贵州省贵阳市2022-2023学年高一年级下册5月联考数学试题（含解析）

贵州省贵阳市2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题

(含解析)

第I卷

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是符合题目要求的.

Li为虚数单位，若复数z=l+i,则目=(

A.1B.2C.√2D,2√2

【正确答案】C

【分析】由复数模计算公式可得答案.

【详解】因z=l+i,则IZl=J币=J5.

故选：C

2.已知α=(0,l),⅛=(1,2),c=(2,3)，则(

A.a-∖rb=cB.a+c=2bC.2a+b=cD.

a+2b=C

【正确答案】B

【分析】用向量加法，数乘的坐标表示验证各选项正误即可.

【详解】A选项，a+6=(l,3)≠c,故A错误；

B选项，a+c=(2,4)=2b,故B正确；

C选项，2^+6=(1,4)≠c,故C错误；

D选项,Q+2石=(2,5)≠c,故D错误.

故选：B

3.〃棱柱(〃∈N*∕≥3)的顶点数为匕棱数为£,面数为凡则P+尸—E=()

A.-1B.0C.1D.2

【正确答案】D

【分析】由〃棱柱的顶点数，棱数，面数可得答案.

【详解】由题可得，〃棱柱的顶点数为2〃，棱数为3〃，面数为〃+2,则/+R—E=2.

故选：D

4.等腰直角三角形的斜边为2，以斜边为轴旋转一周所得几何体的体积为（）

π2πrV∑πD2在1

A.-B.—

333-3

【正确答案】B

【分析】作出图形，分析可知，几何体是由两个同底面的圆锥拼接而成的组合体，确定两个

圆锥的底面半径和高，利用锥体的体积公式可求得该组合体的体积.

【详解】在等腰直角AZBC中，设斜边NC的中点为。，则801/C,且

BO=AO=CO=-AC=X,

2

以斜边NC为轴旋转一周所得几何体是以80为底面圆的半径，高分别为Z。、CO的两个

圆锥拼接而成的组合体，

ITr2兀

所以，该几何体的体积为忆=—πχBθ2χ（zo+co）=-χfχ2=一.

3''33

故选：B.

5.在正方体ZBCr>-4MG2中，异面直线8。与与。所成角为（）

A.30oB.45oC.60oD.90°

【正确答案】C

【分析】

通过平移作出异面直线所成的角，解三角形求得所成角的大小.

【详解】连接4。,48如图所示，由于4z)∕∕4c,所以N是异面直线8。与鸟。所

成角，由于三角形48。是等边三角形，所以/408=60°.

故选：C

Dl_____C1

本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题.

6.如图，正三棱柱Z8C-44G的棱长都相等，则二面角4一BC-Z的余弦值为()

.√2b√21c√7d2√7

2777

【正确答案】B

【分析】根据题意分析可得二面角4-8C-Z的平面角为NZM运算求解即可.

【详解】取BC的中点附，连接力",4M,

因为一BC为等边三角形，则/MLBC,

又因为Z4，平面∕3C,AB,AC,AMInABC,则

AA,^AB,AAi^AC,AAx^AM,

可知△44田@Z∖44∣C,可得46=4。，则4M_L6C,

所以二面角4-8C-4的平面角为乙4M4∣,

设Aδ=2,则N/=),=6”/=,/+]”=币,

所以CoSNNM^='蛆=卓=

'AxM√77

故选：B.

7.ΔA8C中，/8=5,BC=6,CA=7,则-48。的面积为()

A.6√6B.6√3C.3√6D.3√3

【正确答案】A

【分析】利用余弦定理求出COSB的值，利用同角三角函数的基本关系求出SinB的值，再

利用三角形的面积公式可求得^ABC的面积.

Afi-Rr2-AC125+36—491

【详解】由余弦定理可得CoSB=+_&=CJO＞，,则B为锐角,

IABBC2×5×65

故sin8=∙∖∕l-cos2B=ψ-(()=~~~，

因此，ʌ?IBC的面积为S=；Z8-8CsinC=；*5x6x孚=6指.

故选：A.

