线性代数课件6-3线性子空间

线性代数课件6-3线性子空间contents目录线性子空间的定义与性质线性子空间的维数与基线性子空间的表示与投影线性子空间的性质与关系线性子空间的运算与变换线性子空间的应用与实例线性子空间的定义与性质010102线性子空间的定义线性子空间可以由一个或多个向量作为基底来生成。线性子空间是向量空间的一个非空子集，对于向量空间中的加法和标量乘法运算封闭。010203线性子空间中的任意向量可以由基底线性表示。线性子空间对于向量空间的加法和标量乘法运算封闭。线性子空间的和仍然是线性子空间。线性子空间的性质三维向量空间中的任何平面和三维子空间都是线性子空间的例子。在矩阵向量空间中，由所有形如$Ax$的向量构成的集合，其中$A$是某个矩阵，$x$是任意向量，也是一个线性子空间。平面几何中的直线和平面可以视为二维向量空间中的线性子空间。线性子空间的例子线性子空间的维数与基02线性子空间的维数是该子空间中独立向量的个数。定义通过向量的线性组合，得到子空间的一组基，基的个数即为维数。计算方法线性子空间的维数与其在原空间中的投影维数相等。性质线性子空间的维数线性子空间的基是一组线性独立的向量，它们可以生成整个子空间。定义选取方法性质通过求解线性方程组或利用已知基进行扩展得到。基的向量是线性无关的，且任意向量可以由基向量线性表示。030201线性子空间的基对于任意线性子空间，存在一组扩展基，使得该子空间中的任意向量都可以由扩展基线性表示。定理内容在求解线性方程组、向量空间分解等方面有重要应用。应用场景利用线性代数的基本定理和性质进行证明。证明方法基的扩展定理线性子空间的表示与投影03线性子空间是向量空间中的一个非空子集，对于加法和标量乘法封闭。线性子空间定义线性子空间具有加法封闭性、标量乘法封闭性和零元存在性。线性子空间的性质一个子集是线性子空间的充分必要条件是它对加法和标量乘法封闭。线性子空间的判定线性子空间的表示投影的公式设$xinV$，$W$是$V$的线性子空间，那么$x$在$W$上的投影为$frac{<x,w>}{<w,w>}w$，其中$winW$且$<w,w>$不等于0。投影的定义对于任意向量$x$和线性子空间$W$，$x$在$W$上的投影是$W$中与$x$最接近的向量。投影的性质投影具有非负性、齐次性和平移不变性。线性子空间的投影03投影的意义投影表示向量$x$在子空间$W$上的分量，即向量$x$在子空间$W$上的表示。01投影的长度向量$x$在子空间$W$上的投影长度等于向量$x$与垂直于子空间$W$的平面上任意向量的点积的绝对值。02投影的方向投影的方向与子空间$W$正交，且与向量$x$在子空间$W$上的方向一致。投影的几何意义线性子空间的性质与关系0402030401线性子空间的性质线性子空间是向量的集合，这些向量满足加法和标量乘法的封闭性。线性子空间中的向量可以由基向量线性表示。线性子空间具有有限或无限维数，取决于其包含的向量个数。线性子空间具有零向量，即加法单位元。一个子空间可以包含另一个子空间的所有向量。子空间包含两个子空间的交集也是一个子空间。子空间交两个子空间的并集不一定是子空间。子空间并一个子空间在全空间中的补集也是一个子空间。子空间的补线性子空间的关系123如果$U$和$W$是$V$的子空间，那么$U+W$也是$V$的子空间。子空间的和如果$U$和$W$是$V$的子空间，那么$UcapW$也是$V$的子空间。子空间的交如果$U$是$V$的子空间，那么$U'$（$U$在$V$中的补集）也是$V$的子空间。子空间的补子空间之间的关系定理线性子空间的运算与变换05线性子空间的加法与数乘线性子空间的加法设$W_1$和$W_2$是线性子空间，对于任意$w_1inW_1$和$w_2inW_2$，$w_1+w_2$的定义是满足$w_1+w_2inW$的向量。数乘对于任意标量$k$和向量$winW$，数乘$kcdotw$的定义是满足$(kcdotw)+w=k(w+w)$的向量。结合律对于任意向量$w_1,w_2,w_3inW$和标量$k,k'inK$，有$(kcdotw_1)+(k'cdotw_2)=(k+k')cdot(w_1+w_2)$。分配律对于任意向量$w_1,w_2inW$和标量$k,k'inK$，有$(k+k')cdotw=kcdotw+k'cdotw$。封闭性对于任意向量$w_1,w_2inW$和标量$k,k'inK$，有$kcdotw_1+k'cdotw_2inW$。线性子空间的运算性质线性变换与矩阵表示一个从线性子空间$W_1$到线性子空间$W_2$的映射，如果对于任意向量$winW_1$，满足$varphi(kcdotw)=k'cdotvarphi(w)$的标量$k'$，则称$varphi$为线性变换。线性变换如果存在基底${e_1,e_2,...,e_n}$，使得对于任意向量$w=a_1e_1+a_2e_2+...+a_ne_ninW$，有$varphi(w)=A(w)=A(a_1,a_2,...,a_n)$，则称矩阵A为线性变换在基底下的表示。矩阵表示线性子空间的应用与实例06线性子空间在几何中可以用来描述平面、直线、向量等基本概念。例如，平面可以看作是所有满足某个线性方程的点的集合，而直线则可以看作是两个平面的交集。线性子空间还可以用来研究几何对象的性质和关系，例如通过向量的线性组合和运算，可以研究向量的长度、夹角、平行性和垂直性等几何属性。线性子空间在几何中的应用在信号处理中，线性子空间可以用来描述信号的频率、时间和幅度等特征。例如，在频域分析中，信号可以表示为一组正弦波的线性组合，而这些正弦波的频率、幅度和相位可以构成一个线性子空间。线性子空间还可以用来进行信号分类、降噪和压缩等操作。例如，通过将信号投影到一个低维的线性子空间中，可以实现信号的降噪和压缩，同时保留其主要特征。线性子空间在信号处理中的应用在控制理论中，线性子空间可以用来描述系统的状态和行为。例如，一个线性时不变系统可以表示