题意，

当3>0,OWxW丄时，2a)x+-<0)+-,

2444

要使f(x)在［o*］上恰有一条对称轴和一个对称中心，

则nW3+2<4,即邛33<?，

4244

当3<0,0<%<-时，3+2工2a)x4--<-,

2444

要使/(X)在"曰上恰有一条对称轴和一个对称中心，

则-TT<®+即一任<3W-処.

4244

故答案为：(-斗，-争U弓冷).

题型5零点与3取值范围问题

一車F划t点

已知三角函数的零点个数问题求3的取值范围

对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区

间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区

间长度的最小值.

【例题5】2023秋•山西大同•高三统考开学考试旧知函数f(x)=2cos(3%+R)(3>0,0<

<P<TT)的最小正周期为T,若f(T)=V3,且〃x)在区间［0,1］上恰有3个零点，则3的取值范

围是()

A席制B.段等)C.缺，阴D.搂芳)

【答案】D

【分析】根据余弦函数的周期公式和f(7)=6求出3=2，再根据余弦函数的图象可得结果.

O

【详解】由题意f(x)=2cos(3尤+9)(3>0,0<w<n)的最小正周期为T,则7=—,

(1)

又/(T)=V3,可得COS(3x+<P)=y,即COSW=y,

又0<s<n,所以W=B，

o

f(x)=2cos(3X+?在区间[0,1]上恰有3个零点，

o

当X6[0,1]时，3X+]E+勺，

ooo

结合函数y=cos'的图象如图所示：

2.

则y=cosx在原点右侧的零点依次为‘冷，野，?，…，

所以苧S3+,<g,解得m<3<等<即3的取值范围为[与，等).

故选：D.

【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的图象求解是解题关键.

【变式5-1]1.(2023秋•河南洛阳•高三伊川县第一高中校联考开学考试)已知函数f(x)=

sin即+f3>0)在(0,以上没有零点，贝!I。的取值范围是()

A.(0,l]B.(0,|]C.(0,|)D.(|,1)

【答案】B

【分析】先由x6(0与得5++根据题意得詈+詳元，进而可得出的取值

范围.

【详解】因为Xe(o,2),所以3X+Te&際+)

因为/⑺在(0彳)上没有零点，所以詈+上五，解得“士?

又因为3>0,所以0<3W

故选：B

【变式5-1]2.(2022•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=sin(wx+w)(3>0"CR)

在区间管考)上单调，且满足/管)=-/(?)-

(1)若/偿一x)=f(x),则函数/⑺的最小正周期为

(2)若函数/(x)在区间詈，詈)上恰有5个零点，则3的取值范围为

【答案】n!<co<3

【分析】(1)由题可得f(x)对称中心，根据三角函数的性质结合条件判断3的大概取值范围，

再结合条件可得函数的对称轴即可得到3的值从而得岀最小正周期；

(2)根据函数的对称中心及3的大概取值范围，结合三角函数的图象可得:+27'〈等W

OO

与+|r,从而解出.

【详解】因为函数/⑺=Sin3x+0)在区间管用上单调，且满足(管)=-f,

.•/(X)对称中心为(g,o),

代入可得§3+卬=kill,爲€Z,①

•"(X)在区间管冷)上单调，且/⑺对称中心为偿,0),

口.,-5n----2n-=n--2-n---n-——n<—7n

636‘36212’

.•・/(X)在区间頂,扌)上单调，

.7'5nTTnT、27r

>-----=—,/>一

2-623'—3

.-.0<O)<3.

(1)"偿—x)=/(x),

"(X)关于X=瑞对称,代入可得居3+中=5+…，的eZ,②

①-②可得T+女汽,fc6Z,即3=—2+4k,k6Z,又0<3W3,

.'.co=2,7=*=TT；

(2)"(x)对称中心为(9,0),•/(?)=0,

"(X)在区间詈，詈)上恰有5个零点，

."G)相邻两个零点之间的距离为3，五个零点之间即27,六个零点之间即：T,

二只需多+27<等三千+)即可，

3o5L

所以I<3W?，又1O<3w3,

O

■-3<口43・

故答案为：TT；?<3W3.

【变式5-1］3,(2022秋・山东临沂・高三校考期末)若函数/⑺=2sin(s-=)+1(3>0)

在［0,川上恰有三个零点，则()

A.3的取值范围为［2,个)

B.f(x)在［0,川上恰有两个极大值点

C./(x)在［0,手上有极大值点

D./(x)在［。目上单调递增

【答案】AD

【分析】利用整体代换先求出3X-2在区间［0,川上的取值范围，再根据零点个数可求得3的

取值范围，可判断A；根据极值点定义可得/•(》)在em的极值点个数是由3的取值决定的，

可能有一个也可能有两个即可判断B；同理/(x)在",畳上可能有极大值点，也可能没有，即

C错误；由x=?时，三等.<M可得/CO在［。吟］上单调递增可判断D.