8.如图，加是平行六面体ZBcD-44G〃的棱4〃的中点，经过三点A、M.C的平

面将该平行六面体分成两部分的体积分别为匕、匕（匕＜匕），则9的值为（）

【正确答案】D

【分析】取的中点N,连接/〃、AC.MN、CN、A1C1,分析可知经过三点A、

M、。的平面截平行六面体力BCD-4片ClZ）I所得截面为梯形ZCNM,利用台体和柱体

的体积公式可求得白的值.

“2

【详解】取GA的中点N,连接ZM、AC,MN、CN、A1C1,

在平行六面体ZSCZ)—中，44"/CCl且44]=CC1,

所以，四边形44]GC为平行四边形，所以，zc〃4G且力。=4£，

因为M、N分别为49、G4的中点，所以，MNHAC∖且MN=；A\G，

所以，M、N、A、C四点共面,

故经过三点A、M、C的平面截平行六面体ABCD-44GA所得截面为梯形ACNM,

设=S贝SS,

sʌDM9IJSu∕∕cn=2SΔJGa=

设平行六面体ABCD-A1B1QD1的高为A,则匕+%=85〃,

1ɔ*7]*7

匕=§(S+4S+JS.4S”=§S//,故匕=8Sh―匕=8Sh-qSh=]∙Sh,

V.7

因止匕，——-——.

V217

故选：D

二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选

项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有

选错得0分.

9.已知α,尸表示平面，m,〃表示直线，则()

A.若加Ha,n∣∣a,则加〃〃

B.若加〃α,mHβ,则α〃β

C若Znd.α,nɪα,则，“〃〃

D.若加_La,加_L尸，则α〃/

【正确答案】CD

【分析】由线面，面面关系相关知识判断各选项正误即可.

【详解】A选项，若mHa,n∣∣a,则加,〃可能平行，相交或异面，故A错误；

B选项，若InIla,mUβ,则α,/可能相交或平行，故B错误；

C选项，若〃z_La,〃_La,由线面垂直性质可知〃〃，故C正确；

D选项，若加_La,机∙L∕?,则夕互相平行，故D正确.

故选：CD

10.i为虚数单位，复数Z=L匚，则()

1-i

_1

A.z∙z-\B.z∙i=0

z

C.z+z2d-----I-Z10=1+iD.—+—H------1-ɪ

ZZZ

【正确答案】ABD

【分析】化简Z,后利用共规复数定义，复数运算法则验证各选项即可.

1+i(l+i)2

【详解】Z-------------------------—=i.i2=-l,i3=-i,i4=l∙

l-i(l-i)(l+i)2

A选项,z∙z=i∙(―i)=—i2=1,故A正确;

z+Li+Li-i=O,

B选项,故B正确;

zi

C选项,z+z2+z3+z4=i+i2+i3+i4=i-l-i+l=O>则

z+z2+■■■+Z10Z+Z2+Z3+Z4)(l+z4)+(z4)^(z+z2)=Z+Z?=i_1，故C错

误;

D选项，—+-^-+-y+-y=-i—l+i+l=O,则

ZZZZ

11+1IIlI11_.

-+—+•••+⅛+++1+p^=7τ，故D

ZZ7777

正确.

故选：ABD

11.如图，在边为1的正方形ZBC。中，则（）

A.JBCD=∖B.ABAC=X

C.困+呵=2D.∣^C+DC∣=2

【正确答案】BC

【分析】利用平面向量数量积的定义和运算性质可判断AB选项；利用平面向量的加法、减

法法则以及向量的模长可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.

【详解】因为正方形/8C。的边长为1，

对于A选项，^AB.^CD=^AB'=-bA错;

'一''..一/E'-∙\"2''S''■.

对于B选项，ABAC-AByAB+ADj=AB+AB∙AD=1,B对;

对于C选项，AC+BD={^AB+AD^+(^AD-AB^=2AD,

所以，I就+而∣=∣2而∣=2,C对；

对于D选项，~AC+DC=JB+Jb+JB=IAB+7b

所以,

4ABAD+AD2

√⅜+0+l=后

,D错.

故选：BC.

12.如图4。与BC分别为圆台上下底面直径，ADHBC,若48=3,/0=2，BC=4,

则（）

A.圆台的母线与底面所成的角的正切值为2企

B.圆台的全面积为14兀

C.圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为J5

D.从点A经过圆台的表面到点C的最短距离为36

【正确答案】ABD

【分析】取圆台的轴截面ZBCD,利用线面角的定义可判断A选项；利用圆台的表面积公

式可判断B选项；利用正弦定理求出等腰梯形/8CO的外接圆半径，即为圆台的外接球半

径，可判断C选项；将圆台沿着轴截面切开，将圆台的侧面的一半展开，结合余弦

定理可判断D选项.

【详解】取圆台的轴截面ZBCO,设/0、BC的中点分别为0、O2,连接。。2,

分别过点A、。在平面/8CO内作NE_LBC,DF1BC,垂足分别为点E、F，

Oin

由题意可知，GO2与圆台的底面垂直，易知四边形Z6C。为等腰梯形,

且/8=C£>=3,AD=2,BC=A,

在A∕8E和ADcT7中，AB=DC,NABE=NDCF,NaEB=NDFC=90°，

所以，AABE出ADCF，所以，BE=CF,

因为ADHBC,AELBC,DFLBC,则四边形ADFE为矩形，且EE=CD=2,

同理可证四边形力为矩形，则。|。2=/£，旦AEHoa,

所以，ZE与圆台的底面垂直，则圆台的母线与底面所成的角为NZBE，

AB-FF4-2/_____________

所以，BE=CF=——-——=--=↑,则4E=YAB=BE)=,3?-1=2啦，

∆pr-

所以，tanNNBE=——=2√2,A对；

BE

对于B选项，圆台的全面积为兀χf+πχ22+兀χ(l+2)χ3=14兀，B对；

对于C选项，易知圆台的外接球球心在梯形ZBCZ)内，且CE=BC-BE=4—1=3,

由勾股定理可得力C=JZE2+.2=J帝=J万,且SinNABE=更=空，

圆台的夕卜接球直径为"=高普√17_3√34I—

Ξ7T=4，则H=双巴，B错;

所以,

--8

对于C选项，将圆台沿着轴截面/8CD切开，将圆台的侧面的一半展开如下图所示:

延长区4、DC交于点、M,在圆台的轴截面等腰梯形/8C0中，AB//CD且AB=LCD,

2

易知A、。分别为、CW的中点，所以，AM=DM=AB=3,

设ZAMD=θ,则介=38=兀，则。=(，

TT

在AZCM中，AM=3,CM=6,NAMD=一,

3

XXX

由余弦定理可得ZC=JNM2+α12-2月Λ∕∙CΛ∕CoSm=J32+62—236；=36,

因此，从点A经过圆台的表面到点C的最短距离为3百，D对.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.复数z=4+3i与它的共扼复数三在复平面上对应的点分别为4B,。为复平面原点，

则AO∕8的面积为.

【正确答案】12

【分析】根据共轨复数结合复数的几何意义运算求解.

【详解】由题意可知：复数z=4+3i的共扼复数I=4-3i，

可得Z(4,3),8(4,-3),0(0,0),即外工实轴,

所以AO∕8的面积S.O*=Jx4χ6=12.

ZjkV-*ZiLJ2

故12.

14.已知加wR,三点4(-1,-1)、8(1,3)、C(m,2根+/)共线，则f=.

【正确答案】1

______umUUii

【分析】求出向量在、ZC的坐标，分析可知N8〃ZC，利用平面向量共线的坐标表示可

求得实数f的值.

【详解】因为加GR,三点8(1,3)、C(m,2m+f)共线，则关〃泥，

ULU___

且/8=(2,4),/C=(m+l,2m+∕+l),

所以，2(2m+f+l)=4(m+l),解得/=1.

故答案为.1

15.如图，平面0〃平面/，平面ZBCca=DE,平面45CC£=3C,DGAB，

EeAC,/0=2，DB=3,DE=I，则BC=.

【分析】由题可得。E〃8C,即可得AD4E~A3∕C,即可得答案.

【详解】因平面α〃平面夕，平面/8CCa=Z）E,平面ZBCcp=BC,则DE〃8C,

DFADΠF-AR5

因ZOZE=NB/C,则AQ∕E~A8∕C,则~=———nBC=匕勺=

BCAD+DBAD2

皿5

故_

2

16.SF6（六氟化硫）具有良好的绝缘性，在电子工业上有着广泛的应用，其分子结构如图

所示：六个元素口分别位于正方体六个面的中心，元素S位于正方体中心，若正方体的棱长

为。，记以六个b为顶点的正八面体为T，则T的体积为,T的内切球表面积为

【分析】由题意可知正八面体T可视为两个全等的正四棱锥拼接而成，确定正四棱锥的底面

边长和高，可求得正八面体T的体积，计算出正八面体T的表面积，利用等体积法可求得正

八面体T的内切球半径，结合球体表面积公式可求得其内切球的表面积.