【详解】由题可知，xe［0,用时，5--［一9•一］,

oLooj

若函数/(%)=2sin(3X-J+1(3＞0)在[O,TT]上恰有三个零点，根据三角函数图象性质可

知当W3TT—?＜等解得2s3V当，即选项A正确；

由243＜当可知，当2W3s類寸，半W加一上[,此时/'(X)在[0用上只有1个极大

336oZ

值点，

当*3〈弓时，苧＜3*?＜等J(X)在[0用上恰有两个极大值点；所以B错误；

当“押，=7二＜彳，

不妨取3=2,此时詈-合,即当X6[0用时，3X-]e[-辅],由正弦函数图象性质

可知f(x)在[0用上没有极大值点；即C错误;

、1，TT_inconn7n-7-711n

当x=Zn时/W"一"石，而五＜5，

所以当久e[o用时，3-雜卜,詈-丁由正弦函数图象性质可知/(%)在„上单调递

增，即D正确；

故选：AD.

【变式5-1]4.(2023•上海•高三专题练习)若存在实数w,使函数f(x)=cos(o)%+租)-

13＞0)在乂G[n,3n]上有且仅有2个零点,则3的取值范围为

【答案】/

【分析】利用y=COSX的图像与性质,直接求出函数f(x)的零点，再利用题设条件建立不等

<p+2/cn———<p+2kTt__.—^――4p+2kT(cp+Zfcn...,,__

关s系二-------二一<2n且旦」------比—>2n,从而求1X出结果.

3333

【详解】因为/(%)=cos(tox+(p)-1(co>0),由/(%)=0，得到cos(3%+(/?)=|,

所以s+0=5+2fcn(/c6Z)或3%+p=-1+2kx(k6Z),

--<p+2kn一、亠-?-<P+2fcn_

所以无=-------(kEZ)或X=-----------(々€Z),

(i)(i)

又因为存在实数w，使函数f(x)在XGE，3m上有且仅有2个零点，所以

_匸二42Tx且工^—丄竺>2n,即工42Tl且工>2n,解得i3<

3333333

5

3,

故答案为：!<a)<|

【变式5-1]5.(2023.全国•高三专题练习)设36R,函数/(%)=

psm(Wx+-),x>。，。(乃=若/(X)在(_上单调递增，且函数f(x)与g(%)的图

2

l|x+4«jx+j,x<0,\32丿

象有三个交点，贝!|3的取值范围是()

A.開B.(气

C.彊)D.K，0)U/

【答案】B

n(D7T7T

T+6-I

一詈三心，从而可

2sin->i

{62

求得f(x)在(-上单调递增这个条件3的范围再根据函数/'(X)与g(x)的图象有三个交点,

则在x6(-8,0)上函数/0)与9(%)的图象有两个交点，即方程3/+6s:+1=0在xG

(-8,0)上有两个不同的实数根，从而可得第二个条件下的3的范围，取交集即可得出答案，

注意说明x>0时，函数八x)与g(x)的图象只有一个交点.

【详解】解：当xe|o,5时，3x+'e玲詈+?)，

因为/Xx)在(-K)上单调递增，

fno)nn

-------r--V-

26~2

所以《一等三一；解得W3W|,

2sin->i

I62

又因函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，

所以在xG(-8,0)上函数，0)与9。)的图象有两个交点，

即方程|"+4a)x+j=3X在xG(-co,0)上有两个不同的实数根，

即方程3/+6ax+1=。在xG(-8,0)上有两个不同的实数根，

(A=36OJ2-12>0

所以L-3<0，解得3>手，

x02+6(ox0+1>0

当3e爲]时,

当x>0时，令/'(x)-g(x)=2sin(cox+^-a)x,

由/(x)-9(x)=1>0,

当3X+£=鄂寸，3X=g,

此时,/(x)-g[x}=2-y<0,

结合图象，所以x>0时，函数/(%)与。(尤)的图象只有一个交点,

综上所述，“6(日,|].

故选：B.

【变式5-1]6.（2020•全国•高三专题练习）函数“无）=号二+cos?等，且3>]久eR,

若/Q）的图像在％e（3n,4TT）内与久轴无交点，则3的取值范围是.

【答案】玲，爲噜，爲

【详解】•"(©的图像在久e(3TT,4n)内与x轴无交点

.T

.2>71

..、sincox-1,7scV2.,，九、

•/(%)=——------FCOS2—=ysin(o)x+-)

二.一<3V1

2

•.由对称中心可知3+^=kn

4

:.x—((kji-JkwZ

;假设在区间(3n,4TI)内存在交点，可知<3<号一白