【详解】正八面体T可视为两个全等的正四棱锥拼接而成,

且该正四棱锥的底面边长为J[q]+f->∣=也a,高为巴,

VUJ⑵22

2

所以，正八面体的体积为％=2χLx√Σ]a11

—a×-=-a

32/26

由图可知，正八面体T的每个面都是棱长为多的等边三角形,

所以，正八面体T的表面积为S=8x*}χ—a=√3a2,

4I2J

3

lar

设正正八面体T的内切球半径为r,则P=LSr,所以，3K2√3,

3r

S√3α26

_πa2

因此，正八面体T的内切球的表面积为4b2=4πχ—a

6ʃ'

Z

3

故看，；πa

3

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.如图所示,矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合,8,D分别在x,y轴正半轴上，28=4,

AD=2,点E为/8上一点

(1)若DEJ.AC,求/E的长；

(2)若E为48的中点，ZC与。E的交点为M,求CoSNCAlE.

【正确答案】(1)1(2)叵

10

【分析】(I)设E(x,0)(0≤X≤4),由。E人/C可得诙.X=O,即可得答案;

(2)由图可知NCΛ∕E=(DE,AC^,由向量夹角公式可得答案.

【小问1详解】

由题，可得Z(0,0),3(4,0),D(0,2),C(4,2).则X=(4,2).

设E(X,0)(0≤X≤4),则无=卜,一2).因0后1/0,则

瓦•就=4x-4=0=>x=1.则E(1,O),故/E的长为1；

【小问2详解】

若E为48的中点，则£(2,0),DE=(2,-2),又％=(4,2).

/______^ACΦE4

由图可知c。SNCME=CoS«。,∖上)=丁Λ∕ΓO.

18.如图在棱长为2的正方体ZBC。-4AGA中，E是DDl上一点，且BDI〃平面4CE.

(1)求证：E为。。的中点；

(2)求点。到平面ZCE的距离.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵逅

3

【分析】(1)连接80交/C于点。，连接。E,利用线面平行的性质可得出8Q//OE,

推导出。为80的中点，结合中位线的性质可证得结论成立；

(2)计算出三棱锥E-NCD的体积以及的面积，利用等体积法可求得点Z)到平面

ACE的距离.

【小问1详解】

证明：连接8。交ZC于点0,连接。E,

因为BDJI平面/CE,BD∖U平面BDDx,平面BDDiC平面ZCE=OE,

所以，BDJIOE,

因为四边形ZBC。为正方形，AC{∖BD=O,则。为BZ）的中点，

因此，E为。。的中点.

【小问2详解】

11,

解：因为。人平面=-ADCD=-×2

EZBCD,S4,∆A∕iCvZD√222=2,

112

21,

又因为DE=1,所以，VE-ACD-~××=y

因为/£>_LDE,所以，AE=AD2+DE2=√22+12=√5>同理可得CE=逐，

AC^y∣AD2+CD2=√22+22=2√2-所以，AE=CE,

易知。为/C的中点，则OE上〃C,则OE=J4炉—初=后五=6,

所以，S“E=^AC∙OE=QeX密=瓜

12

设点D到平面ACE的距离为h,由LACE=vE-ACD可得-SMCEI=M

即IX痴〃=2,解得。=巫，即点。到平面NCE的距离为四.

3333

19.如图在“8C中，£>为BC上一点，AB=5,BC=I,NBAD=NCAD=60。

A

BC

D

（I）求/C的长；

（2）若血=4万+〃万，求；L与〃的值.

【正确答案】（1）AC=3

（2）λ=—,/Z=—

88

【分析】（1）根据余弦定理，即可求/C；

（2）首先求得贮=幺∙=3,再利用向量的线性运算，即可求解.

DCAC3

【小问1详解】

由题意可知，N历IC=I20°

AZBC中，根据余弦定理5余=/^2+/02-2力5∙∕C∙cos120°

即/C?+5/C—24=0,解得：NC=3或∕C=-8(舍)

所以∕C=3

【小问2详解】

因为c沁-×--A--B-×--A--D--×-s-i-n-6--0-°-=喋ad,

AC

S.ADCLχ∕Z)x∕CXSin60"

2

OAABDBD即处=

而

C~DC

UΔJDCDCAC3

88、)

3-.5—•

=-AB+-AC,

88

―.―.­.35

因为/D=448+∕∕ZC,所以丸=G,4=g∙

O8

20.如图1,在矩形48。。中，AB=25BC=2,将它沿对角线ZC折起，使。到A

的位置，且平面。/C，平面45C,连接（如图2）,在图2中:

图2

(1)求四面体∕3CZ)∣的外接球的体积;

(2)求SQ的长.

32

【正确答案】(1)—π

3

(2)√io

【分析】(1)设。为NC的中点，分析可得。4=。8=。。=。2=2,则A、B、C、Dl

在以点。为球心，半径为2的球面上，利用球体的体积公式可求得球。的体积；

(2)过点A在平面ZCR内作。E_LNC,垂足为点E，推导出平面/8C,计算

出RE、BE的长，利用勾股定理可求得8。的长.

【小问1详解】

解：设。为ZC的中点，在矩形ZBCO中，由于∕8=2√J,BC=2,

则AC=NAB?+BC2=4

翻折后，则有。4=08=OC=OZ)I=2,

所以，A、B、C、A在以点。为球心，半径为2的球面上,

432

因此，球。的体积为一τtx23=—π.

33

【小问2详解】

解：过点。在平面/CR内作OfLZC,垂足为点E,

因为平面4CAJ■平面ZBC,平面48IC平面/8C=∕C,OlEU平面力CR,

所以，AE，平面/8C,

因为BEu平面ZBC,所以，DyELBE,

在RtaZC0∣中，因为ZR=2,CD.=2√3.则tanN∕CA=也=-==且,

CDi2√33

所以，ZACDl=30°,

因为Z>∣E∙L4C,则。|E=；CZ)I=√J,CE=Cn∙cos30°=2√iχ¥=3,

在ABCE中，因为/8ZC=ZACD]=30°,则NBCE=90°-ZBAC=60°，

又因为BC=2,CE=3,

由余弦定理可得BE1=BC2+CE2-2BC∙CEcos60°=4+9-2X2X3X2=7,

2

22

所以§2-y∣BE+DiE=√7+3=√10.

21.如图，平面8。，BCLCD,BElAC,垂足为E,BFLAD,垂足为F.

(1)求证：平面ZBC人平面ZCD

(2)求证：AE-AC^AF-AD

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（I）结合题目条件可得Coj_/8,结合8C_LC。可得Cz），平面/BC,即可证

明结论；（2）分别说明zA4E~ΔCAB,ΔBAF即可证明结论.

【小问1详解】

因/61平面8C。，CZ）U平面8C。，则Cz）J.43.

又BCLCD,ABCBC=B,/8,BCU平面/BC,则CDJ•平面N8C.

又COU平面/8,则平面ZBCI平面48；

【小问2详解】

因/8上平面BCD,BD,BCu平面BCD,则/8，8C,Z8，8。.

因BEJ_/C,NBAE=NCAB,NBEA=ZCBA=90"，

AflΔΓ

则加E~∆CAB=>—=—=>AB2=AE∙AC.

ACAB

因BFlAD,NBAF=ZDAB,ZBFA=ZDBA=90"，

则4胡R~ΔDAB=>——=—=>AB2=AF■AD.

ADAB

则NE∙∕C=/CZO.

22.材料1.类比是获取数学知识的重要思想之一，很多优美的数学结论就是利用类比思想

获得的.例如：若α>0,b>0,则巴吆之而，当且仅当α=b时，取等号，我们称为

2

二元均值不等式.类比二元均值不等式得到三元均值不等式：a>0,b>0,。>0,则

a+b+c^^良，当且仅当a=b=c时，取等号.我们经常用它们求相关代数式或几何问

3

题的最值，某同学做下面几何问题就是用三元均值不等式圆满完成解答的.

题：将边长为12Cm的正方形硬纸片（如图1）的四个角裁去四个相同的小正方形后，折成

如图2的无盖长方体小纸盒，求纸盒容积的最大值.

Sl图2

解：设截去的